Full text of "Die astronomische strahlenbrechung in ihrer historischen entwickelung"

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JOHN G. VVOLBAOH L'BFIARY 

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DIE 



ASTRONOMISCHE 

STRAHLENBRECHUNG. 



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DIE 



ASTRONOMISCHE 



STRAHLENBRECHUNG 



IN 



IHRER HISTORISCHEN ENTWICKELÜNG 



DAUOBSTILLT 



Dk C. BRUHNS, 



ASTBOnOU DER HEUBH STERNWABTB UKD PROFESSOR AN DES UNIVERSITÄT ZU LEIPZIG. 



EINE GEKRÖNTE PRBISSCHRIFT. 



LEIPZIG, 

V,OIGT & GÜNTHER. 

1861. 



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Das Beeht der Uebersetzung in fremde Sprachen behalten sich der Verfiasser und 
die VerlagshandloDg vor. 



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VORWORT. 



Der Beobachter der Gestirne befindet sich an der Oberfläche 
der Erde auf dem Grunde eines Ltiftmeerea, in welchem die Strah- 
len der leuchtenden Kölner sich brechen, sodass sie unter einem 
andern Winkel in das Auge fallen, als ea ohne die Luft der Fall 
sein würde. Dieser Strahlenbrechung oder Refraction wegen bedür- 
fen die Beobachtungen der Astronomen einer Correction. Obwohl 
auch die Alten die Wirkungen der Refraction schon bemerkten, 
wurde doch die Berücksichtigung der Strahlenbrechung bei den 
Beobachtungen erst zum Bedürfiiiss^ als man in der Beobachtungs- 
kunst soweit vorgeschritten war^ um Minuten messen zu können. 
Seit dem 16. Jahrhundert wurde die Refraction ein eigener nothr- 
wendiger Abschnitt der practischen Astronomie und je mehr diese 
fortschritt, desto genauer musste auch die Refractioii bestimmt 
werden, und seitdem die astronomischen Instrumente Secunden, 
ja Bruchtheile von Secunden zu messen erlaubten y konnte auch 
die Refraction bis auf die Bruchtlieile von Secunden genau ermit- 
telt werden. 

Die practische Astronomie verlangt die genaue Kenntniss der 
Refi-action; die Theorie derselben ist aber, weil sie Sätze aus der 
Mechanik über das Gleichgewicht der Gasarten benutzt, Aufgabe 
der physischen Astronomie. Der theoretischen Entwicklung der 
Refraction stellten sich anfangs besonders zwei Hindemisse ent- 
gegen. Das erste Hindemiss, welches in der Unkenntniss der Con- 
stitution der Atmosphäre liegt, d. h, in der ünkenntniss der Func- 
tion, welche zwischen der brechenden Kraft der Atmosphäre und 
der Höhe in derselben stattfindet, hat zu Hypothesen über^ diese 



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VI Vorwort. 

Function und daher zu verschiedenen Theorien Anlass gegeben, 
aber welche Theorie die richtige sei, lässt sich eigentlich noch nicht 
entscheiden; doch sind die Eesultate der neuesten Theorien für die 
Zenithdistanzen, bis zu welchen man gewöhnlich beobachtet, so 
wenig von einander verschieden, dass für die practische Astronomie 
die Theorien und mithin auch die Hypothesen gentigen. Das an- 
dere Hindemiss ist seit Anfang dieses Jahrhunderts gänzlich besei- 
tigt. Die Theorie der Refraction führte auf mathematische Aus- 
drücke, welche mit genügender Strenge zu lösen die früheren Ma- 
thematiker nicht vermochten; durch Auflösung einiger Integrale und 
durch geschickte Substitutionen hat die Mathematik den Entwicke- 
lungen seitdem einen Grad der Genauigkeit gegeben, welcher nichts 
ZU' wünschen übrig lässt. 

Die Theorien därBefraotion finden sich theils in eigenen Wer- 
ken, theils in den Zeitschriften gelehrter Gesdlschafteai niederge- 
legt xuid der Astronom, der sich mit den verschiedenen Theorien 
bekannt machen wül, hat oft Mühe die einzelnen Werke zu erlangen 
imd es kostet ihn, wenn er sie erlangt hat, grossen Fleiss die schönen 
Theorien ganz und gar durchzuarbeiten. Nicht minder interessant 
ist die Geschichte der ßefraction, welche zeigt, wie nach und nax>h 
diese ;Seite der Astronomie immer mehr vervollkommnet xmd nach 
vielen Irrungen selbst der grössten Astronomen und Mathematiker 
zu ihrem heutigien ßtandpuncte erhoben worden ist. 

Mb am 3. August 1854 die philosophische Facultät der Ber^ 
liner üniveiridtät, an der ich damals mseinen Studien oblag, als Preis»- 
aufgabe eine Darstellung der ßefraction in ihrer historischen Ent- 
wicklung von ihrer Entdeckung an bis auf die Jetztzeit stellte, 
wurde ich auf diesen interessanten Zweig der Astronomie auftneAsam 
und wagte mich sehr bald daran, die Aufgabe zu bearbeiten. Ich 
behandelte die astronomische Refraction, konnte aber der Kürze der 
Zeit wegen die terrestrische nicht bearbeiten; dessen ungeachtet 
verdankte ich der nachsichtigen Beurtheilung der Professoren der 
Astronomie und Mathematik,.dass.meiiier Arbeit der erste Preis 
zuerkannt wurde. Wegen anderer astronomischer Beschäftigungen 
konnte ich die Arbeit nicht gleich zum Druck befördern, ausserdem 
wollte ich noch eine ümärbdtung und Erweiterung derselben vor- 
nehmen, und als ich diese 1858 ausgeführt hatte, tiberreichte ich 
das Werk als Habilitationsschrift der philosophischen Facultät der 



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Vorwort. VII 



Berliner VJmverüiML Kdum ein halbes Jalir in dieser habilitirtj 
eriiielt ich einen Ruf ah die Universität Leipfeig, dem ich Ostern 
1860 Folge leistete ^nd jetzt erst wtirde es mir möglich die Arbeit 
zum Druck zu befördetm. 

Das vorliegendie Werk behandelt 4ie astronomische Refraction 
und iöt^eingetheilt in awei Abschnitte. Der erste Abschnitt ent' 
hält gana^ besonders die Geschichte der Refraction voik ihrer Bnt* 
deckung an biö gegen En^ des 18. Jährhunderts und a^gt, wie 
die Theorie der Strahlenbrechung immer meÜr aus^bildet wurden 
Der 2; Abschnitt beschäftigt sich mit den Arbeiten* über Refraction^ 
welche diesem JaKrhunäert angehören: die schönen Theorien dei* 
Heffoen der Wissenschaft sind gegeben, die Entwicklungen möglichst 
ab^kürzt und vereinfacht und an einigen Stellen eigke kürzere 
Entwicklungen, als die Urheber gegeben^ eingeführi Besonders ist 
auf die Verschiedenheit der Theorien auftnerksam -gemacht und aiü 
Schlüsse die aus denselben folgende Constitution der Atmo^häri 
abgeleitet, sodass durch diese Uebersicht jeder Astronom, siqh leicht 
filr diejenige Theorie entscheiden kann, welche er nach seiner 
Ueberzeugung oder nach Beobachtungen, die er an seinem Wohn- 
orte angestellt hat, für die richtigste hält. 

Die Litteratur über Refraction, welche mir in der Königlichen 
Bibliothek, in der Universitäts- und der Sternwartenbibliothek zu 
Berlin, in derUniversitäts- und Stern Wartenbibliothek zu Leipzig, so- 
wie in einigen Privatbibliotheken zugänglich war, habe ich benutzt 
und bin, soweit es möglich war, auf die Originalquellen selbst 
zurückgegangen, sodass ich hoffe nichts Wesentliches vergessen 
oder überschlagen zu haben. Die von mir benutzte Litteratur füge 
ich hier hinzu, 

* Bei der Umarbeitung im Jahre 1858 stand mir auch noch die 
Bearbeitung derselben Preisaufgabe von Herrn Wackemagel in 
Berlin, welcher 1855 einen 2ten Preis für seine besonders historisch 
gehaltene Arbeit errungen hatte, zu Gebote und durchNVergleichung 
mit meiner Arbeit konnte ich einige historische Daten berichtigen 
und ergänzen. Herrn Wackemagel bin ich dadurch zu grossem 
Danke verpflichtet. 

Die Geschichte und die Theorien der astronomischen Refraction 
umfassen im vorliegenden Werke fast 12 Druckbogen, es schien mir 
nöthig damit vorerst abzuschliessen und die Anwendung der gege- 



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VIII Vorwort. 

benen Theorien d. h. die Tafeln und die Anwendung der Befraction 
auf Beobachtungen besonders zu geben« Ich gedenke noch nach 
den vorzüglichsten Theorien in diesem Werke mit gleichen Con- 
stanten Tafeln zu berechnen, die Correctionen für Luftdruck und 
Wärme unter Einer Form zugeben, die Tafeln dann durch Beispiele 
zu erläutern und überhaupt die einzelnen Aufgaben über Refraction, 
welche in der Astronomie verlangt werden, durchzugeheiL Eine 
Behandlung der terrestrischen und der aussergewöhnlichen Refrac- 
tion, ganz in demselben historischen Gange wie ich es hier mit der 
astronomischen Refiraction versudit habe, würde alsdann den Bchluss 
bilden und das Ganze ein Werk von etwa derselben Stärke wie das 
vorliegende geben. Manche Vorarbeiten habe ich ^chon gemacht 
und einzelne Theile sind bereits vollständig fertig, ich würde aber 
mit grösserm Fleisse und grösserer Zuversicht das angefangene 
Werk vollenden, wenn das hier Vorliegende bei Sachkennern und 
Fachgenossen eine günstige Au&ahme fände. 

Leipzig, den 3. April 1861. 

Dr. C. Bruhns. 



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VEßZEICHNISS DER BENUTZTEN WERKE. 



CleomedeSy Circularis inspectio meteorum. BasUe^^ 1585. 

Ptolemäus, Optik. (Nach dem Auszuge, den Delambre in aeiner histoire de rastrouomie 
ancienne Tom. II. giebt.) 

Sextus Empiricns, Adversus astrologos. Edit. Fabricii 1718. Lib. V, p. 351. 

Alhazen, Opticae Alhazeni libri Septem. Ejusdem de crepusculis. Optica Yitellionis. 
Omnes instaurati a Fr. Bisnero. Basileae 1572. Fol. 

Roger Baco, Specula mathematica. Francofurti 1614, pag. 37. 

Walfher, Delambre bistoire de rastronomie du moyen äge pa^. 339, wo sieb findet ein 
Auszug aus: Coeli et siderum in eo, errantium observationes Hassiacae Principis 
Wilhelmi Hassiae Lantgravii auspiciis institutae. Et spicilegium biennale ex obser- 
vationibus Bohemicis Tycbonis Brabe. Nunc pHmiim publicante W. Staellio. Qui- 
bus accesserunt Joansiis Begiomontatii et Bernardi Walteri Observationes Nori- 
bergicae. Lugd. Bat. 1618. 4. . 

Tycho dQ Brabe, Asitronomif^e instaüratae prögjmnasmata. Francofurti 1648. 

, Epistolarum astronomicarum libri. üraniburgi 1596. 4. I, p. 105. 

Keppler, Ad Vitellionem paralipomena, qqibus astronomiae pars qptica traditur. Fran- 
cofurti 1604. 4. 

, Epitome Astronomiae Copemicanae. Francofurti 16^5, p. 74. 

Scheiner, Refractiones coelestes, sive Solls elliptici phenomenon illustratum. Ingol- 
stadii 1617. 4. 

Lansberg, Tabulae motuum coelestium perpetuae etc. Middelburgi 1^3. Fol. 

Riccioli, Almagestum novum astronomiam veter'em noramque complectens. Bononiae 
1651. Fol. (Besonders Anhang pars II.) 

Hevel, Prodromus astronomiae etc. Gedani 1690. Fol. 

, Selenographia. Gedani 1645. Fol. 

- — , Cometographia. Gedani 1668. Fol. 
Schickhard, nach Weidleri historia astronomiae. Vitemhergae 1741. 4. Cap. XV, § 52. 



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X VerzeichnisM der benutzten Werke. 

Cassini y nach Delambre histoire de rastronomie moderne, wo sich ein Antziig findet 
aus : Gas 8 in i, Novissimae motuum solis ephemerides ex recentioribus tabulis Cassini 
a Com. Malvasia supputatae. 1661. 
, Tables astronomiques du soleil, de la iune etc. Paris 1740. 4. p. 152. 

Pioard, Voyage d'Uranibourg. Amsterdam 1736. Nach Delambre histoire de Tastrono- 
mie moderne. Tom. n. p. 618. 

HewtOlly Principia pbilosophiae naturalis mathematica. Londini 1687. 4. 

, Tabula refractionum. Londini 1782. 4. 

Halley, On refraction, witb a table. Phil. Transactions. Lond. 1721. p. 169. 

Lemonnier, tSur les r^fractions horizontales. Mdmoires de Paris. 1766, 1773, 1780, 1781. 

Bongner, Methode d'observer exactement sur mer la hauteur des astres. Paris 1729. 
Nach Delambre histoire de Tastronomie au dizhuiti^me si^cle. 

, Sur ItB r^fractlona^aattfok. dans la t4n^ teltidd» ^oi. 46 P^i^ lf39. 

, Sur les refractions astron. M^m. de Paris 1749. 

Laoaille, Recherches sur les refractions astronomiques; avec une table. M^m. de 
Paris 1755. 

Horrebow, Atrium Astronomiae. Havniae 1TS2. * 

ttnygliens, Traite de la lumi^re. Leide 169Ö. 4. 

Wnrzelbaur, nach Delambre histoire de Tastronomie moderne. 

Le Gentil, Observations faites k Pondich^ry sur les refractions. Mem. de Paris 1774 
et 1789. 

, Sur les refractions horizontales au bord de la mer dans la zone torride. Mem. de 

Paris 1774. 

De lä äire, Examen d6 ia ligne eourbe formde pat un rayon dö lirthi^fe, qui tt^rteAe 
Tatmosph^re. M^m. d^ Paris IT^OS. pag. '52. 182. 

-- — , Tabulaeasteonoptticae. Paris 1702. ~" 

Cdssild n., Des refractions astrottotni^ues. M4m. de Pai$s 1714 

Cassini m., Sur la refi-action. M^m. de Paris 1742, 1745. 

Taylor, B., Methodus incrementorum directa et inversa. Londini 17^5. 4. p. 106. 

Hermanil, J., Disquisitio dioptrica de curvatura radiorum visivorum atmosphaeräih traji- 
'cientium. Actattrud. Lips. 1706. pag. =266. 

BemoiLUi, Jac, Opera II., p. 1063. Genevae 1744. 4. 

Bemonlli, Job*, Opera nt., p. 516. Lausannae et Genevae 1742. 4. 

ISemonlli, D., Hydrodynamica. Argentorati 1738. 4. pag. 221. 

Heinsius^ Q. , De rcomputo refractionum astronom. Lipsiae 1749. 

SimpsOE, Th., Determination of the astron. refractions. Mathematieal Dissertatioas. 
London 1743. 4. 

Bradley, Astronomical Observatipns made ad the Royal Observatory at Greenwich from 
the year 1750 to the year 1762. Oxford 1798. it'oL Vol. I 

Mayer, J. T., De refractionibus atronomicis. Altorfii 1781. 

Ealer, De la r^fraction de la lumi^re en passant par Tatmosph^re, selon les divers degr^s 
de la chal^ur et de l'elastie^e de Tair. M^. <de BerMn 1754. p. ISL > 



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VöftöicMftiftÄ äet betttiteten Wericfe. ' *Xl 

Lag^ange, Sur les r^fractions astrOöoöiifcftit^d. ^M^. dö B^lrö 1T72: ^ ''^ 

Lambert, L^^ proßH^t^s i^^mär^ti^l^ dfe lä 'i*öüt6 de lä lühllfefe päi» lö6 äli-ß. Ä la 
Haye 17*9. ^ / . ^ , , . 

-> Dasfielbe. Aug dem FrapzösiscAeuübjBrsetzt vo» Tempdb«ff. Berlin l?7a. 8. 

, lieber die Strablenbrechung. Berliner Jahrbuch für 1779. ■ 

Lez^ll, Von der horizontalen Sla:ahlenbrjBchun|f. Berl. Jahrb. für 1779. 

PameivB^^aoUacasAgimnoiliitaetb^oritt* iHagAQ 1766. . i' i / / 

Hettnert, Uth^t dte lültlkjl-e StraWönbrefcfcttn^. Beri. JfthHI>. föf I*r87. 

ütiäM, B.jDörefraötlöfaAuäköti-önotoicis. Eff. Itfil. 17^.' ' 

Kramp, Analyse de rdfractions astronomiques et terrestres. Strassbourg 1799. 4. 

Klügel, üeber die astronomische Strahlenbrechung. Berl. Jahrb. für 1804. 

Laplace, M^canique Celeste. Tom. IV. — Auszug in Gilbert's Annalen B. 25, pag. 393. 

OltmanUB, J., Untersuchungen über die Strahlenbrechung in den Tropenländern. Zach's 
monatl. Correspondenz. B. 16. 

Humboldt, Essai sur les r^fractions astronomiques. Voy. I, pag. 134. und Gilbert's An- 
nalen 31. p. 337. 

Tralles, Veränderung, welche die Feuchtigkeit in der Strahlenbrechung der Luft be- 
wirkt. Gilbert's Annalen. 27. p. 428. 

Groombridge , S. , Observations on atmospherical refraction at it effects astronomical 
observations. Phil. Transact. for 1810, 1814, Connaiss. des temps 1818, 1821. 

Brinkley, Anal, investigations on astron. refractions etc. Transactions of the R. Irish 
Academie. Dublin 1814. 

Bessel, Fundamenta astronomiae pag. 28, 43. Eönigsberger Beobachtungen Band 7, 
pag. 38, Band 8, pag. 22. Tabulae Kegiomontanae, Introductio. Berliner Jahrbuch 
1826. Astron. Nachrichten. Band 2. 

Tonng, Th. , On the astronomical refraction. Philos. Transact. for 1819, 1824. 

Ivory, On the astronomical refraction. «Philos. Transact. for 1823, 1838. 

, Note on the astronomical refraction. 1835. Astron. Nachrichten, Band 12. 

Syanberg, J., Disquisitiones analyticae in theoriam refractionum astronomicarum. Nov. 
act reg. soc. scient. Upsaliae. Tom. 9 et 11. 1827, 1839. 

Plana, Recherches analytiques sur la density de coucbes de l'atmosph^re et lath^orie 
des refractions astronomiques. M^m. de Turin pour 1822 et 1828. 

Schmidt, J. C. E. , Theorie der astronomischen Strahlenbrechung. Göttingen 1828. 

, Lehrbuch der physischen Geographie. Göttingen 1829. Band 2, pag. 305. 

, Ueber verschiedene Auf lösungen des Problems der astronom. Strahlenbrechung. 

Quart. Joum. of ^cience 1825 p. 347. 

Barfass, Fr. W., Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung. Astron. Nachr. 
Band. 15. 

Biot, Sur les refractions astronomiques, Comptes rendus. 1836. II, 1854. II, 1855. Conn. 
des temps. 1839. 

, Sur la Constitution de Tatmosph^re. Compt. rend. 1836.11, 1838.1. Conn. des 

temps. 1841. 



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zu Yenokbniss der beautstfio Werke. ' 

Lnbbocky On astronomical refracüo^sj Lonclon 1840. 

, On the theory of astron. refractions. Mem. of Ast. See. Tom. 24. 18fi6. * 

Baeyer, lieber die Strahlenbrechung in der Atmosphäre. Astron. Nachr! B. 41., 

, Ueber die Strahlenbrechung in der Atmosphäre. M^m. de TAcademie de St. P^ters- 

bourg 1860. 

Einige wenige Abhandlungen, welche noch in Dove^s Repertorium der Physik Bd. 2, 
p. XCVI, oder im Catalogus systematicns librorum in bibliotheoa speculae Pnleovensis. 
Petropoli 1860. pag. 458-* 463 aufgeführt sind, konnte ioh theils nicht erhalten , the$ls 
enthalten sie nur die Constantenbestimmung der Refraction oder die terrestrische Be- 
fraction und die letztere gedenke ich später zu bearbeiten. 



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INHALT. 



Erster Abschnitt. 

Die Geschichte der Befraction von der Bntdec^ung bis gegen das Ende des 
achtzehnten Jahrhunderts, von Cleomedes bis Oriani. 

Seite 

§ 1. Definition der Refraction 3 

§ 2. Die Entdeckung der Refraction. Cleomedes, Ptolemöas, Sexta» Smpiricus 6 
§ 3. Die Befraction wird besprochen von Alhaisen, Vltellio» Boger Baoo .... 8 
§4. Die Wiederentdeckung der Refraction durch Bernhard Walther, ihre Bestä- 
tigung durch BCaestlin, den Landgrafen von Hessen und Bothmann, die 

erste wirkliche Bestimmung und Tafeln von Tycho de Brahe 11 

§ 5. Eeppler sucht vergeblich nach dem Brechungsgesetz, er stellt eine Theorie 

auf und Tjerechnet danach Tafeln 15 

§ 6. Scheiner schreibt ein Werk über Refraction, er macht sich besonders verdient 
durch seine Messungen des Sonnendurchmessers am Horizonte. — Lansberg 
Bipcioli, Hevel sind Anhänger von Tycho und g^ben ebenso fehlerhafte 
Tafeln.— Ijinneanann, Graves und Schickhard haben richtigere Ansichten. 
— SneUius, ein Holländer, entdeckt, Deacartes publicirt das Brechungsgesetz 21 
§ 7. Beweise für das Brechungsgesetz : 1) nach der Annahme, dass das Licht, um von 
einem Puncto zum andern zu gelangen, immer die kürzeste Zeit gebrauche, 

2) nach der Emanationstheorie, 3) nach der Undulationstheorie 26 

§ 8. Erfindung des Barometers und Thermometers 30 

§ 9. Die Theorie der Refraction von Cassini. — Tafeln. — Picard zeigt, dass die 

Refraction mit der Temperatur veränderlich ist 33 

§ 10. Das Mariotte^sche Gesetz. Experimente von Hawksbee, Joh. Cassini, Delisle, 
wodurch bewiesen wurde, dass die Refraction der Dichtigkeit der Luft propor- 
tional ist. Newton erklärt die Refraction durch Attraction , Halley schlägt 
eine Correction der Refraction für verschiedene Barometerhöhen vor. Lemon- 
nier findet Unterschiede in der Refraction von der Temperatur hervorgebracht, 
und beobachtet zur Bestimmung der Refraction Circumpolarsterne .... 40 
§ 11. Bouguer bestimmt Refractionen in der heissen Zone, Lacaille entwirft Tafeln 
auf empirischem Wege und giebt nach Halley's und Mayer's Regel die erste 
Correctionstafel der Refraction nach dem Barometer- und Thermometerstande. 
Boemer's Ideen über Refraction, Horrebow's, Wurzelbaur's und Le Qen- 
til's Tafeln. Huygheus' Ansichten 42 



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XIV Inhalt. 

Seite 

§ 12. Versuche die Curve des Lichtes in der Atmosphäre zu bestimmen, die Arbei> 
ten von De la Hire, Hemnann» Newton, Taylor, Joh. CasBlnly Bouguer, 

Jacob, Johann, Daniel Bemotilli 47 

§ 13. Simpson'B Regel, die Formel von Bradley 51 

§ 14. Bradley'B Tafein, seine Correction wegen Barometer und. Thermometer To- 
bias Mayer's Formel 66 

§ 15. Suler's und I<amberf s Arbeiten über Refraction 60 

§ 16. Die Arbeiten von Iiagrange und Oriani 67 

§ 17. Rückblick auf das Bisherige und Stand der Refraction am Ende des 18. Jahrb. 75 

Zweiter Abschnitt. 

Die Arbeiten über Befraotion von Kramp bis jetzt. 

§ 1. Die Arbeiten auf dem Gebiete der Re&action in der ersten Hälfte des 19. Jahrb. 83 

§ 2. Entwicklung der Differentialgleichung für die Refraction 86 

§ 3. Ableitung der Refraction nach Cassini's, Simpson's und Newton's Hypothesen 

über die Dichtigkeit der Atmosphäre 88 

TT noo 

§ 4. Integration des Integrals e le~"dt. Tafeln für dies Integral 103 

§ 5. Theorie der Refraction von Laplaoe 114' 

§ 6. Veränderung -der Refraction wegen Barometer und Thermometer. — lieber 

den Einfluss der Feuchtigkeit nach Laplace , 121 

§ 7. Theorie von Bessel. — Correctionen wegen Barometer und Thermometer . . 124 

§ 8. Theorie von Thomas Young 131 

§ 9 und 10. Theorie von Schmidt 135 

§ 11. Theorie von Ivory 148 

§ 12. Die Correction wegen Barometer und Thermometer 160 

§ 13. Theorie von Lubbock .161 

§ 14. Arbeiten von Kramp, Plana, Brioschi, Svanberg, Biot, Baeyer .... 167 
§ 15. Allgemeine Uebersicht über die Theorien von Laplace, Bessel, Young, 
Schmidt, Ivory, Lubbock. Welche Constitution folgt aus diesen Theorien, 

welche stimmt am besten mit den Beobachtungen überein? 174 



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ERSTER ABSCHNITT. 

DIE GESCHICHTE DER REFRACTION 

VON DER ENTDECKUNG 
BIS GEGEN DAS ENDE DES ACHTZEHNTEN JAHRHUNDERTS, 

VON CLEOMEDES BIS OßlANl. 



Brühns, Refraction. 



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§1. 

Definition. 

Ein Etwas existirt im Weltraum, welches die Ursache der Sicht- 
barkeity der Wahrnehmung der Gegenstände ist, dieses Etwas, der Ver- 
mittler zwischen den Dingen und unserm Auge wird mit dem Namen 
Licht bezeichnet. Das Vorhandensein des Lichtes giebt den Zustand 
der Helligkeit, sein Fehlen ist Finsterniss. Wie das Licht von 
dem Gegenstande zu unserm Auge gelangt, wie es sich fortpflanzt, darüber 
ist man bisher verschiedener Meinung gewesen, durch die neuesten Ent- 
deckungen gewinnt aber die von Huyghens aufgestellte Hypothese, dass 
die Bewegung, analog der des Schalles, wellenförmig sei, immet mehr 
an Wahrscheinlichkeit und die Zahl der Anhänger der Newton'schen Ema- 
n.ationstheorie, nach der von den Gegenständen materielle Theilchen 
ausströmen, wird immer kleiner. — Sei es nun, dass das Licht sich durch die 
wellenförmige Bewegung des im ganzen Welträume verbreitet angenommenen 
Aethers fortpflanzt, sei es, dass von dem Gegenstande, den wir sehen, 
materielle Theilchen sich mit der ungemein grossen Geschwindigkeit von 
42,000 Meilen in der Secunde fortbewegen oder sei beides nicht richtig, 
immer bleibt der Grundsatz wahr, den schon Eucljdes 300 Jahre v. Chr. als 
ersten Erfahrungssatz aufstellt, dass „das von einem Gegenstande aus- 
strömende, sich nach allen Seiten hin verbreitende Licht, welches 
angesehen werden kann als eine unendliche Menge neben einander liegender 
Linien, die mit dem Namen Lichtstrahlen bezeichnet werden, sich in 
grader Linie bewegt.'^ 

Eine durchsichtige Substanz, durch die die Lichtstrahlen durchgehen, 
heisst ein Medium. Sobald der Lichtstrahl in ein andres Medium eintritt, 
nimmt er eine andere Richtung an, er wird gebrochen. Der gebrochene 
Strahl liegt mit dem ursprünglichen in einer Ebene, man sieht es sehr gut 
an einem Stabe, der in ein Gefäss mit Wasser gestellt wird, er erscheint nicht 
grade, sondern gebrochen oder er bildet einen Winkel. Auch dies ist in 
den allerältesten Zeiten bekannt gewesen, denn der 7. Erfahrungssatz der 



1* 



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4 Definition. 

Euclides'schen Katoptrik ') heisst: „Wenn in ein Gefäss ein Gegen- 
stand hineingeworfen wird und man sich so weit entfernt, dass der 
Gegenstand nicht mehr gesehen werden kann, so wird er wieder 
sichtbar, wenn man Wasser hinein giesst." Diese Erscheinung ist 
offenbar mit der vorigen identisch. 

^ Der Weg, den der Lichtstrahl in dem neuen homogenen Medium zurück- 
legt, ist wieder ein grader. Geht der Lichtstrahl durch ein heterogenes Mittel, 
so wird er immer fort und fort gebrochen, man kann sich das heterogene Mittel 
nämlich in unendlich viele verschieden homogene Schichten zerlegt denken, 
in jeder Schicht beschreibt der Strahl einen gradlinigen, unendlich kleinen 
Weg, alle Wege zusammen genommen stellen eine gebrochene Linie von un- 
endlich vielen Graden zusammengesetzt oder eine Curve dar. Betrachtet das 
Auge durch ein solches Medium einen Gegenstand, so sieht es ihn oflPenbar 
in der Richtung, in welcher der Strahl zuletzt aus dem heterogenen Mittel in 
das Auge tritt, in der letzten Tangente der Curve. 

Unsre Erde ist mit einem solchen heterogenen Mittel umgeben, die Luft hat 
nicht in allen Höhen gleiche Dichtigkeit, je höher man steigt, desto dünner 
wird sie, und die Lichtstrahlen von den Gestirnen kommen durch dünne, 
dichtere und immer dichtere Schichten in unser Auge, ihr Weg ist daher 
keine grade, sondern, weil die Luftschichten nach und nach immer dichter 
werden, eine krumme Linie, eine Curve. Der von dem Sterne S kommende 
Lichtstrahl, in Figur 1, den wir, wenn das Medium bis A, unserm Auge, 
homogen wäre, wegen der unendlichen ^Entfernung der Gestirne in der Rich- 
tung S"A sehen würden, triflft in B die erste Luftschicht und wird dort ge- 
brochen, in B' der zweiten, etwas dichteren Luftschicht wird er mehr gebrochen, 
in B" und B'" immer mehr, so dass er in A unser Auge trifft und wir den Stern 

5 in der Richtung AS', der letzten Tangente der Curve BB'B"B'^A sehen. 
Der Unterschied der Richtungen AS" und AS' oder der Winkel S"AS' ist der 
Betrag der astronomischen Refraction. 

Es sei AB in Figur 2 ein Medium, S ein Gegenstand, von dem ein Licht- 
strahl ausgeht, so trifft dieser in E das Medium; er würde, wenn das Medium 
dieselbe Dichtigkeit wie der es bis S umgebende Raum hätte, in der Richtung 
EE" fortgehen. Aber ist AB dichter, so wird der Lichtstrahl in E gebrochen 
und sein Weg ist SEE'. Der Winkel, den der Strahl SE mit der Normale DE 
auf BA macht, W. SED heisst der Einfallswinkel, W.E'ED', gebildet durch 
die Richtungen, die die Normale und der gebrochene Strahl mit einander 
machen, dagegen der Brechungswinkel. — Bei d^in Uebergange des Licht- 
strahls von einem dünnern in ein dichteres Medium nähert sich der Licht- 



») Man hat wegen einiger Fehler, die in der Optik des Euclides vorkommen, an der 
Aechtheit dieser Schrift gezweifelt, so unter anderm wird der 7. Erfahrungssatz zum ße- 
weise der 31 Theoreme über Katoptrik gar nicht gebraucht. An der Aechtheit ist wohl 
kaum zu zweifeln, möglich aber, dass einige Sätze durch Commentatoren hinzugesetzt 
sind, siehe Wilde, Geschichte der Optik. 



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Entdeckung der Refcaction. 5 

strahl dem Einfallslothe, der Brechiingswinkel ist kleiner als der Einfalls- 
winkel. — Dieser Satz ist auch in dem erwähnten siebenten Erfahrungssatz 
des Euclides schon enthalten. Bei der astronomischen Refraction bewirkt er, 
da der Lichtstrahl in immer dichtere Schichten übergeht, dass die Curve 
unserm Auge die concave Seite zukehrt und wir das Gestirn durch die Re- 
fraction höher über dem Horizonte sehen, als es wirklich ist. 

Beobachten wir auf der Erde einen Gegenstand, so erscheint dieser auch 
in einer andern Richtung, als er wirklich sich befindet, indem wegen der 
Krümmung der Luftschichten die Lichtstrahlen Schichten von verschiedener 
Dichtigkeit durchlaufen und dadurch der Weg eine Curve wird. Die Differenz 
zwischen der letzten Tangente der Curve und der wirklichen Richtung wird 
bezeichnet mit dem Namen: Terrestrische Refraction. 



§2. 

Die Entdeckung der Refraction. Cleomedes, Ptolemäus, 
Sextns Empiricns. 

Die genaue Kenntniss sowohl der astronomischen wie der terrestrischen 
Refraction ist für den jetzigen Stand unserer Wissenschaften, der Astro- 
nomie, Geodäsie und verwandten Fächer von einer so gi'ossen Wichtigkeit, 
dass ohne sie alle unsre Bestimmungen der Breiten, der Längen, der Dekli^ 
Rationen, Bectascensionen, alle unsre Höhen- und Azimutalwinkel so beträcht- 
lich irrig würden, dass dadurch die ganze schöne Harmonie der Bestimmungen, 
gefunden auf den verschiedensten von einander ganz unabhängigen Wegen, 
aufhören und unsre Vorausberechnungen nur roh und genähert richtig sein 
würden. — Nicht so war es früher; erst seit der Zeit, dass unsre Instrumente 
so vollkommen sind, dass sie uns Bruchtheile von Sekunden angeben, ist es 
Bedürftiiss geworden, die Refraction in allen Höhen genau zu kennen und 
dem Scharfsinne eines Laplace, Bessel, Ivory u. A. gelang es, Theorien auf- 
zustellen, die der jetzigen Praxis vollkommen entsprechend sind. Die Noth- 
wendigkeit hat diese Fortschritte hervorgebracht, und es ist zu bewundern, 
dass eine Erscheinung, die sich für eine bestimmte Gegend selten ereignet, 
das Einti'effen einer Mondfinsterniss bei Sichtbarkeit der Sonne schon vor 
fast 2000 Jahren die richtige Ursache entdecken liess. 

Nicht den eigentlichen Beobachtern verdanken wir die Entdeckung dei* 
Refraction ; die alten Indier, Chinesen, Chaldäer, Aegypter und Griechen hatten 
wenige Instrumente, und die sie benutzten, waren äusserst unvollkommen. Die 
ältesten Beobachtungen, die wir kennen, sindBeobaohtungen von Conjunctionen; 
Finsternissen, die Orter der Sterne^ wurden anfangs nach dem Augenmaasse und 
in den Sternbildern angegeben und erst um das Jahr 300 v. Chr. fingen 
Timocharis und Aristyll an die Sphäre durch grösste Kreise einzutheilen und 
durch diese und auf diese die Sterne zu bestimmen und zu beziehen. Die 



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6 Cleomede's Arbeiten. 

damaligen Beobachtungen waren aber noch viel zu ungenau, um Differenzen 
von einem halben Grade — so viel beträgt nämlich die Refraction am Horizont, 
— angeben zu können; selbst der grosse Hipparch (v6n 160 — 125 v. Chr,)> 
der durch das Erscheinen eines neuen Sternes veranlasst wurde mittelst 
grosser Armillarsphären von 1026 Sternen die Längen und Breiten zu be- 
stimmen, der sogar durch das erste Aufgehen der Sterne vor Sonnenaufgang 
in den Nachtgleichen die Praecession entdeckte, scheint von der astrono- 
mischen Strahlenbrechung nichts gewusst zu haben. 

140 Jahre nach ihm (unter Augustus^) wird angenommen) lebte ein 
Schriftsteller Cleomedes, der uns ein Werk: Circularis inspectio meteorum 
(Basileae 1585) hinterlassen hat und in diesem kömmt die erste Erwähnung 
der Refraction vor 2). 

Dieses Werk, eine Sammlung philosophischer Arbeiten seiner Zeit und 
besonders des Posidonius, enthält etwas über die Messung eines Erdgrades, 
über d^n Durchmesser der Sonne und über Mondfinstemisse. Er hatte gehört, 
dass man eine Mondfinsterniss sehen könne, wenn Sonne und Mond gleich- 
zeitig über dem Horizonte seien. Anfangs bestreitet er es , denn nach der 
Theorie müssten die Mittelpuncte der Sonne, der EJrde und des Mondes nahe 
in einer Ebene liegen, und diese Theorie zu stürzen, sei deshalb nicht gut 
möglich , weil die Vorausberechnungen dieser Erscheinungen mit der Wahr- 
heit übereinstimmten , denn nie bei einer andern Stellung des Mondes , als im 
Vollmonde, fUnde eine Mondfinsterniss statt. Das ihm zu Ohren gekommene 
Phänomen, meint er, könne daher nicht gut wahr sein, doch fahrt er fort: 
„Ebenso wie ein Ring in einem Gefösse durch eingegossenes Wasser sichtbar 
„über den Rand emporgehoben wird, ebenso kann die Sonne durch die Re- 
„fraction schon gesehen werden, wenn sie in Wirklichkeit noch unter dem 
„Horizonte ist." — Das ist alles, was wir von Cleomedes erfahren, es ist 
genug, um zu sehen, dass die Refraction bekannt war. 

Mehr erfahren wir erst 140 Jahre später durch den grossen Ptoleraäus, 
der 140 n. Chr. als der letzte grosse Stern über dem Horizonte der Alexan- 
drinischen Schule glänzte, besonders dadurch, dass wir von ihm ein Lehrbuch 
der Astronomie, eine Optik, eine Geographie und andere Werke hinterlassen 
erhalten haben. 

Seine Astronomie wurde im Mittelalter von den Arabern aus dem Griechi- 
schen ins Arabische übersetzt und Almagest genannt, welchen Namen sie noch 
jetzt trägt. Sie enthält eine Sammlung aller dem Ptolemäus bekannten Beob- 



*) Cleomedes erwähnt keines spätem Astronomen als des Posidonius, man hat daher 
angenommen, dass er gleich nach diesem gelebt habe — das ist alles, was man über sein 
Zeitalter weiss. 

^) Bei Posidonius sind Andeutungen, dass ihm die Existenz der Refraction bekannt 
gewesen, er hatte aber so irrige Begriffe davon, dass man ungewiss bleibt, ob er über- 
haupt gewusst habe, was Kefiraction eigentlich sei. 



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achtungen und giebt den Standpunet der Aatronomie der damaligen Zeit au, 
;dar Befraction gedchieht in d^m ganzian Buche ^) keine Erwähnung. 

Die Optik des Ftolemäus ist uns nicht ganz bekannt^ sie war einige Jahr- 
hunderte, gänzlioii verloren 2) und erst Laplace war so glücklich, sie in den ver- 
staabten Manuscrijrten der Pariser Bibliothek wieder aufzufinden. Das 
vorhandene Exemplar ist eine lateinische üebersetzung aus dem Arabischen 
mit 211 Seiten in Quartformat und 5 Abschnitte enthaltend. Der erste Ab- 
schnitt fehlt; doch enthält der zweite als Ueberschrift den Inhalt des ersten, und 
daraus weiss man, dass er vom Lichte und dem Auge^ von ihren Aehnlich- 
keiten und Verschiedenheiten handelt. Der zweite bespricht die Bedingungen der 
Sichtbarkeit der Dinge ^ der dritte beschäftigt sich mit ebenen und erhabenen 
Spiegeln, der vierte mit Hohl- und zusammengesetzten Spiegeln, und endlich der 
Anfte enthält eine Dioptrik und ißt dadurch der wichtigste. In ihm geht Ptole- 
mäus von dem schon erwähnten Erfahrungssatze des Euclides aus, dass das 
Wasser einen Gegenstand höher erscheinen lässt, als er sich wirklich befindet. 
Die Ursache davon, sagt er, ist die Brechung und mit einem dazu eingetheilten 
Kreise bestimmt er von 10 zu 10 Grad zu den Einfallswinkeln die Brechungs- 
winkel für die Medien: Luft und Wasser, Luft und Glas, und Glas und 
Wasser. Nachdem er dafür eine kleine Tafel gegeben, geht er zur astrono^ 
miachen Refraction über, deren Existenz er durch folgende Worte beweist: 
„Invenimufi res, quae oriuntur et occidunt, magis declinaptes ad septem- 
„trionem, et, cum fuerint Orientes vel occidentes, circuli utique aequidistantes 
„aequinoctiali, qui describuntur super illas, propinquiores Bunt ad septem- 
„trionem, quam circuli, qui describuntur super illas, cum fuerint in medio 
coeli/^ An einer andern Stelle spricht er davon, dass die DiflFerenz zwischen 
dem wahren und scheinbaren Orte desto geringer werde, je höher der Stern 
stehe und dass im Zenithe wahrer und scheinbarer Ort zusammenfalle und, 
zwar deshalb, weil die senkrechten Strahlen keine Brechung erleiden; durch 
eine Figur zeigt er, das» in allen Fällen die Refraction die Sterne dem Zenithe 
nähere, dass dies auch in gewissen Fällen in Hinsicht des Poles gelte, dass 
aber auch gerade für den Pol entgegengesetzte Fälle stattfänden, das heisst 
dass die Refraction die Sterne vom Pole entferne 3). Die Ursache der Re- 



*) Lalande in seiner Astronomie, Edition 3, Tom. IL, pag. 512, deutet auf eine Stelle 
im 8. Buche des Almagest hin und glaubt darin eine Andeutung auf die Kefraction zu er- 
blicken. Diese Stelle heisst in der französischen Uebersetzung von Halma Almag. T. II., 
pag. 112: £t il est bien diffieile, dans les observations meme des phases des ^toiles, que 
le temps de la premi^re apparition et de la disparition soit fix^ juste, tant relativement 
a ceux qui les voient, qu'a cause de l'atmosphere, comme je Tai reconnu par ma propre 
experience, et par la difference des resultats. 

In dem ganzen Capitel spricht Ptölemäus von dem Erscheinen und Verschwinden 
der Sterne, von der Refraction scheint mir aber keine Andeutung zu sein. 

*) Sie war in Europa bekannt vom 12. bis 15. Jahrhundert, Koger Baco und Fa- 
bricius z. B. erwähnen ihrer, nachher hielt man sie, bis Laplace sie auffand, für verlöre». 

9) Dies geschieht bei Sternen, die i^wischen Pol und Zenith culminiren. 



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8 SextoB ^^irimui Arbeiten. 

fraction ist der Uebei'gang der Lichtstrahlen aus dßm Aether in die diohtere 
Luft, die er sich sphärisch um den JMSttelpunct der Erde denkt* Um die Of ö«fte 
der Re£raction eu bestimmen, schlägt er vor, die Sonne^ den Mond oder besser 
noch die Fixsterne in allen Zenithdistanzen au beobachten und die wahren 
Zenithdis tanzen zu berechnen, der Unterschied beid^ sei die Refraction. 
Diese Bestimmung war für ihn wegen der ungenauen Instrumente unmdgKch, 
und eine Tafel för die Refraction auf theoretischem Wege zu entwerfen^ 
sagt er, sei ihm nicht möglich, weil er die Höhe der Atmosphäre nicht k^ine. 
£in Gesetz jedoch müsse zwischen den Einfalls- und firecbungswinkelii statt- 
finden. 

Dass Ptolemäus das Brechungsgesetz nicht fand, lag daran, dass seine 
oben erwähnten Tafeln der Einfalls- und Brechungswinkel Fehler über einen 
ganzen Grad zeigen; seine Begriffe von der Refraction waren ganz richtige, 
weit richtigere, als selbst 1400 Jahre später Tycho de Brahe sie hatte, er be^ 
handelte die Refraction ganz als Theoretiker, sie practisch zu bestimmen gab 
er nur den Weg an. Keiner nach ihm in vollen tausend Jahren hat mehr ge- 
leisibet. Nur Erwähnung geschieht der Refraction, und zwar zuerst bei Sextus 
Empiricus zu Anfang des 3. Jahrhunderts in sein^ Schrift: Adversus astro^ 
logOB. Edit. Fabricii 1718. Lib. V. pag. 351, wo es, um einen Astrologen, deir 
das Horoscop eines neugebomen Kindes stellen soll, und seine Kimst lächer^ 
lieh zu machen, heisst: Der triftigste Grund gegen die Kunst dw Obaldäer, 
der hier hinzugefügt werden muss, ist der, dass wegen Verschiedenheit der 
Luft nahe am Horizonte, weil hier die Luft sehr dicht ist, das eigentlich noch 
unter der Erde befindliche Zodion wegen der Brechung des Gesichtsstrahls 
schon darüber erscheint 

§3. 

Die Refraction wird besprochen von Alhazen, Vitello, 

Boger Baco. 

Es trat im Fortschritte der Wissenschaft eine grosse Pause ein, das 
Abendland opfert dem Kriege seine letzten Kräfte und viele Jahrhunderte 
verfliessen, bevor es sich erholen kann. Im Mittelalter herrschte eine Partei, 
die absichtlich jedes Streben nach Licht und Wahrheit unterdrückte und volle 
13 Jahrhunderte verfliessen in Finsterniss und Aberglauben, nur im Morgen- 
lande schimmert auf kurze Zeit ein kleines Sternenlicht durch. 

Ein Volk tritt eine Zeit lang auf die Weltbühne mit dem Schwerte in der 
Hand, den Islam verbreitend und alles, was nicht im Koran steht, als etwas 
Ueberflüssiges und Unnützes betrachtend. Während aber noch im Jahre 641 
der Kalif Omar die kostbare, reiche alexandrinische Bibliothek dem Feuer 
übergab, nahmen sich schon anderthalb Jahrhundert später, nachdem die 
Völker Asiens und Nordafrikas den Islam angenommen und das Schwert daher 
in die Scheide gesteckt war, die Kalifen zu Bagdad, die Abbassiden besonders, 



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der Astronomie an imd ein Kalif Almamua (814 — 83ä) niioüiit selbet \mi^ ihren 
Jtogem Qine ehreüwefthe Stelle ein^ üto da» Jahr 1100 lebte unter den 
Arabern ein Gelehrter mit Namen Alhazen^ von dem wir eine Optik ^) beh 
sitzen, in der zuerst die Befraotion wieder besprochen wird. 

Das Buch ist eingetheilt in sieben Abschnitte und der siebente enthält di^ 
Befraction^ ein Anhang handelt von der Dämmerung. 

Ob Alhazen die Optik des Ftolemäus gekannt hat, ist unentschieden, denn 
er selbst erwähnt an keiner Stelle seines Werkes des Ptolemäus. Montucla 
in der Histoire des mathematiques^) verdächtigt ihn, folgend einem Ausspruche 
Boger Baco's in der specula math. pag. 37, wo es bei Gelegenheit der Be- 
fraction heisst: „Sic autem Ptolemaeus in libro V. de Opticis docet, et Alhazen 
in libro Vn." 

Montucla kannte nicht die damals für verloren gehaltene Optik des Pto- 
lemäus; nach der glücklichen Auffindung derselben durch Laplace hat sich 
herausgestellt, dass Alhazen, selbst \yenn er das Buch des Ftolemäus gehabt 
hat, doch grosse Verdienste durch die Erweiterung der Optik sich erwarb. 
So z. B. stammt von ihm die noch jetzt bestehende Hypothese ^), dass die 
Gestirne am Horizonte deshalb grösser erscheinen als im Zenithe, weil wir 
uns einbilden, dass sie wegen der dazwischen liegenden Gegenstände ent- 
fernter seien. Ja auch die Vergrösserung der Gegenstände, durch ein gläsernes 
Kugelsegment betrachtet, hat er ^gekannt, aber weder er noch fioger Baco 
haben nicht im entferntesten die Zusammensetzung zweier Glasstücke zu 
einem Fernrohre geahnt. 

Dass der gebrochene mit dem einfallenden Strahle in einer Ebene liegt, 
dass beim Uebergange des Strahles von einem dünnen in ein dichteres Me- 
dium er sich dem Einfallslothe nähert, sind seine Erfahrungssätze f dass aber 
ein Gesetz zwischen dem Einfalls- und Brechungswinkel existire, will ihm 
Glicht für den ganzen Quadranten möglich scheinen. 

Die Befraction behandelt er auf ähnliche Art, wie Ptolemfius, und im sieben- 
ten Abschnitte, der „Stella videturrefracte" überschrieben ist, giebteran, dass 
man sie bestimmen könne durch Beobachtungen der Sterne, welche das Zenith 
passiren. Mit einer Armillarsphäre solle man die Poldistanz d^s Sternes, 
wenn er am Horizonte und im Meridian stehe, messen, so würden sich Diffe- 
renzen zeigen» — Ptolemäus drückt sich bestimmter aus, er sagt, da^8 
im Zenith die Befraction verschwindet, Alhazen nicht so; doch indem dieser 
davon spricht, dass der Stern ohne Befraction unveränderlich sich auf dem- 
selben Parallele bewegen müsse, d^rch dieselbe sich aber dieser fortwährend 
ändrc^, so geht hervor, dass ihm bekannt gewesen ist dass die Befraction mit 



*) Optica Alhazeni. Ejusdem de crepusculis, Optica Vitellionis cum commentariis a 
BVed. Risnero Basileae 1672. Fol. 

*) Tom. L, pag. 313. 

8) Artikel 51 und 55 des 7. Abschnittes. 



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10 Alkasen'B Arb^ten. 

der Höbe verschieden sei. Ebenso geht dies hervor aus dem 54. Artikel 
des 7. Buches, worin er beweist, dass am Horizonte durch die Röfraetion die 
Durchmesser der Gestirae verkleinert erscheinen müssten. 

Merkwürdiger als der Tractat über die Kefraction ist die Abhandlung 
über die Dämmerung. Im ersten Capitel dieses Anhanges erklärt er, dass 
die Abend- und Morgendämmerung von der Sonne herrühre, erstere nach dem 
Untergänge, letztere vor dem Aufgange stattfinde und die Dauer derselben 
so lange währe, bis die Sonne 19 Grad unter dem Horizonte sei. Im 6. und 
letzten Capitel berechnet er die Höhe der Atmosphäre. — Ueberschrieben ist 
das Capitel: 

Posita peripheria maximi in terra circuli 24000 milliarium Itali- 
corum, erit summa vaporum in nubem coactorum a terra altitudo 52,000 
passuum. 

Der kleine Kreis in Figur 3 sei die Erde, der grosse die Sonne, c m o ein 
Theil der täglichen Bahn der Sonne um'die Erde, der Kreis q zn um die Erde 
sei die Atmosphäre, in e stehe der Beobachter, so wird dieser den von der 
Sonne kommenden Strahl m q, der von der Atmosphäre in q reflectirt wird^ 
wenn der Mittelpunct der Sonne sich noch in c befindet, sehen. Bevor man 
die Sonne oder den Rand der Sonfte vielmehr sieht, hat sie noch den Bogen 
m zu durchlaufen, und dieser Bogen der Dämmerungsbogen ist nach Al- 
hazen 19 Grade. — Wie gross er den Schritt angenommen, wissen wir 
nicht, eben so wenig haben wir Bestimmtes über die italienische Meile, die 
Rechnung macht sich aber sehr einfach. Es ist 

W. q m = 190 1), W. e d m = leio 
und da iieq^k^Akqh und rechtwinkelig 

so ist W. q, k h == W. e k d = 9» 30' 

und rq = (8ec9»30— l)kh = 0,013905 kh. 

Nimmt man k h den Halbmesser der Erde = 859,6 Meilen, so folgt r q, die 
Höhe der Atmosphäre, nahe 12 Meilen. Für den jetzt gewöhnlich zu 18® an- 
genommenen Dämmerungsbogen folgt r q = 10,7 Meilen. 

Auf eine so leichte, sinnreiche Weise löste der Araber, was Ptolemäus 
in seiner Optik für unmöglich hielt, nämlich die Höhe der Atmosphäre 
zu bestimmen, weiter aber mit der Bestimmung der Refraction ging er 
nicht. Ebenso wenig finden wir Neues in der von Risnero mit Alhazen's 
Optik zugleich herausgegebenen Optik von Vitello. Vitello erwähnt nur der 
Refraction und giebt zu Alhazen'« Arbeit einige Zusätze aus der Optik des 
Ptolemäus. Eine von ihm gegebene Tafel der Einfalls- und Brechungswinkel 



1) Streng genommen, ist der Winkel m q o nicht == 19®, wenn der aus dem Mittelpunct 
k gezogene Bogen o m = 19" ist. Wegen der grossen Entfernung aber der Sonne im Ver- 
hältniss zum Erdhalbmesser kann die Differenz, die nur Secunden beträgt, vernach- 
lässigt werden. 



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Walther'g Arbeiten. 11 

von 10 zu 10*^ der Lichtstrahlen von Luft in Wasser weädit wenig von der 
des Ptolemäus ab '). 

Auch Roger Baco, Professor in Oxford bis 1294 (geh, 1214) erwähnt, 
aber nur ganz oberflächlich, der Befräction in seinen Werken, 



§4. 

Die Wieder entdeckung der Befräction durch Walther, ihre 
Bestätigung durch Maestlin, den Landgrafen von 'Hessen 
und Bothmann, die erste wirkliche Bestimmung und Tafeln 

von Tydio de Brahe. 

Ueber 200 Jahre verfliessen, ohne dass auch nur in irgend einem Buche 
der Refraction gedacht wird. Der Schüler eines Mannes, der der erste Heros 
der wiederauflebenden practischen Astronomie genannt werden kann und be- 
sonders als erster Beobachter nach vielen Jahrhunderten wieder auftritt, 
Johannes Regiomontan^s würdiger Mitbeobachter und Nachfolger, der reiche 
Patricier Bernhard Walther zu Nürnberg, der zuerst 1484 eine Uhr mit 
Räderwerk bei seinen Beobachtungen gebrauchte und die Methode den Ort 
eines Gestirns durch Distanzmessungen von zwei Fixsternen zu bestimmen ein- 
führte, fand die Refraction bei seinen Beobachtungen wieder auf. Im Jahre 
1489 machte er die erste Beobachtung, vielleicht die älteste, welche überhaupt 
existirt, über die Refraction. Er sagt 2): „Es ist zu bemerken, dass die Sterne 
„bereits durch die gebrochenen Strahlen über dem Horizonte gesehen werden, 
„wenn sie in Wirklichkeit noch unter demselben sind. Sextus Empiricus hat 
„dies gesagt 1000 Jahre früher, aber er hat es nicht beobachtet. Ich habe 
„diese Thatsache oft bemerkt, bevor ich den Alhazen und Vitello gelesen 
„habe, in deren Werken es klar ausgesprochen ist." — Um bei seinen Beob- 
achtungen die Refraction zu eliminiren oder doch ihren Einfluss äusserst gering 
zu machen, stellte er seine Beobachtungen in der Nähe des Meridians an, und 
wenn er in der Nähe des Horizontes zu messen genöthigt war, z. B. bei 
Längendiflferenzen zwischen Venus und der Sonne, half er sich damit, dass er 
durch ein Loth die scheinbare Länge der Sonne auf die wahre Ekliptik pro- 
jicirte und die Länge der Sonne von dem Puncto in der Ekliptik an rechnete, 
in welchem das durch die Sonne gehende Loth die Ekliptik schnitt. 

Der Landgraf von Hessen mit seinem Mathematiker Rothmann, und 
Maestlin, der Lehrer des grossen Keppler, bestätigten durch ihre Beobach- 



1) Diese Tafel findet man in Gilberts Annalen B. XL. pag. 385, in Wilde's Ge- 
schichte der Optik, pag. 80, und in Delambre'sHistoire de l'astronomie ancienne, Tom. II., 
pag. 429. 

2) Nach Delaml^re's histoire de l'astronomie du moyenne age p. 389. 



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12 Tyeho's Arbeiten. 

taugen das Vorhandensein der von dem Nürnberger Astronomen zuerst beob- 
achteten Strahlenbrechung. 

Das 16. Jahrhundert sollte aber noch mehr thun ; durch Beobachtungen 
mit einer viel grossem Genauigkeit als früher hatte man das wieder gefunden, 
was Ptolemäus und Alhazen auf theoretischem Wege gefunden hatten. Dieser 
letztere Weg blieb noch lange verödet, der erstere wurde zuerst etwas mehr 
beschritten. Walther und seine nächsten Nachfolger eliminirten den Einfluss 
der Refraction; die ingeniöse Umgehung des erstem erforderte aber viele 
Mühe, und wie gross die Fehler noch geblieben sind, ist nicht untersucht, weil 
die Beobachtungen nur flir ihre Gegenwart, nicht einmal für die nächste Zu- 
kunft gut genug waren. Dasselbe Jahrhundert war es, das noch einen Mann 
auf dem Felde der practischen Astronomie hervorrief, wie vor ihm noch 
keiner gewesen war. 

Die äussere Veranlassung, dass ein Mann mit einer eisernen Beharrlich- 
keit, einer Selbstständigkeit und Festigkeit, die gar manchmal in Eigensinn, 
ja in Grausamkeit ausartete, sich der Urania widmete, war eine Erscheinung, 
die sich öfter ereignet und von so vielen Tausenden mit den gleichgültigsten 
Augen betrachtet wird: eine Sonnenfinsterniss im Jahre 1560 erweckte in 
Tycho de Brahe (geboren am 13. December 1546 zu Enudstorp in Schonen) 
den ersten Keim für die Wissenschaft, deren eifrigster Beförderer er wurde. 
Heimlich nur konnte er in Leipzig, wo er die Rechte studirte, die Sternkunde 
betreiben, und als er in seinem X7. Jahre fand, dass die Planetentafeln sehr 
fehlel'haft seien, war sein Bestreben sofort auf Verbesserung derselben ge- 
richtet. — Hatte man bisher bis auf Grade oder aliquote Theile von .Graden 
nur beobachtet: Tycho schuf sich neue Instrumente, mit denen er Minuten 
bestimmen konnte. 

Auf der Uranienburg, der ihm vom Könige Friedrich 11. von Dänemark 
auf der Insel Heven im Sunde 1576 erbauten Sternwarte, machte er seine 
durch Keppler so berühmt gewordenen Beobachtungen, während eines Zeit- 
raumes von 20 Jahren. Mit zwei Instrumenten bestimmte er durch die obere 
und untere Culmination der Circumpolarsterne die Polhöhe und leitete sie 
auch aus den Wintersolstitialbeobachtungen der Sonne her. Bei dieser Ab- 
leitung fand er, mit der erstem Bestimmung verglichen, eine Differenz von 
4 Minuten *), deren Ursache er anfangs dem Instrumente zuschrieb. Als er 
aber mit andern Instrumenten beobachtet und dieselbe Dijfferenz gefunden 
hatte, kam er auf den glücklichen Gedanken, dass dies die Wirkung der Re- 
fraction sei. Von da fing er an mit einem lOfüssigen Armillarinstrumente, 
das er sich eigens dazu baute, und einem Quadranten die Sonne ypn ihrem 
Aufgange bis zum Meridian und von da bis zum Untergange zu verfolgen und 
die Höhe zu beobachten. Er berechnete die Höhe, wie sie sein müsste ohne 



1) Tycho de Brahe Astronomiae instauratae progymnasmata. Francofurt. 1648. 
pag. 15. 

. ' DigitizedbyL^OOQlC 



Tyoho'fl Arbeiten. 



13 



Beiraction^ und indem er diese von der beobachteten abzog, fand er filr 4i^ 
verschiedenen Höhen den Betrag der zugehörigen Refraction. 

Ais Frucht vieler Beobachtungen und Bereehnpngen giebt er fiir 4ic Sonn^ 
folgende kur:5e Refractionstafel ^)i 



Tyohonis Tabula RefiracÜonum Solarium. 


Altit. 


Refractio. 


Altit 


Refractio. 


© 




© 




Gradns. 


4 ii 


Gradus. 


t 44 





34' 0" 


23 


3' 10'' 


1 


26 


24 


2 ' 50 


2 


20 


25 


2 30 


3 


17 


26 


2 15 


4 


15 30 


27 


2 


5 


14 30 


28 


1 45 


6 


13 30 


29 


1 35 


7 


12 45 


30 


1 25 


8 


11 15 


31 


1 15 


9 


10 30 


32 


1 5 


10 


10 


33 


55 


11 


9 30 


34 


45 


12 


9 


35 


35 


13 


8 30 


36 


30 


14 


8 


37 


25 


15 


7 30 


38 


20 


16 


7 


39 


15 


17 


6 30 


40 


10 


18 


5 45 


41 


9 


19 


5 


42 


8 


20 


4 30 


43 


7 


21 


4 


44 


6 


22 


3 30 


45 


5 



Diese Tafel ist das unverbesserte Resultat aus den Beobachtungen, die 
Parallaxe der Sonne ist noch darin enthalten ulid da der dänische Astronom 
selbst beweist ^), dass die Parallaxe die Refraction vergrössert, so muss deren 
Betrag no(Ji davon abgezogen werden. 

Von der grossen Entfernung der Sonne hatte Tycho noch keinen rich- 
tigen Begriff, denn anstatt, dass nach Enche jetzt allgemein die Sonnenparallaxö 
zu 8",57 angenommen wird, setzte er dafür 3 Minuten. Im Horizonte müssen 
also nach Tycho von der Refraction noch 3', in 45 Grad Höhe noch über 2f 
abgezogen werden und danach würde von 25 Grad Höhe an die Refraction 
negativ werden, ein Irrthum, dem schon Ptolemäus widersprochen hatte. 

Doch Tycho hatte von der Theorie selbst ganz irrige Ansichten; im An- 
fange scheint er richtige Ideen gehabt zu haben, und er hatte sowohl die 
Optik des Alhazen, als die des Vitello gelesen. In einem Briefe an Roth- 
mann 3) spricht er von der verschiedenen Dichtigkeit der Luft als Ursache 



1) Progymnasmata. pag. 39. 

2) Progymnasmata. pag. 56. 

3) Tychonis Epist.^stron. I., pag. 105 et seq. 



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14 



Tycho*« Arbeiten. 



der Refraction, Rothmann widerlegt dies und sagt, wenn die Dichtigkeit der 
Luft die Ursache wäre, müsse die Refraction, wenn sie im Horizonte 3' be- 
trüge, in 45^ Höhe noch 1' 30" betragen (?) und sich ausserdem bis zum 
Zenith erstrecken. In den Progymna^mata *) hält Tycho die Dünste in der 
Luft für die Ursache und giebt an, dass dadurch an verschiedenen Orten auch 
eine verschiedene Refraction stattfinde, und aus diesem Grunde sei auch die 
Strahlenbrechung der Fixsterne eine andre, als die der Sonne, Für die Fix- 
sterne hört sie nach ihm bei 20® Höhe auf und für seine Beobachtungen nimmt 
er folgende Tafel 2) an : 

Befraotionstafel für Fixsterne. 



Höhe. 


Refraction. 


1 — ^ 

Höhe. 


n^ 

Refraction. 


0« 


3(y 0" 


100 


5' 30" 


1 


21 30 


11 


5 


2 


15 30 


12 


4 30 


3 


12 30 


13 


4 


4 


11 


14 


3 30 


5 


10 


15 


3 


6 


9 


16 


2 30 


7 


8 15 


17 


2 


8 


6 45 


18 


1 15 


9 


6 


19 


30 


10 


5 30 


20 






Für Planeten gilt dieselbe Tafel. 

Die Methoden, die Tycho zur Bestimmung anwandte, beschreibt er in 
demselben schon erwähnten Werke: Progymnasmata pag. 56. Es ist schon 
erwähnt, dass er sich der Quadranten bediente, er hatte deren zwei, und zwar 
einen fiir Höhenmessungen, der vertikal aufgestellt war und sich drehen liess, 
und einen für Azimutmessungen, dessen Alhidade nur bewegt werden konnte. 
Gleichzeitig mass er Azimute und Höhen, besonders der Sonne ip der Nähe 
der Solstizien, weil sich alsdann ihre DecÜnation am wenigsten änderte. Zu 
dem gemessenen Azimute berechnete er die wirkliche Höhe der Sonne, und 
die Differenz zwischen dieser und der beobachteten ist, wie schon oben ge- 
sagt, der Betrag der Refraction. 

Die zweite Methode war, dass er an einer parallactischen Maschine eine Ar- 
millarsphäre befestigt hatte, hiermit, besonders auch die Sonne, beobachtete; 
er sah, dass die Refraction sie aus ihrer Bahn herausgebracht zu haben schien 
und mass gleichzeitig die scheinbare Declination und mit einem Quadranten 
die scheinbare Höhe. Aus diesen Daten, in Verbindung mit der aus den 
Sonnentafeln entnommenen wahren Declination, lässt sich die Refraction 
berechnen. 



1) pag. 51. 

2) Progymnasmata. pag. 216. 



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Keppler's JUbttten: 15 

Tafel It., Figur 4 wirf es näher erläut<eriij: 

Es sei Z daa Zenitb^ P der Pol, S dor wahre Ort der Bonne, S' der ßchein- 
bare, N Z PF der Meridian, N O F der Horizont, ao ipiwg Tycho O S' die Höhe, 
S' 6 die scheinbare Declination des Sternes ; S H di0 wahre Declination kannte 
er aus den Tafeln. In dem sphärischen Di-eieck ZS'P ist ntin ZP das Com- 
plement der Polhöhe zu 90^, Z S' das- Complement der Höhe zu 90» und S' P das 
Complement der beobachteten Declination zu 90®, also sind alle drei Seiten ge- 
geben und man kann leicht den sogenannten parallactischen Winkel Z S'P be- 
rechnen. In dem sphäriachen Dreieck P S' S ist W. P S' S = 180 — W. Z S' P, 
der eben be^rechnet ist ; Seite P S' i== 90® — der beobachteten Deblination ; Seite 
P S = 90 — der berechneten Declination aus den Tafeln, es sind also wieder 
drei Stücke gegeben und eins der unbekannten Stücke: die dritte Seite SS', 
welche dein Betrage der Refraction entspricht, lässt sich berechnen. 

Auch läs^t sich aus der Figur leicht der Betrag der Refraction in Rectas- 
cension und Declination finden, man ziehe die senkrechte S' Q, so ist S Q der 
Einfluss auf dieRectascension, S' Q auf die Declination, beide Grössen ergeben 
sich aber leicht aus dem kleinen rechtwinkligen sphärischen Dreiecke S' S Q, 
in dem man nach den obigen Betrachtungen S'S und W. S^S Q abgeleitet hat 

Diese zweite Methode zur Bestimmung der Refraction ist nur von Tycho an* 
gewandt, sie ist wegen der so unpractisch gebauten Armillarsphären ungenau, 
und da diese abgeschafft sind^ es ausserdem unbequem ist, Poldistanz und 
Höhe gleichzeitig zu messen, hat niemand nachher die Methode wiederholt. 
Die erste Methode dagegen ist weit einfacher, sie liefert genauere Resultate 
und ist in neuerer Zeit von Piazzi mit gutem Erfolge angewandt worden. 

Durch Tycho war der Anfang zur wirklichen Bestimmung der Refraction 
gemacht, der Weg war vorgezeichnet und man hätte glauben sollen, dass 
Tycho's Nachfolger die Fehlerhaftigkeit seiner Theorie sofort gefunden hätten, 
doch man irrt, Keppler allein mühte sich, leider vergeblich, ab, die Theorie zu 
fördern, die übrigen Astronomen wagten nicht die Autorität eines Tycho an- 
zugreifen, und fast ein volles Jahrhundert, bis zu Cassini, geht wieder dahin, 
bevor auch nur einer daran denkt, die Tychonischen Tafeln zu verbessern. 

§5. 
Keppler's Arbeiten über die Refraction. 

Keppler (geb. 1571, gest. 1630), an dessen Namen sich der grösste Ruhm 
knüpft, weil er der eigentliche Begründer der Astronomie und Optik ist, weil 
er das, was Copernicus im Allgemeinen angedeutet hatte, genauer bestimmte 
und aus den trefflichen Beobachtungen des Tycho die Grundgesetze der 
ganzen astronomischen Wissenschaft ableitete, die das Fundament der Be- 
wegung des ganzen Universums sind, arbeitete viel über Refraction, war aber 
hierin nicht so glücklich, wie sein Fleiss es wohl verdient hätte. 



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16 KeppWB Arb«Heii. 

Im 4. Capitel seines Werkest „Ad Vitellionem Paralipomane, .quibus 
astronomiae pars optica traditur, Prancofurt. 1604" sagt «r, dass Alhazen und 
Vitello (die Optik des Ptolemäus war schon verloren) die Strahlenbrechung 
mit mehr Sorgfalt behandelt hätten^ als sonst gewöhnlich der Fall gewesen 
sei. Die Ansichten von Tycho und Rothmann über die Ursache der Refraction 
verwirft er als falsch, er behauptet, dass weder die Entfernung noch der Glana 
der Gestirne in der Refraction irgend ^ine Veränderung hervorbringen k&nne; 
er selbst aber irrt auch, indem er die Luft als unelastisch und überall gleich 
dicht und daher den Weg des Lichtes in der Atmosphäre als grade annimmt. 
Er erkennt an, dass Tycho die ersten Tafeln gegeben hat, er wiederholt diese 
Tafelii und giebt ausser den beiden fiir die Sonne und die FiKsteme auch die 
für den Mond, deren Horizontalrefraction 33'0" beträgt, doch sind, sagt er, die 
Tafeln insofern falsch, dass sie die Refraction nicht bis zum Zenith hinauf ent^ 
halten, Sonne, Mond und Fixsterne müssen ausserdem eine und dieselbe Tafel 
haben. 

Vergebens müht er sich ab, für die Refraction ein einfaches Gesetz att 
finden, er findet, dass sie stärker als die Einfallswinkel wächst, er versucht, 
ob sie dem Sinus des Einfallswinkels, ob sie der Secante proportional sei, er 
findet keinen Zusammenhang, keine Uebereinstimmung und greift endlich zu 
einer zusammengesetzten Function Er unterscheidet zwei Th eile, einen Theil 
der Refraction, welche dem Einfallswinkel proportional ist und damit iTv^chst^ 
einen zweiten Theil, welcher proportional dem Ueberschuss der Secante des 
Brechungswinkels über die Einheit ist. Die Refraction r ist, wenn E den Ein- 
fallswinkel, E — r den Brechungswinkel bezeichnet: 

- r -= cE + cE [eec (E— r) — 1] 

^ ^ «:pcEsec(E— r) 

wobei c eine zu bestimmende Constante bezeichnet, die fiir verschiedene 
Medien verschieden ist. 

Für Wasser und Luft bestimmt er die Constante aus der Angabe des 
Vitello, dass für E = 80», i* « 30^ sei. 

Es ist 

,«. _ _£ 1 

^ ' ^ E 8ec(E— r) % 

für r==30o, E==80> 

c = 0,024104. 

Er berechnet mit dieser Constante für E von 10 zu 10® die Refraction r, 
vergleicht sie mit der Tafel von Vitello und findet als grösste Differenz 1/2®, 
eine Genauigkeit, die ihm genügend erscheint. 

Dasselbe Gesetz lässt er für Luft und den leeren Raum gelten und stellt 
sich die Aufgabe aus zwei gegebenen Refractionen, mit den zugehörigen Höhen 
für die übrigen Höhen die Refraction zu berechnen. 

Mit Hülfe derselben Figur, welche 50 Jahre später Cassini zur Berech- 
nung seiner Refraction gebraucht, löst er das Problem. Er findet, dass die für 
die Dämmerung angenommene Höhe der Atmosphäre von 12 Meilen viel zu 



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Kepplcr's Arbeiten. 17 

gross sei, um fiir die Refraction zu passen, und sagt, es folge nicht, 
dass diö Materie, welche die Dämmerung mache, auch die Refraction her- 
vorbringe. 

Köramtein vonF(Fig.5) kommender Strahl inE an, so wird er so gebrochen, 
dass- der Beobachter in B ihn sieht und zwar in der Richtung B E G '). Der 
W. FE N ist der Einfallswinkel, W. NEG der Brechungswinkel, W. IBG 
dagegen die scheinbare Zenithdistanz. Das Verhältniss des Brechungswinkels 
zur scheinbaren Zenithdistanz hängt ah von dem Verhältniss der Höhe der 
Atmospliäre E C zum Halbmesser der Erde A C = A B. Denn aus dem 
Dreieck A B E folgt, wenn ich W.IBG = Z, W. FE N = E, W. FE G = r, 
daher W. GEN = W. AEB = E — r setze : 

sin (E— r) : AB = sin Z : AE 
mithin 

(3) . . . AE = AC + EC = ^2^^ 



und 








(4) . . . . 


sin(E- 


-r) = 


AB . rr 

= -T-rr sin Z 
AE 


Für AB = 1,00000, AE = 1,00095 berechnet 


Keppler 


zu Z=90« 




E- 


-r = 87o30' 


89 






87 19 


88 






86 48 


'87 






86 6 


86 






85 17 


85 






84 25 


60 






59 H\' 



und in 60^ Zenithdistanz ist die Differenz des Einfallswinkels für die Atmo- 
sphäre und für das Auge nur unmerklich. Für 60^ Zenithdistanz hat Tycho 
aber die Refraction V 25" gefunden und da sec (E — r)^nahe sec Z = 2 ist, 
folgt aus (2) 

C=:43'" 

Tycho findet für Z = 89» r = 26' 0" und da c = 43'" so eben gefunden, 
so ergiebt sich durch indirecte Rechnung aus (1), so fährt Keppler fort, 

E — r = 87o47'. 

Dieser Werth aber stimmt nicht mit dem eben für Z = 89^ und AE = 
1,00095.AB gefundenen Werthe von E — r = 87® 19' überein, unsre Voraus- 
setzung von AE ist daher nicht richtig. Keppler untersucht noch mehrere 



V Keppler hat seine Figur so gezeichnet, dass G E B senkrecht zu A B D ist, alsdann 
ist W. G E H = W. I E B « W. B A E , weil die rechtwinkligen Dreiecke 1 E B und B E A 
ähnlich sind. Ist nun CE im Verhältniss zu AC gegeben, so lässt sich daraus W. B AE = 
W. GEHfinden und da W. FE G gleich der Refraction ist, lässt sich auch der W. HE F 
an der Tangente HEI finden. Je kleiner C E im Verhältniss zu A C ist, desto kleiner 
wird auch der W. E A B, und der W. G E H hängt daher von der Höhe der Atmosphäre 
ab und dies will Keppler grade durch die Figur beweisen. 

Brühls, Refraction. 2 



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18 Keppler's Arbeiten- 

Refractionswerthe, findet aber für Alle verschiedene Werthe der Höhe der 
Atmosphäre, dennoch, meint er, ist kein Grund vorhanden die obigö Hypo- 
these zu verwerfen, Tycho hat zu verschiedenen Zeiten zwischen den Refrac- 
tionen in denselben Höhen merkliche Differenzen gefunden. Da man 
wünschen wird zu sehen, wie an einem und demselben Tage die Refractionen 
in den verschiedenen Höhen sich ändern, wählt Keppler aus den Tychonischen 
Beobachtungen die Sonnenbeobachtungen vom 16. Januar 1587 von 3** 26' bis 
a^ 58' Nachmittags, in den Höhen von 3» 50' bis 0» 35'. Er wählt die erste 
und letzte Beobachtung, nach welchen zu 

3« 50' Höhe oder 86o 10' Zenithdistanz die Refraction = 14' 22" 
35 „ „ 89 25 „ „ „ =:31'10" 

beträgt. 

Zur letzten Beobachtung setzt er als : 

1. Hypothese: E — r = 87» 30', damit E== 88« 1' 10" und nach (2) findet sich 

c = 55"',6 (Keppler hat 56'", 5). 

Nach (3) ist AE = 1,0009007 (Keppler hat 1,0009000). 

Für die erste Beobachtung berechne man nach (4) mit 

AR 1 

Z =860 lOs _ =^^g^^g^^- W. E^ r, und es findet sich 

E — r = 850 27',7 (Keppler hat 86« 59' ») 

E = 85» 42,1 und nach (2) ist 

c = 47"',7 (Keppler hat 42'"). 

Da dies c nicht mit dem aus der ersten Beobachtung übereinstimmt, 
schreitet er zur 2. Hypothese und setzt 

2. Hypothese: E — r = 89^ dann ist E = 89« 31' 10" und nach (2) findet sich 

c = 21"',9 (Keppler hat 22'"), 

Nach (3) AE = 1,000117 (Keppler hat 1,0001005). 

Zur ersten Beobachtung ist nach (4), E — r = 86» 4', 2; E = 860 18, 6 und 
E und E — r nebst c in (1) substituirt giebt 

r = 7' 39" (Keppler hat 7' 40") 

statt r=l4'22". 

Es muss also noch als 3. Hypothese 

E — r = 88«, E = 88° 31' 10" gesetzt werden. Nach (2) und (3) kömmt 
c = 44'" AE = 1,0005777 und die erste Beobachtung nach (4) und (l) be- 
rechnet giebt 
r = 14' 49" welche Annäherung Keppler für genügend hält. 

Die strengen Werthe sind c = 0",75247 = 45"',1482 

AE = 1,0005825. 

Keppler rechnet nun mit seinen gefundenen Werthen eine ßefractions- 
tafel und fügt die Tychonische bei zur Vergleichung, ich gebe sie hier im 
Auszuge und füge die mit c = 0", 75247, AE == 1,0005825 berechneten 
strengen Werthe hinzu. 



1) Auf diesen Fehler macht auch Delambre in der Histoire de l'Astronomie moderne 
Tom. I. pag. 365 aufmerksam. 



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Kcppler'a Arbeiten. 



19 



Eeppler's Befiractionstafol. 



z 


E 


E— r 


Einfache 
Refraction. 


Keppler's Tafel 
der Refraction. 


Strenge Werthe. 


10 o;o 


10 


10 o;o 


O' 1" 


0* 1" 


0* o;'8 


2 0,0 


2 


2 0,0 


2 


2 


1,5 


3 0,0 


3 


3 0,0 


3 


3 


2,3 


4 0,0 


4 


3 59,9 


3 


3 


3,1 


5 0,1 


5 


4 59,9 


4 


4 


3,8 


10 0,2 


10 


9 59,9 


7 


7 


7,6 


20 0,4 


20 


19 59,7 


14 


, 15 


16,0 


30 0,7 


30 


29 59,6 


22 


25 


26,0 


40 1,1 


40 


39 59,4 


29 


37 


39,3 


50 1,4 


50 


49 59,0 


36 


1 


58,5 


60 1,9 


60 


59 58,5 


44 


1 28 


1 30,2 


70 3,0 


70 


69 57,4 


51 


^ 31 


2 33,6 


80 5,6 


80 


79 54,3 


59 


5 36 


5 43,4 


85 11,1 


85 


84 48,2 


1 3 


11 36 


11 46,2 


86 14,0 


86 


85 45,4 


1 3 


14 51 


14 34,7 


87 19,4^ 


87 


86 41,1 


1 4 


18 27 


18 52,3 


88 33,1 


88 


87 34,0 


1 5 


25 34 


25 59,6 


90 


88 35.3 


88 2,7 






32 34,6 


— 


89 


88 21,1 


1 6 


38 30 


. 38 52,8 


— 


90 


88 57,7 


1 6 

■ 


61 30 


62 18 



Die Höhe der Atmosphäre ist für die Refraction nach Keppler nur 
0,48 Meilen, später leitet er sie in seiner Epitome Astronomiae Copernicanae 
Francofurt. 1635 pag. 74 dem Alhazen gemäss aus dem Dämmerungsbogen 
von 18^ zu 10 bis 11 Meilen ab. 

Vergleichen wir die Refractionstafel von Keppler mit den jetzigen, so 
muss man ihre Genauigkeit bis zu 70 Grad Zenithdistanz bewundern, sie 
weichen nie mehr als 11" ab und man muss gestehen, dass sie für die Beob- 
achtungen der damaligen Zeit mehr als genau waren. Untersuchen wir noch, 
woher trotz der falschen Theorie diese Ganauigkeit kömmt. 

Nach Keppler ist nach Formel (1) 
r = c.E sec (E — r) 
oder wenn wir für c seinen Werth einsetzen 
r = 45'",148.E sec (E — r). 

Bis zu 70^ Zenithdistanz ist aber sowohl E, wie E — r so nahe mit Z 
übereinstimmend, dass man dafür gerne Z setzen kann und wir haben alsdann 

r == 45"M48.Z . sec Z.-= 43",2 Z sec Z, 
wenn wir Z, anstatt in Graden, in Theilen des Radius ausdrücken. 

Nach den jetzigen Refractionsformeln ist nahe 
ro = 57",3 tg Z 
wo r^ nur zur Unterscheidung statt r geschrieben. In einander getheilt ist 

und 

f -, oo sinZ ^ \ 
ro — r = r < 1,33 -^ 1 | 



2* 



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20 




Kepi^ler's Arbeiten. 


welches in Reihen 


entwickelt: 








r« — r=:i 


p{0,33 


— 0,22. Z^-f 0,011 Z^- 


giebt und fiir 










Z=0i8tro- r = 


=:o;'o 




10 




2,5 




20 




4,8 




30 




7 




40 




9 




50 




11 




60 




10 




70 


)) 


6 



Für grössere Zenithdistanzen ist die Abweichung grösser und besonders 
steigen die Differenzen in den achtziger Graden, welches auch wegen der be- 
trächtlichen (grosse der Refraction daselbst und der üngenauigkeit , welche 
die Tychonischen Werthe haben, nicht verwundern kann. Keppler leistete, 
was seines Geistes würdig war; hätte er das Brechungsgesetz gekannt, seine 
Tafeln wären sicher den Cassini'schen an die Seite zu stellen gewesen. Er 
musste seinen Nachfolgern doch auch Stoff zum Arbeiten übrig lassen! 

Keppler berechnet noch in seinen Paralipomena die Dichtigkeit 
der Luft und findet sie ttVt? seine Höhe ist schon aufgeführt. Er be- 
weist, dass durch die Refraction die Distanz zweier Sterne im Horizonte 
oder im Azimutalkreise allerdings verändert werde, diese Veränderung sei 
aber zu vernachlässigen, denn bei der Horizontalrefraction von 34' und einer 
Entfernung von 90^ im Horizonte werde diese Distanz um 17" geändert, da- 
gegen im Vertikalkreise sei die Aenderung beträchtlich, bei der eben aufge- 
gangenen Sonne betrage die Verkürzung des vertikalen Durchmessers 5'. 

Er wirft die Frage auf, ob an verschiedenen Orten und zu verschiedenen 
Zeiten die Refraction dieselbe sei und beantwortet sie, indem er sagt: Gewiss 
ist, dass an verschiedenen Orten und zu ungewöhnlichen Zeiten die Refraction 
eine verschiedene und ungewöhnliche ist. Wenn die Höhe eines Ortes sehr 
gross ist, grösser als die Höhe der brechenden Atmosphäre, kann die Re- 
fraction verschwinden und besonders durch den Einfluss der Dünste wird sie 
beträchtlich. Wenn die Oerter und die Zeiten gleichmässig blieben, würden 
die Refractionen dieselben sein. Als Beispiel einer ungewöhnlichen Refraction 
führt er die am 7. Juli 1590 von seinem Lehrer Mästlin gemachte Beobachtung 
auf, in welcher er das Centrum der Sonne über dem Horizonte schon sah, als 
der am südlichen Rande verfinsterte Mond noch 2® über dem Horizonte stand, 
und als endlich der Mond untergegangen, war die Sonne schon 2^ über dem 
Horizonte. Der Mond war aber untergegangen, bevor er bis zu seiner grössten 
-Verfinsterung gekommen. 

Als eine andere ungewöhnliche Beobachtung erzählt er, dass holländische 
Seeleute im Jahre 1596 auf der Insel Nova Sembla unter der nördlichen Breite 
von 76 Grad eingefroren seien; am 3. Novbr. neuen Stils verschwand ihnen 
die Sonne ganz, sie rechneten im Voraus und fanden, dass sie am 11. Febr. 
1597 wieder erscheinen müsse; doch wie gross war ihr Erstaunen, als sie 



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Scheiner's Arbeiten. 21 

bereits am 24. Januar den ersten Sonnenstrahl erblickten! am 25. Januar 
zeigte sich auch das Centrum, am 27. Januar die ganze Sonne. Keppler be- 
rechnet, wie viel Grade die Sonne noch unter dem Horizonte gewesen ohne 
Refraction, er findet 4^ 14' und berechnet die einfache Refraction für 90^ zu 
19' und die Höhe der Atmosphäre zu 2 Meilen. Das ist ihm zu unwahrschein- 
lich und er greift zu zwei andern Mitteln, um das Phänomen erklären zu 
können; Cleomedes führt sie im zweiten Buche „de mundo" auf. Entweder 
sei die Atmosphäre mit dicken Dünsten angefüllt gewesen, welche eine so 
stai^ke Brechung hervorgebracht, oder auch eine Wolkenbank unter dem Ho- 
rizpnte, die allerdings dann mehrere Tage hätte stehen müssen, sei durch 
Reflexion die Ursache dieser Erscheinung gewesen. 

Diese Beobachtung der Holländer ist später vielfach discutirt worden, 
einige zweifeln an ihrer Wahrheit, andere, wie z. B. Lalande, schlagen vor, 
wenn die Kälte es nicht zu sehr erschwere, durch Beobachtungen an Ort und 
Stelle die Sache zu untersuchen. 

Kramp in seiner Analyse des refractions astronomiques beweist, dass die 
Horizontalrefraction im Januar sehr gross sein könne und er hält es nicht für 
unmöglich, dass diese enorme Refraction stattgefunden habe, ebenso hält Biot 
in seinen Recherches sur les refractions extraordinaires sie nicht für unmöglich. 

Keppler stellt sich noch verschiedene Fragen über den Einfluss der Re- 
fraction bei den Beobachtungen im Alterthum, er meint, dass Hipparch die 
durch den Aufgang der Sonne bestimmten Aequinoctien falsch gefunden habe ; 
er erklärt durch eine ausserordentliche Refraction die von Posidonius auf 7^/5^ 
anstatt 5^ bestimmte Breitendifferenz zwischen Rhodos und Alexandrien und 
geht nachher zu Walther s Beobachtungen über und lobt dessen Methoden, 
den Einfluss der Refraction zu umgehen. 



§.6. 

Scheiner schreibt ein Werk über Befraction. Landsberger 
giebt Refractionstafeln, Biccioli und Hevei ebenfalls, Linne- 
mann, Graves. Snellius entdeckt, Descartes publicirt das 

Brechungsgesetz. 

Dreizehn Jahre nach Keppler's Paralipomena ad Vitellionem im Jahre 
1617 erschien von Scheiner (geb. 1580, gest. 1650) das Werk: Refractiones 
coelestes, jsive Solis elliptici phaenomenon illustratum auctore Ch. Scheiner, 

Der in der Optik berühmte Jesuit stellt in diesem Buche zuerst eine 
Menge Lehrsätze auf, die bereits im Euclides und Vitellio stehen ; pag. 33 
sagt er, die Refraction bringe es hervor, dass die Sonne nothwendig höher 
stehen müsse, als sie sich wirklich befinde. Nachdem er noch Plangläser, 
plancönvexe, planconcave, biconvexe und biconcave Linsen, auch Gry stalle 



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22 I Scheiner's Arbeiten, 

die Wolken, Nebel und andere durchsichtige Körper behandelt hat, geht er 
über zu den Erscheinungen der Gestirne* ^ 

Kein Stern, ausgenommen im Zenith, steht an seinem richtigen Orte ; kein 
Stern zeigt, ausser im Zenith, seine wirkliche Höhe; die Sterne, welche am 
Horizonte erscheinen, sind in Wahrheit noch unter ihm. Solcher Sätze stellt 
er viele auf und geht über zu seinen Sonnenbeobachtungen *), die er am Hori- 
zonte beim Auf- und Untergänge angestellt hat. Von seinen Messungen de» 
horizontalen und verticalen Durchmessers der Sonne führe ich folgende auf: 

Er fand den Verticaldurchmesser 
1614 Jan. 9 Abends bei 1® Höhe 4' 51'' kleiner als den Horizontaldurchm. 



Jan. 9 Abends bei 1» Höhe 4' 51' 


Jan. 10 Morgens 


„ 1<>30'„ 3 46 


Mai 3 Ab. 


„ „ 7 33 


Juli 25 Mg. 


„ ü „ 8 5 


Juli 26 Ab. 


„ „ 6 48 


Sept.23 Ab. 


„ „ 5 


Oct. 11 Ab. 


„ „ 5 40 


„ 12 Mg. 


,) „ 7 17 


Dcbr.22 Ab. 


„ „ 12 8 



Auch hat er die Sonne oft nicht in der continuirlich elliptischen Form am 
Horizonte gesehen, einmal z. B. verdeckte eine Wolke einen Theil und er 
giebt von der Gestalt folgende Zeichnung : 



WoLke 



v.^ 



Er beweist ferner die in Tycho's Progyranasmata vorkommende Erschei- 
nung, dass bei einer Mondfinsterniss Sonne und Mond gleichzeitig über dem 
Horizonte sein können und dass Sonne, Mond und Sterne gleiche Refraction 
haben müssen. 

Aus der Beschreibung seiner Instrumente sieht man, dass seine Beob- 
achtungen hur die der damaligen Zeit entsprechende Genauigkeit haben und 
ausser seinen Sonnenbeobachtungen hat er weder die Praxis noch die Theorie 
der Refraction gefördert, doch ist nicht zu verkennen , dass er eine treffliche 
Zusammenstellung dessen gegeben hat, was vorhanden war. 

Landsberger (geb. 1541, gest. 1632), ein niederländischer Astronom zu 
Middelburg, hat sich durch Sonnen- und Mondtafeln rühmlichst bekannt ge- 
macht, in diesen sind auch Refractionstafeln enthalten, die fast mit den Ty- 
chonischen übereinstimmen und daher ebenso fehlerhaft sind. 



*) Wir besitzen von ihm die ersten ordentlichen Beobachtungen von Sonnenfiecken. 

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, Riccioli'ß Arbeiten. 23 

Ricci oli, geb. 15B8 25u Ferrara, gest 1671, Professor der Philoßophiq, 
Theologie und Astronomie zu Bologna, schrieb einen Alniagestum novum, in 
dessen zweitem Theile ein Anhang über Refraction enthalten ist. In diesem 
Anhange bespricht er die Werke von Alhazen, Vitellio, Tycho, Keppler und 
führt an, was man über Refraction wusste, er führt das Brechungsgesetz, wel- 
ches Descartes 1637 publicirte, auf, und erläutert es durch ein Beispiel, es fällt 
ihm aber nicht ein, davon bei der astronomischen Refraction Gebrauch zu 
machen, er behandelt verschiedene Aufgaben, den Einfluss der Refraction und 
Parallaxe auf die Finsternisse, auf die Rectascentionen und Deklinationen der 
Sterne etc., folgt aber in Allem seinen Vorgängern. Er wagt die Höhen der 
Berge, des Caucasus, des Aetna und des Pic von Teneriffa wegen der Refraction 
zu corrigiren, hat aber von der terrestrischen Refraction noph gar keine Be- 
griffe, sondern weil nach ihm die Spitzen dieser Berge aus der Höhe der die 
Refraction verursachenden Luft hervorragen, wendet er auf sie die astro" 
nomische Refraction an. 

Am Schlüsse giebt er Zusammenstellungen von Tafeln , und zwar zuerst 
die Tafeln der Einfallswinkel und Brechungswinkel für Luft und Wasser, 
Luft und Glas, Wasser und Glas und umgekehrt, von Vitellio; für Luft und 
Wasser von Keppler, dieselben von ihm nach dem Brechungsgesetz berechnet, 
darauf ähnliche Tafeln für Luft und Crystall, Luft und Wasser, Luft und 
Wein etc. von Marsennius und Kircher, und endlich die Refractionstafeln von 
Tycho, Keppler und Landsberger und seine eigenen, aus seinen Beobach- 
tungen in Bologna bestimmt. Diese Tafeln, für Sonne, Mond und Fixsterne 
geltend, hören auf für die Sonne und Mond bei 45^, für die Fixsterne bei 20^, 
er folgt darin Tycho und hält diese Autorität zu gross, als dass er die theore- 
tischen Schlüsse von Keppler und Andern vorziehen sollte. Das Einzige, was 
er mehr giebt als Tycho, ist, dass er drei verschiedene Refractionstafeln für 
den Sommer, die Aequinoctialzeiten und den Winter findet, worin also bereits 
eine Andeutung auf die Berücksichtigung der Temperatur liegt. / 

Sfeine Refractionstafeln geben für die Sonne, den Mond, die Fixsterne 
die Horizontalrefraction: 

im Sommer ...... 32' 25" 33' 0" 29' 50" 

in den Aequinoctialzeiten 33 33 40 30 10 

im Winter 34 40 34 20 30 30 

für 450 und 20^ Höhe 

im Sommer ....... 5" 6" 0" 

in den Aequinoctialzeiten (5 10 2 

im Winter 8 12 4 

Hevel, der berühmte Danaiger Astronom, geb. 1011, gest. 1G87, war in 
der Refraction ebenso wie Riccioli ein treuer Anhänger von Tycho. In seinem 
1640 erschienenen „Prodromus astronomiae" giebt er Refractionstafeln für die 
Sonne und Fixsterne, erstere mit 30' 0" Horizontalrefraction und mit 45" Höhe 
aufhörend, letztere mit 20^ Höhe schliessend und für 0^ Höhe 26' 0" Strahlen- 
brechung angebend. 



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24 Snellius' Arbeiten. 

Er spricht ferner von der Refraction in der 1645 publicirten Seleno- 
graphie, er hat Vitellio's Optik und Keppler's Pai*alipomena gelesen und fuhrt 
die von diesen Autoren aufgeführten Sätze auf, er erklärt, warum die Rö- 
fraction die Sterne höher erscheinen lässt, warum sie im Horizonte am grössten 
ist, warum sie nach dem Zenithe kleiner wird und dort verschwindet. Ihna 
ist bekannt, dass sie die Tage verlängert, die ovale Figur der Sonne am Ho- 
rizonte hervorbringt, dass sie nicht immer gleich gross in denselben Höhen 
ist, wie dies die Beobachtungen des Landgrafen von Hessen, von Maestlin 
u. A. zeigen. Er erwähnt der Arbeiten des Königsberger Professors Alb. L in- 
nemann und des englischen Mathematikers Joh. Graves, nach denen die 
Atmosphäre in drei verschiedene Schichten, in die oberste dem Aether nächste, 
dichte, in die mittlere dichtere und in die unterste dichteste getheilt 
wird. Weil diese Schichten durch die aufsteigenden Dünste bald dichter, 
bald dünner sind, so ist auch die ßefraction verschieden, der Weg des Lichtes 
bleibt sich nicht immer ähnlich gekrümmt, er behält nicht die kreisförmige 
Bahn, sondern nähert sich bald mehr der parabolischen, bald mehr der hyper- 
bolischen. 

Nach solchen grösstentheils richtigen Begriflfen muss man sich wundern, 
dass Hevel in seiner 1668 publicirten Cometographie für die Cometen die 
Refraction nicht "bis zum Zenith gehen, sondern sie schon bei 31® Höhe auf- 
hören lässt. Die Horizontalrefraction setzt er 31' 0". Er beweist noch, dass 
die Krümmung der Cometenschweife keine Folge der Refraction sei. 

Neben Linnemann kann auch noch der Tübinger Professor Schickard, 
der um 1650 lebte, genannt werden, der nach Weidler's Historia astronomiae 
Cap. XV. §. 52 richtige BegriflFe von der Refraction gehabt haben soll. 

Schon einige Mal ist das Brechungsgesetz erwähnt, Keppler hatte ver- 
gebens danach gesucht; aber noch bei seinen Lebzeiten fand es ein junger 
holländischer Mathematiker, der Professor Willibrod Snellius (geb. 1590, 
gest. 1626). Die Optik, in der er es niedergeschrieben, ist nie erschienen, er 
starb zu früh, doch Vossius und Huyghens haben sie gesehen, und berichten 
darüber, dass Snellius zwischen der Verlängerung CF (s. Fig. 6) des einfallenden 
Strahles G C in das Medium DEB, bis zur Parallelen (mit dem Einfallölothe 
AGB) DE und dem gebrochenen Strahle C E immer dasselbe constante 
Verhältniss gefunden habe. 

Analytisch ausgedrückt heisst es : 

Der Sinus des Brechungswinkels ist gleich dem Sinus des Einfalls- 
winkels multiplicirt mit einer Constante. 

Denn es ist W. GCA = W. FCB der Einfallswinkel, 
W. E B der Brechungswinkel. 

Zieht man mit C D = 1 einen Bogen, so ist C F die Cosecante des Win- 
kels FCB, CE die Cosecante des Winkels ECB. Snellius behauptet nun, dass 

CE 

-^ = Constante sei, dafür können wir setzen: 



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Descartes' Arbeiten. 25 



Cosec. ECB ^ 
Cosec. FC B = ^^^'*- 

und da die Cosecante == ?p — ist 

oinus • 

-gj^-g^^=Con8tante 

W. F CB und W. ECB sind aber die Brechungs- und Einfallswinkel, und 
mithin ist dadurch bewiesen, was bewiesen werden sollte. 

In dieser letzten Form giebt es Descartes *) in seiner Dioptrik 2), er 
sagt: ,,Nempe est in refractione: ut sinus anguli inclinationis unus ad sinum 
„anguli inclinationis alterius, ita sinus anguli refracti in una inclinatione ad 
„sinum anguli refracti in altera." 

Er beweist es, indem er die Bewegung des Lichtes mit der Bewegung 
eines geworfenen Balles vergleicht. Ebenso wie der Ball, wenn er eine feste 
Fläche trifft, unter demselben Winkel zurückprallt, unter dem er auffallt, so 
auch das Licht, wenn es einen Spiegel trifft; bei der Reflexion sind der Ein- 
falls- und der Ausfallswinkel einander gleich. Die Brechung ist zu vergleichen 
mit dem Wege des Balles, wenn er eine Fläche trifft und diese einem zarten 
Tuche gleicht; der Ball zerreisst die Fläche, seine Geschwindigkeit wird eine 
andere, auch sein Weg wird ein anderer. 

Die Eichtung AC des Balles (Fig. 7) lä§st sich zerlegen in die beiden Com- 
ponenten AD und D C und nur die Componente D C wird bei dem Zerreissen 
der Fläche ab eine Verminderung erleiden, der Ball gebraucht, um die Com- 
ponente C E zu durchlaufen eine grössere Zeit, in dieser grössern Zeit wächst 
aber die horizontale Componente zu C G an, und anstatt ohne Widerstand in 
O anzulangen, erreicht er nur B. Solange das Medium dasselbe bleibt, wird 
AD zu CG immer in demselben Verhältniss stehen, AD ist aber der Sinus 

AD 
des Einfallswinkels, CG der des Brechungswinkels und wenn ^^ -Constante 

ist, so heisst das 

sin des Einfallswinkels 



sin des Brechungswinkels 



= Const. 



*) Es ist unentschieden) ob Descartes das Brechungsgesetz selbst entdeckt, oder ob 
er es in Holland gehört und nur in andere Form eingekleidet hat, in seinem ganzen 
Werke führt er weder irgend eine Quelle, aus der er schöpfte, an, noch nennt er den 
Entdecker. Vossius in seinem „De lucis natura et proprietate. Amsterd. 1662 pag. 36** 
zweifelt nicht, dass Descartes bei seinem Aufenthalte in Holland es erfahren habe; der 
Professor Hortensius , ein Freund von Snellius , soll es sogar öffentlich gelehrt haben. 
Huyghens, der das Manuscript des Snellius selbst gesehen, ist der Meinung, dass Des- 
cartes es auch vielleicht in Händen gehabt habe. So viel ist sicher, Descartes lebte lange 
Zeit in Holland und war befreundet mit den ersten Familien, unter anderm mit Huyghens' 
Vater, so dass die Vermuthungen von Huyghens und Vossius einiges für sich haben. Die 
meisten Physiker , unter anderm wohl alle Deutschen , nennen Snellius den ersten Ent- 
decker des Brechungsgesetzes, Arago dagegen nimmt im 9. Bande seiner sämmtlichen 
Werke, Leipzig 1855, p. 71 die Ehre dejr Entdeckung für seinen Landsmann in Anspruch. 

2) Dioptrice cap. H. §. 7. 



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26 Das Breohungsgesett. 

Der eben erläuterte Fall gilt, wenn der Ball von einem dichtem in ein 
dünneres Medium übergeht ; für den umgekehrten Fall denkt Descartes sich, 
dass der Ball in C durch ein abermaliges Werfen eine grössere Geschvrtndigkeit 
in der vertikalen Componente bekömmt und die horizontale Componente wird 
in der Zeit, in welcher die vertikale C F durchlaufen ist, nur F H sein. Das 
Verhältniss zwischen AD und FH bleibt für dasselbe Medium aber immer 
dasselbe, wie klein oder gross man A D auch annehmen mag. 

Nach dem Gesagten ist die Geschwindigkeit im dichtem Mittel grösser, 
als Im dünnern. Descartes sagt, dass dies auch mit der Natur übereinstimme, 
denn die Erfahrung lehre, dass der Ball in seiner Geschwindigkeit viel mehr 
durch ein weicheres Mittel aufgehalten werde, als in einer härtern Substanz, 
ersteres entspreche dem dünnern, letzteres dem dichtem Medium. 



§•7. . 
Beweise für das Brechungsgesetz. 

Dieses wichtige Gesetz ist eigentlich die Basis der ganzen Theorie dei- 
Refraction, und wenn ich daher bei ihm etwas verweile und mehrere Beweise 
gebe, so hoffe ich, dass man es mit der Wichtigkeit entschuldigen wird. 

Gleich nach Descartes nahm Fermat, ähnlich wie schon 2000 Jahre früher 
Heron um das Reflexionsgesetz zu beweisen es that, an, dass die Natur dem 
Lichte, um von einem Punct zum andern zu kommen, die kürzeste Zeit vor- 
schreibe, er fand dadurch das Brechungsgesetz bestätigt; nach diesem Prin- 
cipe musste aber die Geschwindigkeit im dichtem Medium geringer sein, als 
im dünnern. Von ähnlichen Principien gingen Leibnitz und Maupertuis aus, 
Newton bewies das Brechungsgesetz, seiner Emanationshypothese über das 
Licht gemäss, durch Attraction, und um dieser zu genügen, musste die Ge- 
schwindigkeit im dichtem Mittel grösser sein, als im dünnern; Huyghens, der 
Begründer der Vibrationstheorie des Lichtes, gab hiernach einen Beweis und 
fand umgekehrt, wie Newton, im dichtem Mittel, eine Verzögerung der Ge- 
schwindigkeit. Ich gebe für alle drei Hypothesen die Beweise : 

Das Licht soll (s. Fig. 8), um von a nach b zu gelangen, die kürzeste 
Zeit gebrauchen, b liege im dichtem Medium, und A B stelle die Grenze dar. 

Lege ich der Bequemlichkeit wegen den Anfangspunct der Coordinaten 
irgendwo auf die Grenze A B, aber in der durch a und b gelegten Ebene; e 
sei der gefundene Durchschnittspunct in der Grenze AB; setze ich die Ge* 

schwindigkeit des Lichts auf ac = 1, auf cb = — und gehört, um a c zu 

durchlaufen, dazu die Zeit s, zu bc, wenn das dichtere Medium nicht da wäre, 
die Zeit s', so ist nach unserer Hypothese die Bedingung, dass: 

s 4- n s' ^=« Minimum 
ist. 



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Beweis nach Fennat. 27 

Da a und b in der Coordinatenebene liegen, so ist eine ihrer rechtwink- 
ligen Coordinaten = 0, und zwar die der y- Achse. 

Die Coordinaten von a kann ich daher «, 0, y; die von b a\ 0, /; die 
von c, da ich noch nicht weiss, ob c mit a und b in einer Ebene liegt, x, y, 
nennen, dann ist: 

und die Bedingung ist: 

(/(«— x)2 '+ y« + y8 + n (/(«' — x)2 + y2 4./« = Min. 
Aus der Diflferenlialrecbnung ist bekannt, dass für die Function 

f(x, y, z, y, w . ..) 
der Werth des Minimum gefunden wird durch die Gleichungen : 
— f(x, y,,z, V, w . . .) = 0-, ^ f(x, y, z, V, w . . .) = etc. 
Dies angewandt wird aus unserer Bedingung: 

= 0. 



« 


— x 

8 


+ 


n — 


8' 


X 




_y 

8 


+ 


8' 




:0 



Die letzte Gleichung giebt y == 0, d. h. c liegt mit a und b in derselben 
Ebene. 

Die erste Gleichung lässt sich nach der Figur schreiben: 

ad be ^ 

a c b c 

oder 

sin W. acd =n sin W. ecb oder 

sin W. acd 
Sin W. ecb 

W. ac d ist aber der Einfalls-, W. ecb der Brechungswinkel. 

Beim Uebergange vom dünnern in das dichtere Medium nähert sich der 
Strahl dem Einfallslothe und daraus folgt, dass der Brechungswinkel kleiner 

als der Einfallswinkel ist, n ist mithin grösser als 1, —ein ächter Bruch, und 

1 . . . ... . . * 

da — die Geschwindigkeit des Lichtes im dichtem Medium nach dieser Hypo- 
these ist, so verkleinert sich also die Geschwindigkeit in dichteren Mitteln. 

Der zweite Beweis nach der Emanationstheorie gründet sich darauf, dass 
der Strahl ac nicht momentan in c die Richtung cb annimmt, sondern dies 
geschieht durch die Attraction des dichtem Mittels nach und nach, in c 
entsteht eine unendlich kleine Curve, von der ac und cb gewissermaassen 
die Asymptoten sind. 

Es sei (in Fig. 9) aQ = y, cQ = x, die Anziehungskraft in der Entfer- 
nung y, ^(y) und q die Dichtigkeit des anziehenden Körpers, so ist nach den 
Grundsätzen der Dynamik: 



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28 Beweis nach Newton. 

(1) U — ^'^(y)' ?ti=« *2) 

wo das negative Zeichen in der ersten Gleichung deshalb steht^ weil durch 
die Anziehung die Ordinate y vermindert wird. 

Die erste Gleichung mit 2dy, die zweite mit 2dx multiplieirt und inte- 
grirt, giebt: 

(3) ^-C-2e/y(y)dy 

<^) ^^-^' 

Die Geschwindigkeit des Lichtes in ac, wo die Anziehung des dichtem 
Mittels noch nicht wirkt, sei g, so ist, ^^ ^; ^ ^^^ Seitengeschwindigkeiten 

sind: 

dx* dv2 

(5) s'=5^+d^ 

und nennt man den Winkel acd = 0, so ist 



C^) ^ = g*8in' 



dx2 
dt 

und nennt man den Werth des Integrals y^ (y) d y für denjenigen Werth von 
y, wo die Kraft qp (y) unmerklich wird N, so hat man: 
g2cos20 = C — 2^N 

g2 sin 20 ^ QS 

mithin 

(8) C = g»co8 20 4-2(»N 

(9) ......... C = gä sin 20 

Diese Werthe in (3) und (4) eingesetzt geben 

(10) ^ = g«cos20 + 2^N-2(» rp(y)dy 

(11) ^, = g'8in*0 

Für y=0 wirdyy(y)dy als verschwindend betrachtet und am Eintritts- 
puncte des Lichttheilchens in das Medium ist: 

(12) ^, = ggcos20 + 2N^ 

^13> 5^ = gg sin 20 

Im Innern des dichtem Körpers hat man die zwei Gleichungen: 

(») äa_+„,trt 

<«' &-»■ 

In der erstem muss deshalb rechts das positive Zeichen stehen, weil die 
Ordinate y durch die anziehende Kraft vergrössert wird. 



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Beweis naeh Newton. 29 

Mit 2dy und 2dx multiplicirt und integrirt, erhält man: 

(16)- • ^. = K + 2()yy(y)dy 

(17) i^-K'. 

Für y = 0; y^ofvir fcpij) dy auch = ist, müssen die Gleichungen (16) und 
(17) mit (12) und (13) übereinstimmen und dadurch wird: 

K = ggco8 20 + 2Np 
K' = gg8iii 20 

und (16) und (17) gehen über in: 

(18) ^==gg cos »0 + 2Np + 2ey(/(y)dy 

(19) -^'-gg CO820 

Nimmt man auch im Innern des dichtem Medium für das J*g)(j) dy, wo 
die Kraft gp(y) unmerklich wird, den Werth N an, so hat man im dichtem 
Medium: 
(20) . . . ^ = ggco820 + 4N^ 

(^^1) 4?==^^"'"'^' 

Nennen wir die Geschwindigkeit im dichtem Mittel v, so ist 

also da 

4N^ immer eine positive Grösse ist, 
ist die Geschwindigkeit im Innern des dichtem Mittels grösser, 

als ausserhalb. 
Bezeichnen wir den Winkel ecb mit 0', so ist nach der Zerlegung der 
Kräfte : 

= V8in0' = sin 0' j/gg + 4N() 

und da nach (21) 

dx 

j^==g8in0, 80 folgt 

(22) ?i^= l/l + ^ = derCoD8tantenn, 

sin0' Y gg 

welche Brechungsverhältniss genannt wird. 

Da den Einfallswinkel, 0' den Brechungswinkel bezeichnen, so ist durch 
(22) für die Eipissionstheorie das Brechungsgesetz bewiesen. 

Für die Vibrationstheorie giebt Huyghens folgenden Beweis : 
Man denke sich (Fig. 10) eine Lichtwelle A C, die, da man ihren Halbmesser 
sehr gross annehmen kann, als gradlinig zu /betrachten ist. Wäre kein Medium 
CB vorhanden, so würde die Welle AG ungehindert bis BD gelangen; wäh- 
rend aber der eine Theil in A ist, stösst der andere C bereits auf das dichtere 
Mittel und C wird dadurch zum Mittelpunct einer Particularwelle werden 



d V* d x* 



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30 Beweis naeh Huyghens. 

müssen^ die^ wenn das Verhältniss der Geschwindigkeiten des Lichtes in den 
beiden Medien, die das Licht durchläuft, wie 1 : n ist, den Radius n . A B = C /? 
haben wird. Auf ähnliche Weise wird in dem unendlich nahen Puncte C 
wieder eine Particularwelle entstehen, mit demBadius n.A'B = C'/J' und so 
auch in C, C" mit den Radien n. A"B = C"/?", n. A'"B = C'"/^"'. Die 
gemeinschaftliche Tangente Bß präsentirt die Hauptwelle und wenn HC als 
einfallender Strahl betrachtet wird, stellt C H' den gebrochenen dar. 
Nach den ersten Elementen der Geometrie ist: 

W. CB/9 = W. H'C Y (weil CB senkrecht zu XY ist) 
uud W.ACB = W. HCX und gefunden war: 

C/S = n.AB 
Cß AB 

oder ÖB = °ÜB 

oder sin CB/S = n sin AGB, 

mithin auch ein H' C Y == n sin H C X oder ^ 

sinHMJY 

sin H X =^ "i 

welches, da W. HCX der Einfalls-, W. H'CY der Brechungswinkel ist, zu 
beweisen war. 

Schon erwähnt ist, dass beim Uebergange aus einem dünnern in ein dich- 
teres Mittel der Brechungswinkel kleiner, als der Einfallswinkel ist, und daher 
muss hierfür n ein ächter Bruch sein ; n ist die Geschwindigkeit im dichtem 
Mittel, wenn die im dünnern Mittel = 1 gesetzt wird; nach der Vibrations- 
theorie bewegt sich also das Licht im dichtem Mittel langsamer. Dies ist in 
der That durch die neuern Versuche von Fizeau und Foucault i) bestätigt 
und das Brechungsgesetz kann in Folge dessen als ein Beweis für die Rich- 
tigkeit der Vibrationstheorie angesehen werden. 

^ §. 8. 
Erfindung des Barometers und Thermometers. 

Schon Tycho de Brahe bemerkt in den Progymnasmata pag. 39, dass die 
Refraction nicht immer dieselbe sei; Riccioli giebt für den Sommer, die Aequi- 
noctialzeiten und den Winter drei verschiedene Tafeln, Cassini und Picard, 
zu denen ich gleich nachher übergehen werde, fanden DifiFerenzen zwischen 
Winter und Sommer, zwischen Tag und Nacht, und zwar war im Winter die 
Refraction grösser als im Sommer, in der Nacht grösser als am Tage, Picard 
schrieb richtig jenen Unterschied den Temperaturdifferenzen ^) zu, er kam 
hierauf, indem er sah, dass plötzlich bei Sonnenaufgang sich einst die Ho- 
rizontalrefraction um 25" änderte, und analog damit zeigte sich vom Mont- 



^) Dove's Farbenlehre. Berlin 1853, pag. 53. 

2) Histoire Celeste ou Recueil de toutes les observations astronomiques parle Monnier. 
Paris 1741, pag. 19. 



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Das Thennometer. 3 t 

Valerien aas vor Sonnenanfgang die ThurmBpitze von Notre-Dame in Paris 
20' unter dem Horizonte, nach Sonnenaufgang plötzlich 22'. Halley ent- 
deckte, dass die Refraction von der Dichtigkeit der Luft abbinge^ Bouguer 
gab durch seine Beobachtungen am Aequator dafür eine Beatätigimg. 

Es zeigte sich die Nothwendigkeit, die Dichtigkeit der Luft in Rechnung 
zu ziehen, und glücklicher Weise hatte man kurz vor der Entdeckung dieser 
Nothwendigkeit die nöthigen Instrumente, das Barometer zum Luftdruck^ das 
Thermometer für die Temperatur, erfunden. 

Das Thermometer (Wärmemesser) wurde 1638 von dem Mechaniker 
Cornelius Drebbel erfunden, es hatte aber noch eine unvollkommene Form 
nnd keine Theilung. 

Die Akademie del Cimente gab dem lastrumente die jetzt gebräucyißhe 
Form, indem sie die Glaskugel mit der Röhre daran wählte, in der sich eine 
Flüssigkeit befindet. Bei Vermehrung der Wärme dehnt sich die in der Kugel 
befindliche und einea Theil der Röhre füllende Flüssigkeit aus und steigt 
empor, bei Verminderung der Wärme zieht sie sich zusammen und fällt in der 
Röhre, und bringt man an dieser eine Theilung an, so hat man das Thermo- 
meter vollständig. — Drebbel hatte zur Flüssigkeit eine Kupferlösung, die 
Akademie del Cimente nahm Weingeist ; der Nullpunct ihrer Theilung ent- 
sprach, wie Libri gefunden, dem 15. Grad der jetzigen Reaumur scheu ideale, 
der 50. Grad dem 44. derselben Theilung. 

Im Jahre 1709 hatten die Danziger einen etwas strengen Winter, und dßr 
Wetterglasverfertiger Fahrenheit führte einen andern Nullpunct ein, der der 
grössten Kälte des damaligen Winters entsprach. Später, um diesen Null- 
punct wieder herzustellen, setzte er seine Thermometer in eine Mischung von 
Eis^ Wasser und Salmiak. Die Temperatur dieser Mischung war immer ziem- 
lich dieselbe nnd dadurch erreichten seine Thermometer eine weit grössere 
Genauigkeit, als die frühern. Er setzte auf seiner Scale 32, sobald diese 
Temperatur dem Gefrieren des Wassers entsprach, der Blutwärme gab er 96^, 
dem siedenden Wasser 180 Grad. Im Jahre 1714 fing er>an, den Weingeist 
durch Quecksilber zu ersetzen und dieser Fortschritt war ein bedeutender, 
indem sich durch die Untersuchungen von de Luc ^), Flaugergues ^), Gay- 
Lussac^) und Dulong und Petit*) gezeigt hat, dass Quecksilber, seiner 
der Wärme der Luft am nächsten kommenden Ausdehnung wegen, den V^or- 
zug verdient. Die Thermometer mit der angegebenen Eintheilung sind noch 
allgemein unter dem Namen Fahrenheit'sche bekannt. 

Reaumur, der Zeitgenosse von Fahrenheit, setzte den Nullpunct dahin, 
wo das Thermometer hinzeigte, wenn Wasser zu gefrieren anfängt, der Tem- 
peratur des kochenden Wassers gab er 80 Grade. Seine Thermometer waren 



») Philos. Transact. LXVIII. pag. 503. 

«) Journal de Physique LXXXII. pag. 401. 

ö) Laplace , m^canique Celeste Tom IV. pag. 270. 

♦} Annalea de Chemie et de Physique VII. pag. 118. 



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32 Das Barometer. 

mit Weingeist gefbllt und kamen den Fahrenheit'schen nicht gleich — Ther- 
mometer mit seiner Eintheilung heissen Reaumur'sche. 

Endlich hat noch der Schwede Celsius der Bequemlichkeit wegen das 
Intervall bis 80 Grad Reaumur in 100 Theile getheilt und solche Grade 
heissen Celsius- oder hunderttheilige Grade/ 

Die jetzigen Thermometer sind mit Quecksilber gefüllt. Die Engländer 
rechnen gewöhnlich nach Fahrenheit-, die Deutschen nach Reaumur -^ die 
Franzosen nach Celsius -Graden, letztere als dem Decimalsystem am ange- 
messensten werden wohl die Oberhand gewinnen. 

Zu derselben Zeit, als Cornelius Drebbel das erste Thermometer verfer- 
tigte, wurde dem grossen italienischen Physiker und Astronomen Galilei der 
Fall vorgetragen, dass ein Gärtner eine sehr genau gearbeitete Wasserpumpe 
von 40 Palmen Länge habe machen lassen und das Wasser nur l&EUen oder 
32 Pariser Fuss darin emporsteige, der andere Raum aber leer bleibe. Galiled 
meinte, der Abscheu der Natur gegen das absolut Leere habe seine Grenzen, 
sein Schüler Evangelista Torricelli untersuchte die Sache weiter, er nahm 
statt des Wassers Quecksilber und fand im Jahre 1643, dass dieses in einer 
luftleeren Röhre nur 28 Zoll hoch steige. Da nun 28 Zoll zu 32 Fuss sich 
nahe wie das specifische Gewicht des Wassers zu dem des Quecksilbers ver- 
hält, so schloss Torricelli, dass die 28 Zoll hohe Quecksilbersäule einer Luft- 
säule von der Höhe der Atmosphäre das Gleichgewicht halte, und durch die- 
sen glücklichen Gedanken war er der Erfinder des Barometers geworden. 

Er theilte seine Entdeckung dem Pater Mersenne'mit, durch den Descar- 
tes und Pascal davon benachrichtigt wurden. Letzterer verschaffte sich von 
der Erklärung des Torricelli dadurch Aufschluss, dass er seinen Schwager 
Perrier zu Clermont bewog, mit einem Barometer den nahe gelegenen Puy de 
Dome zu besteigen. Nach der Definition des Torricelli musste das Barometer 
bei 3000 Fuss Höhe um 3 Zoll fallen, und zu seiner Freude fand Pascal dies 
nahe bestätigt. Leicht, sollte man glauben, hätte man weitere Schlüsse ge- 
zogen, man hätte gleich versucht, die Höhe der Atmosphäre zu bestimmen, 
oder wenigstens untersucht, ob die Dichtigkeit der Lutt in allen Höhen die- 
selbe sei ; doch es dauerte noch eine geraume Zeit, bevor Mariotte das Gesetz 
der Abnahme der Dichtigkeit der Luft bei gleicher Temperatur entdeckte. 

Das von Torricelli angegebene Gefässbarometer, bestehend in einer etwa 
3 Fuss langen luftleeren Glasröhre nebst einer Scale mit einem Quecksilber- 
gefäss darunter, und das vorzüglich von de Luc genau untersuchte Heber- 
barometer, eine umgebogene, mit Scale versehene Glasröhre, wovon das eine 
Ende 2V2 Fuss länger als das andere und luftleer sein muss, in welchem das 
Quecksilber dem im andern Ende befindlichen nebst der darauf drückenden 
äussern Luft das Gleichgewicht hält, sind hauptsächlich im Gebrauch. Die 
Scalen sind entweder auf dem Glase selbst oder auf Messing in Pariser oder 
Englische Zolle oder Millimeter getheilt; bei dem Gefässbarometer ist auch 
eine Vorrichtung zum Verschieben der Scale nöthig, um sie von der Ober- 
fläche des im Gefässe befindlichen Quecksilbers an zu rechnen. (Man kann 



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Cassini's Arbeitoft. 33 

auch durch Rechnung hierfür bei einer festen Scale die Correction finden.) 
Gewöhnlich sind die Barometer auch mit einem Thermometer versehen, indem 
es zur strengen Reduction nöthig ist, die Temperatur des Quecksilbers zu 
kennen, und die Ablesung an der Scale geschieht mittelst eines Nonius oder 
Mikroscopes. Ein weiteres Eingehen auf die Construction und die Correctio- 
nen dieser Instrumente kann nicht Zweck dieser Arbeit sein, es ist hier 
genügend zu wissen, dass, als man nötliig fand, bei der Refraction die Baro- 
meter- und Thermometer-Correctionen zu berücksichtigen, die Instrumente 
erfunden waren. In jedem Lehrbuch der Physik findet man ausserdem nähere 
Erörterungen. 

§.9. 

Die Theorie der Refraction von Cassini. Seine Tafeln. 
Picard's Arbeiten. 

Cassini, geb. am 8. Juni 1625 zu Perinaldo (Nizza, Oberitalien), 
gest. 1712, lebte anfangs in Bologna, wurde aber später von Ludwig XIV. 
nach Paris berufen und zeichnete sich als erster Director der 1670 vollendeten 
Sternwarte durch genauere Theorien der Sonnenbewegung, der Finsternisse, 
der Bewegung der Jupitertrabanten und durch zahlreiche andere Entdeckungen 
ruhmlichst aus. Zu Bologna schon, wohin er durch den Marquis Malvasia be- 
rufen war, beschäftigte er sich mit der Construction von Sonnentafeln aus 
seinen Beobachtungen und fand, dass es unumgänglich nöthig sei, genaue 
Refraetionstafeln zu haben. Er kannte die Tychonischen Tafeln, er wusste, 
dass die Refraction bis zum Zenith gehen müsse und nahm sich vor, den von 
Keppler betretenen theoretischen Weg zu verfolgen. 

Er studirte die Brechung der Lichtstrahlen zwischen Luft und Glas, 
zwischen Luft und Wasser und andern Flüssigkeiten, er fand das schon 
30 Jahr früher von Snellius entdeckte Gesetz des constanten Verhältnisses 
zwischen dem Sinus des Einfalls- und Brechungswinkels, er nahm richtig an, 
dass dies Gesetz auch für den leeren Raum und die Luft gelte, er setzte vor- 
aus, dass die Atmosphäre in allen Höhen gleich dicht sei, und durch die 
Horizontalrefraction von 32' 20" und die Refraction in 19 Grad Höhe gleich 
5' 28" bestimmte er den BrechungscoeflScie;iten und die Höhe der Atmosphäre 
und nachdem er diese Grössen bestimmt hatte, entwarf er seine Tafeln. 

Es sei (Fig. 11) C der Mittelpunct der Erde O A Q, N E E' M sei die Oberfläche 
der Atmosphäre, SE, S' E' zwei Strahlen, die von den Sternen S, S' kommen, 
in E und E' der Oberfläche der Atmosphäre werden sie gebrochen und das in 
A befindliche Auge sieht sie in der Richtung AES^, AE'S'«. Die Winkel 
SES*^, S'E'S'^ repräsentiren den Betrag der Refractionen, ich nenne sie r, 
r', die Winkel S^EF, W. S'^E'F' sind die Brechungswinkel, die ich respec- 
tive E, E' nenne, die Winkel SEF, S'E;F' sind die Einfallswinkel = E + r, 
E' + r'. Der Radius CA sei = l, die Höhe der Atmosphäre Aa = x, so 



Bruhns, Refraction. 



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34 Cawini's Arbeiten. 



hat man, wenn W. Z A S^, W. Z AS'*> = z, z' genannt, und j-, ^ — ^^^ "^ 

sodass X = sec u — 1 wird, nach dem Brechungsgesetz: 

sin (E + r) == n ain E \ /|^v 

3in(E'+r') = n8inE' ) 



sin 
sin 
Femer ist 

AC . 1 



sin E == sin z ^ = sin z = sin z cos u 1 .^n 

sin E'^= sin z' cos u j 

Aus (1) folgt 

sin (E + r) . . ^ ^ 

n = — -^i — i^i — — == cos r + sin r cotff E 
sin E ^ 

sin (E' 4- r') . . • i * i?s 

n = ^ — ft; — - =^ cos r' -f sin r' cotg E' 

sm E' ® 

cos r — cos r' sin r' ^ t^, ^ ^ 
«^it^i^- sinr -^^cotgE-^cotgE (3) 

Aus (2) erhält man 

cos E = cos u j/tg % -(- cos ^z 

und cotgE = £!si]i+^£i!l. 

sm z 

Ebenso cotg E' = )/tg % -t- cos ^z' ^^^ .^ ,g, eingesetzt 

sm z' 

cos r— cos r' sinr' ^ 1 . _^- ^.^ 

_ — — =- — ; ; — t/ te^vL + cos 2z' ; i/tsr ^n + cos ^z • W 

sin r sm r sm z' r o ^ sm z '^ » i*t- w.» «. \ / 

Unsere Aufgabe ist u zu bestimmen, wenn z, z', r, r' gegeben sind; aus 
dieser Gleichung u direct zu finden, da es zweimal unter dem Wurzelzeichen 
vorkommt, ist nicht möglich. Nehmen wir aber mit Cassini z = 90^, also 
sin a = 1 , cos z = 0, so ist eine Lösung durch eine quadratische Gleichung 
ausführbar. 

Wir erhalten nämlich zuerst: 

cos r — cos r' . . , sinr' / 

. sin z' -I- te u sm z' = -: l/tg ^n + cos V 

sin J ° sm r '^ ^ 

und quadrirt 

(cos r — ■ cos r' . A^ . «* • , /cos r -^ cos r' . ,\ . • «.^ , 
i smz I 4- 2 tff u sin z' 1 ^— smz' 1 -|- sm ^z' tz *u 
sm r J ^ y sm r J * 

sin V , _ . sin «r' ^ , 

= . ., tg »u -t- . ^ - cos 2z' 
sm ^r ° sin ^r 

oder geordnet und mit ^.-^^, multiplicirt und der Kürze wegen: 

cos r — cos r' . , . \ 

; — z Sin z' =5= A I 

sm r' I 

— — 7 sm z' = B I 
sm r' ) 

gesetzt, 

tg»u(l — B») — 2ABtgu«A8 -cos V (6) 

woraus 

X . -^B . ± i/B» cos 2z' 4- A2 — cos ^z' .7, 

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CMsiiii's Axbeiten. 35 

Da wir z = 90® angenommen, ao ist r bedingt und zwar nach Cassini 

r = 32' 20". 
Für z' und r' können wir noch jede Refraction nehmen, Cassini nahm, 
-wie schon erwähnt 

z' = 80>,r'=5'28'' 
und damit wird nach (5) 

^^co.(32-2Q)-(cos5'28")^.„^ 

Sin (5 28'^) 

wofür wir, da r und r' klein sind, daher in 

cos r — cos r' 2 sin ^ (r + r*) sin ^ (r — r') 

sin r' »in r' 

die Sinuse mit den Bögen vertauschen können 

cos r — cos r' r' — r'* 

sinV ~" ^?~ 

setzen dürfen; dadurch wird: 

. (32'20-r-(5-g8T „. ep. 

^ 10' 56'' 

=- - 0,026609 
B = p- sin z' gesetzt, wird = + 5,85^478 und für u ist nur ein reeller posi- 
tiver Werth 

= 20 O' 12" 

möglich, sec u — 1 = x wird = 0.0006115 und da Cassini den Halbmesser 
der Erde = 3271600 Toisen annahm, wird die Höhe der Atmosphäre 
X = 2000,7 Toisen, oder in runder Zahl 2000. 

Die scheinbare Zweideutigkeit von dem Winkel u in (7) verschwindet 
durch folgende Betrachtungen: 

Weil r die Horizontalrefiraction bezeichnet ist r*< r, daher cos r — cos r', 
mithin auch A in (5) negativ. Ebenso ist, weil die Sinuse der Zenithdistanzen 
geringer wachsen, als die Refraetionen, B positiv und>l, mithin 1 — B^ 
negativ. 

Es lässt sich leicht beweisen, dass schon von einigen Minuten Höhe 

cos »as' > A> ist ») 

also auch (B« — 1) cos ^' > A^B» — A« 

oder B* cos «z* + A« — oos «z' > A»B* 



^) CQ9 ^<'> A* oder eo& s('> A lässt sich dadurch leicht beweisen, das» man r m otgz, 
di^ approximative BefractiQn£iformel» wie wir spüter aahen werden, seti^t- Nämlich für A 
seinen Werth gesetzt giebt: 

r«— r'» 
cos zf > Q ^ sin z* 

für r' ^^ otgz' gesetzt, kömmt 

cos k' > "ö— cos z'j oder 1 > ^— , r ist wie wir gesehen 82^ 20", höchstens 35', also r*=^ 

0,0001, mithin, sobald 2c>0,0001 oder >20", c also >10" ist, findet es statt. Bis z = 80» 
ist c = ö8", bei z«89oi8t c«25", bei z «= 89» 40* ist c =. 11". Bei z^-SO^ist cos z = A, 
sonst immer grösser. 

3* 



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36 Cassini's Theorie. 

folglich f/B» cos »z^ -f A« — cos V AB 

1 _ B« ^ 1— B^ 

Daraus folgt, daaa der Werth von tg u, wie er es nach der Definition von 
u sein muss, nur dann positiv ist, wenn für 

/B» cos H' + A« — cofiTv 
1 — B2 

der positive Werth genommen wird. Nehmen wir also für die Wurzel die 
positive, so muss, da nach dem obigen 1 — B^ negativ ist, das negative Zeichen 
gewählt werden, so dass njan hat 

. AB i/B« cos 2z' + A« -^ cos V ,qv 

Wir haben u gefunden und x, aus (2) findet sich für z = 90», E = ST» 59' 48" 
und nach (1) mit r = 32' 20" 

^ sin (880 32^ s^Q innn9«A 
^= sinc87o59'48'0==^-^^^^^^- 
Nachdem diese Grössen bekannt sind, ist es leicht, nach (1) und (2) Ta- 
feln zu entwerfen. Es ist in aller Strenge aus (1) und (2) : 

. /nsinzX . / sin z\ 

r = arc sin 1 -7— — I — arc sm 1 :7— — I 

Setzt man aber, um alles so viel als möglich durch Tangenten auszudrücken, 

*«N = ÄT • C9) 

dann ist mit Hilfe von (2) 

. „ sin z sin N 

^^ tiT— <io) 

und erlaubt man sich den cos r = 1, den sin r mit r zu vertauschen, welches 
für Cassini's nur ganze Secunden angebenden Tafeln hinreichend ist , so hat 
man leicht aus (1) 

r = (n-l)tgE (U) 

Um z. B. r für z = 60® zu berechnen, ist: 

lg tg u ^ 8.54380^ lg sin N = 8.84377 lg tg E = 053750 
lg c os z = 9.69897 lg s in z =9.93753 lg ( n— 1) =. 1.76871 in Secunden. 
N = 40 0',1 8.78130 r = 101'S4. 

lg tg E == 0.23750 

Laplace hat, wie wir später sehen werden, bewiesen, dass bis zu 74 Grad 
Zenithdistanz das Gesetz der Abnahme der Dichtigkeit der Luft auf die Re- 
fraction gar keinen Einfluss hat. Cassini nahm eine falsche Dichtigkeit der 
Luft an , dessen ungeachtet stimmen seine Tafeln bis 80 Grad Zenithdistanz 
mit den spätem von Bradley und Laplace bis auf wenige Secunden überein. 
Es lässt sich in der That die Cassini'sche Form leicht in die von Bradley au- 
fgewandte Simpson sehe Regel und auch in die Formel von Laplace für die Re- 
fraction von z = bis z = 74^ verwandeln. 

Die Simpson sehe Regel hat von Bradley die Form erhalten : 

r = « tg (z — m r) 



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Cassini'^ Theorie. 37, 

wo « = 2 °7! ist. 

n + 1 

* Nach unserer Gleichung (1) ist 
^ _ sin (E 4- r) 
sinE ' 
1 . — 1 — »JQ (^ + r) — sin E __ 2 cos (E 4- jr) sin ^r 

'. 8m"E BiürE 

^ ;^ _ 8in(E 4- r) 4- cos E _ 2 sin (E 4- jr) cos^r 
^^■*" ^ S5"E "~ sinE 

oder da r immer klein ist, also tg 4^r =s= 4^r gesetzt werden kann: 

2 — -— j- = r cotg (E 4- ^r), woraus 

r = atg(E4-ir) (12) 

Aus (2) ist : : 

sin E = sin z cos u 

== sin z — 2 sin* ^u sin z. 

Wir wissen bereits aus dem Frühern, dass E und z nicht sehr verschieden 
sind, ihre DiflFerenz beträgt bei z == 70® nur 5', das zweite Gliqd ist daher ein 
Glied zweiter Ordnung und der Fehler wird nicht gross sein, wenn wir darin 
statt (12) substituiren 

r = a tg z, wodurch 

sin z =3 — cos z wird. 
a 



Dies eingesetzt, kömmt 



sin E := sin z — r 

a 

Nennen wir 



2 sin' ^u 

2sin2 4u 
L- = I 



• (13) 

so haben wir 

sin E = sin z — rm cos z 

für das wir schreiben können, da rm immer klein ist 

sin E = cos rm sin z — sin rm cos z, 
oder sin E = sin (z — mr) 

E == z — mr. 

Dies in (12) substituirt giebt 

r = atg(z— [m— |]r) 

und m aus (13) bestimmt ist = 2,1, daher 

r = a tg (z — 1.6r) (14) i) 

die gewünschte Form. 

Ausdrücklich bemerke ich noch, dass für z > 80® der Coefficient von r 
rechts ein anderer wird. Es ist nach Cassinis Theorie, wie ich gefunden : i 



*) Delambre schlägt in seiner „Astronomie th^orique Tom I. pag. 299** einen viel 
weitläufigeren, allerdings etwas strengem W^g ein, und findet in — | »s 1.6081. f 



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38 CMsini's Theorie. 

bei z==90o r = « tg (z — 3.2r) 

z = 80 r==atg(z— 1.6r) 

z = 70 r = a tg (2 — l.^r) u. «. w. • 

Bei Cassini ist a = 58''.70. 

Bradley hatte « = 57 und 

r = a tg (z — 3r) 

und die nahe UebereinBtimmung beider Formeln ist der Grund, warum die 
Cassini'schen Tafeln für ihre Zeit so vorzüglich waren« 
Nach Laplace ist bis zu z = 74® 

r==«tgz('l + «-?:=4^\ 

WO X die Höhe der Atmosphäre und a durch 

1 
J/1--2« 
gegeben ist. Es ist daher : 

2 7-^ = 2 ^. = ^r —-r «= a +«'+•• . 

'^n + l l-f j/l — 2« 2 — « — J««... 

mithin statt (12): 

r=^a(H.ß)%(E-fir). 

Nach dem Taylor'schen Lehrsatze ist 

tg(E + ir) = tgE + 3^^... = tgE + ifÜL±^4.... 
Aus (9) und (10) findet sich leicht, dass genähert ist: 

* cos z ^ ' 

nnd diesen Werth in 

r = «(l+«)tg(E + ir) = „tgE(^H.«+i^±^..^ 

eingesetzt, giebt: 

= «tgz/l + „-^^"... ) 
\ cos ^z I 

die obige Laplace'sche Form. 

Man sieht also, dass, wenn die Constanten genau genug bestimmt sind, 
die Cassini'schen Tafeln bis zu z = 74® mit den Laplace'schen übereinstimmen 
müssen. 

Oassini hatte im Anfange drei Tafeln, ähnlich wie RiccioK, und zwar für 
den Sommer, die Aequinoctialzeiten und den Winter mit den Horizontalre- 
fractionen von 32' 20", 32' 40" und 33' 0" und den Refractionen 59", 66", 73" 
in 45^ Höhe, er hat sich die Differenzen nicht zu erklären gewusst und 
nachdem Rioher im Jahre 1671 nach Gayenne geschickt wurde, und dort 



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Cassim's Tafeln. 



39 



die Schiefe der Ekliptik zu 23^29', wi« Cassini es nach seinen Berechnungen 
MTollte, (nach Tycho's Beobachtungen und seinen Refractionstafeln sollte sie 
23<> 31 ',5 betragen) bestimmtö, auch dort fand, dass die Sonnenparallaxe*) 
sehr gering sei, adoptirtet Cassini nur eine Tafel, welche die erste von -den 
dreien war. Man findet diese Tafel lange Zeit in der Connais^ance des temps, 
in den frühern Lehrbüchern der Astronomie und andern Büchern. Aus den 
Tables astronomiques du Soleil, de laLune etc. par M. Cassini, Paris MDCCXL 
pag. 152 entnehme ich sie hier im Auszuge. 

Tafel der Bafraotianen Ton Cassim. 



Höhe 


Refract. 


Höbe 


Kefract. 


Höhe 


Refract. 


Höhe 


Refract. 


Höhe 


Refract. 


00 


32' 20'' 


190 


2' 49" 


370 


j4 


18" 


550 


0' 41" 


730 


,0' 18^' 


1 


27 56 


20 


2 39 


38 




15 


56 


40 


74 


17 


"2 


21 4 


21 


2 31 


39 




12 


57 


38 


75 


16 


3 


le 6 


2i 


2 25 


40 




10 


58 


37 


76 


14 


4 


12 48 


23 


2 18 


41 




7 


59 


35 


77 


13 


5 


10 32 


24 


2 12 


42 




5 


60 


34 


78 


12 


6 


8 55 


25 


2 6 


43, 




3 


61 


33 


79 


11 


7 


7 44 


26 


2 


44 




1 


62 


31 


80 


10 


8 


6 47 


27 


1 55 


45 





59 


63 


30 


81 


9 


9 


6 4 


28 


1 51 


46 





58 


64 


28 


82 


8 


10 


5 28 


29 


1 46 


47 





56 


65 


27 


88 


7 


11 


4 58 


30 


1 42 


48 





54 


66 


26 


84 


6 


12 


4 32 


31 


1 38 


49 





52 


67 


25 


85 


t) 5 


13 


4 12 


32 


1 84 


50 





50 


68 


24 


86 


4 


14 


3 54 


33 


1 30 


51 





49 


69 


22 


87 


3 


15 


3 38 


34 


1^27 


52 





47 


70 


21 


88 


2 


16 


3 24 


35 


1 23 


53 





45 


71 


20 


89 


1 


17 


3 11 


36 


1 20 


54 





43 


72 


19 


90 ' 





18 


8 





















Der Zeitgenosse von Cassini, Picard, dem man die erste genaue Grad- 
messung der Erde verdankt, war es, der erkannte, dass die Refraction sich 
mit den Temperaturen der Luft ändere, und schon pag. 32 ist erwähnt, dass 
er fand, die Refraction sei im Winter grösser, als im Sommer, in der Nacht 
grösser, als am Tage. Er machte eine Reise nach Uranienburg bei Copen- 
hagen, und auf der Retourreise bestimmte er in Montpellier durch Sonnen- 
beobachtungen die Refractionen von 68 Grad bis 90 Grad 10 Minuten Zenith- 
distanz 
nomie moderne Tom IL pag. 618. 



Die Tafel kann man nachschlagen in Delambre's histoire de Tastro- 



^) R. Grant in seiner „History of Phyöical Astronomy, London 1852" meint, dass 
Cassini anfangs geglaubt habe , die Differenz der Sounenparallaxe in den verschiedenen 
Jahreszeiten könne die Differenz in den Befractionstafeln erklären; dies scheint mir 
xkaum möglich ,, denn Cassini bat diureh seine Tafeln gezeigt, dass er zu richtige Begrifft 
von dem wahren Werthe der Sonnenparallaxe habe. Es scheint mir hinreichend zu sein, 
dass Cassini zuerst, durch die Beobachtungen geleitet, drei verschiedene Refractions- 
tafeln anoabm; woher die Differenz kam, wosate er nicfat, und dass er, als Sicher in 
Cayenne seine Sommer-Tafeln bestätigte, von dieser Zeit an nur diese annahm, findo 
ich ganz in der Ordnung. 



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4U Mariottf's Arbeiten. 

§. 10. 

Das Mariotte'sche Gesetz. Experimente von BEawksbee, 
JoH. Cassini, Delisle. Newton erklärt die Refraction durcli 
Attraction. Halley publieirt nach Newton's Theorie Tafeln, er 
schlägt eine Correction der Refraction durch die verschie- 
denen Barometerhöhen vor. Lemonnier findet Unterschiede 
in der Refraction, die die Temperatur hervorbringt und beob- 
achtet zur Bestinmiung der Refraction Circumpolarsteme. 

Torricelli hatte das Barometer erfunden, Pascal zeigte, dass man mit 
ihm Höhen bestimmen könne, doch hierzu war es nöthig, dass man das Gesetz 
der Dichtigkeit der Luft für die verschiedenen Höhen kenne. Dieses Gesetz 
wurde durch den zu St. Martin sous Beaune in der Nähe von Lyon lebenden 
Physiker und Mechaniker Edm. Mariotte (gest. 1684) entdeckt. Durch eine 
grosse Anzahl von Experimenten fand er, dass die Dichtigjieit der Luft dem 
darauf ruhenden Drucke proportional sei ^), d. h., dass die Zu- oder Abnahme 
der Dichtigkeit gerade in demselben Verhältniss stattfinde, als die Höhe einer 
ihren Druck anzeigenden Barometersäule zu- oder abnimmt. 

Dieses Gesetz ist von Dulong und Arago geprüft worden und bei con- 
stanten Temperatur bis zu 27 Atmosphärendruck als richtig befunden, für 
starkem Luftdruck findet es nicht mehr statt; bei der Refraction haben wir 
es nur mit etwas mehr als einer Atmosphäre und mit weniger zu thun, und 
daher ist für unsere Betrachtungen dieses Gesetz als vollkommen richtig zu 
' betrachten. 

Die Entdeckung des Gesetzes war um so wichtiger, als bald darauf 
Hawksbee, 1702, durch Experimente (er bediente sich eines bohlen Prisma's, 
in dem er die Luft verdichtete und verdünnte) nachwies, dass die brechende 
Kraft der Atmosphäre sich wie ihre Dichtigkeit verhalte. Aehnliche Experi* 
mente wurden von Jab. Qassini und Delisle 2) angestellt, welche aber nicht 
so glücklich waren, als Hawksbee; letzterer fand bei einem Einfallswinkel 
von 45® die Brechung durch die Atmosphäre 45", während sie 60" beträgt. 
Später werden wir von diesen Gesetzen Gebrauch machen. 

Dem grossen Talente Isaak Newton's, des Begründers und Reformators 
der physischen Astronomie und der Optik, war es vorbehalten, in der Theorie 
der astronomischen Strahlenbrechung den zum richtigen Ziele führenden 
Weg anzugeben. 

In der ersten Ausgabe seiner „Principia philosophiae naturalis" im Jahre 
1687 zeigte er, dass die Eefraction nach der von ihm begründeten Emanations- 



*) Nach Lindenau's barometrischen Tafeln soll schon Mher Townley di^es G-esetz 
entdeckt haben. 

2) M^moires de TAcademie. Paris 1719. 



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HÄÜey 8 Arbeiten. 41 

theorie des Lichte» eine Folge der Attraction sei, mittelst der Attraction lasse 
sich die wahre Bahn des Lichtstrahls in den Luftschichten von verschiedener 
Dichtigkeit bestimmen und dadurch könne man den Beti^g der Refraction 
ermitteln. Durch den von Baily im Jahre 1835 veröffentlichten Briefwedisel 
zwischen Newton und Flamsteed wissen wir, dass Newton die Temperatur der 
Luft als gleich, und ihre Dichtigkeit daher dem Drucke proportional annahm^ 
dass er die richtige Differentialgleichung für die Refractipn gefunden und sie 
durch diie im dritten Bande seiner Principia angegebene parabolische Qua- 
dratur integrirt hat. 

Halley hatte in den Philosoph. Transact. No. 366 pag. 118 Refractions- 
tafeln nach Newton's Theorie berechnet gegeben, ohne die Formeln hinzuzu- 
fügen, erst durch die Newton'schen Briefe an Flamsteed sind die Formeln 
aufgeklärt, und Biot hat in der Connaissance des temps.pour 1839 die von 
Halley publicirten Tafeln einer strengen Prüfung unterworfen und richtig 
befunden; ein Gleiches thut Ivory in den Philosoph. Transact. von 1838 und 
die nahe Uebereinstimmung mit den jetzigen strengern Tafeln ist so gross, 
dass es bedauert werden muss^ Newton's Arbeit nicht früher bekannt gemacht 
zu sehen. 

Halley's *) Tafeln geben die Horizontalrefraction 33' 45" 
die Refraction in 10^ Höhe 4 52 
in 45 „ 54 
Halley beobachtete in den Jahren 1714 und 1715 den Sirius im Meridian 
und bemerkte, dass die Höhe um 8" hin und her schwankte, er schrieb dies 
der Refraction zu, und da er gleichzeitig bemerkt hatte, dass der Barometer- 
stand sich von 27 auf 29 Zoll geändert habe, und die 8" von dem Betrage 
der Refraction, 1' 55" in 25<*Höhe etwa, ebenso den 14. Theil ausmachten, wie 
die Aenderung der Barometerhöhe /iwn der ganzen Höhe, so schloss er daraus, 
dass die Aenderung der Refraction der Barometerhöhen -Aenderung pro- 
portional sei, imd schlug vor: „Die mittlere Refraction um denselben Theil 
„zu vergrössern oder zu verkleinem, als das Barometer über oder unter 
„seinem mittlem Stande, den Unterschied in Theilen der mittlem Höhe aus- 
„ gedrückt, sich befindet." 

Lemonnier beobachtete a Aurigae zu Paris in der obern und untern Cul- 
mination und fand die Refraction in der Höhe von 

4« 44' am 14. Juli 1738 bei 20 Grad Wärme 9' 47'' 
„ 5. August „ „ 24 „ „ 9 20 

„ 4. Febr. 1739 „ 5 „ „ 10 31 

n V 77 77 1^ 79 >; 11 10 

Durch diese Beobachtungen wai* also wieder festgestellt, dass auch die 
Refraction sich durch die Temperatur und zwar ganz beträchtlich ändere, es 
folgte, dass sowohl zu verschiedenen Jahreszeiten, wie in verschiedenen Ge- 
genden eine andere mittlere Refraction stattfinden müsse ; Lemonnier hatte 



») Philosophie. Transact. for 1721 und in einem Werke von Horsley. 

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42 Lemonnitr's Arb^H. 

dies auch 1787 in Tomei bemerkt; wo er die Refraciion beträchtlich grösser 
al« zu Paris fand. — Aber bei diesen Thatsachen blieb Lemolmier stehen^ er 
gab keine Regel für die Verbesserung durch die Tempei^or^ das geschah erst 
176S durch den deutschen Astronomen Tobias Meyer. 

Die Horizontalrefraction findet Lemonnier geringer als Cassini^ New- 
ton und Flamsteed, er will nur 31' 27" dafür annehmen. Er glaubte eine 
unvergleichlich genaue Methode gefunden zu haben ^ die Horizontalrefraction 
an einem Sterne zu bestimmen, der nur einige Grade unter den Nordhorizont 
hinabsinkt. aLyra geht z. B. für Paris nur 2^3® unter den Horizont, und er 
findet, dass der Ort deß Aufgangs, das Azimut also, sich dureh eine Minute 
in der Horizontalrefraction um 30' ändern müsse. Er irrt aber, Delambre hat 
nachgewdesen, dass es nur 8' sind. Auch ist Lemonnier nicht mit den Resul- 
taten seiner unvergleichlichen Methode ans Tageslicht getreten. 



§. 11. 

• 
Bouguer bestimmt Refractionen in der heissen Zone, Lacailla 

entwirft Tafeln auf empirischem Wege und giebt naöh Halley '& 

und Mayer's Regel die erste Correetionstafel der Refraetion 

wegen Barometer und Thermometer. Roemer's Ideen über 

Refraetion, Horrebow's, Wurzelbauer^s und Le Gentil's Tafeln. 

Huyghens' Ansichten. 

Nach der Theorie von Keppler und Cassini musste die Refraetion auf 
hohen Bergen grösser sein, als am Fusse derselben, denn der Beobachter in A 
(s. Fig. 12) sieht den Stern S in S', die scheinbare Zenithdistanz ist Z AS', und 
die zugehörige Refraetion S E S'. 

Der Beobachter in B sieht den Stern in der scheinbaren Zenithdistanz 
S'BZ' und hat dieselbe Refraetion. Aus dem Dreieck ABC folgt, dass 
W. ZAS' = W. Z'BS' + W. ACB, oder, dass die erste Zenithdistanz 
grösser ist, als die zweite, und da beide dieselben Refractionen haben, und die 
Refractionen mit den Zenithdistanzen wachsen, so muss der Beobachter B auf 
dem Berge in derselben Zenithdistanz eine grössere Refraetion haben, als der 
Beobachter A auf ebener Erde. 

Nach dem Mariotte'schen Gesetz nimmt aber die Dichtigkeit der Luft, 
wenn man gleiche Temperatur voraussetzt, dem Drucke proportional zu, der 
Weg des Lichtes in der Atmosphäre konnte keine grade Linie mehr sein, er 
musste eine Curve darstellen; nach der Halley'schen Regel sollten die Re- 
fractionen sich wie die Barometerhöhen verhalten, und da bereits durch Pas- 
cal bewiesen war, dass auf Bergen das Barometer bedeutend niedriger steht, 
als unten, so folgte auch daraus, dass auf Bergen die Refraetion geringer 
sein müsse. 



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Rougitör'fi Arbeiten« 



43 



Dkeer letelien licirtigeü Folgerimg wurde ihr Kecht durtik Bo«gUer, der 
voii der Pariser Akademie mit Condamine nach Peru zur Ausmessung emefi» 
Erdgrades geschickt wurde. 

Aus Soünenbeobachtungen in Quito, welches 1479 Toisen über der Mee* 
reefläche liegt, entwarf er für diesen Ort folgende Tafel, derer die Aenderung 
von 500 Toisen Höhenveränderung (er hatte zu diesem Zwecke auch auf dem 
Pichinoha 527 Toisen höher, als Quito beobachtet) beifügt: 



Aefractionstafel von Bouguer. 



Scheinbare 
Höhe 


Refraction 
für Quito 


Aenderung 
f&r 500 Toisen 
Höhenänderung 


Scheinbare 
Höhe 


Refraction 
für Quito 


Aenderung 
für 500 Toisen 
Höhenänderung 


00 


22' 50" 


1' 42'' 


400 


0' 43" 


O' 6" 


1 


16 48 


1 34 


50 


30 


4 


2 


12 40 


1 30 


60 


20 


3 


3 


9 53 


1 7 


70 


13 


2 


4 


8 11 


56 


80 


6 


1 


5 


6 52 


48 


90 








10 


3 28 


26 








20 


1 39 


13 








30 


1 3 


9 









Auf dem Chimborasso in 2388 Toisen Höhe beobachtete er * 



in — P 17' scheinbarer Höhe die Refraction = 34' 



— 1 

— 


+ 1 

+ 2 




31 






24 
20 
14 
10 



47" 

1 
20 
17 
32 

2 



Auf der Insel Inca, nahe an dem Niveau des Meeres, fand er die Hori- 
zontabefraction 27' O''. 

Durch diese Beobachtungen war also entschieden, dass die Theorie von 
Cassini falsch sei, dass der Barometerstand im engsten Zusammenhange mit 
der Refraction stehe. Die von Bougaer gefundene Horizontalrefraction von 
27', also bedeutend kleiner, als in der gemässigten Zone, lässt einige Zweifel 
nicht unterdrücken. Le Qentil, der 1769 in Pondichery zahlreiche Beobach- 
tuügeta und Bestimmungen der Horizontalrefraction machte, fand die in der 
heisseb Zone wenig von der der gemässigten verschieden, und auch A. v. Hum- 
boldt giebt durch seine Beobachtungen in fast derselben Zone in Amerika 
sie beträchtlich grösser. Ich werde später auf diesen Gegenstand noch ein- 
mal zurttckkommen. 

Bouguer verificirte ferner auch, dass in den Aequatorgegenden ebenfalls 
die Refraction in der Nacht grösser, als am Tage sei, und zwar wegen der 
verschiedenen Temperaturen. 



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44 



Lacaüle's Arbeiten. 



Noch einmal wagte ein Mann den Weg von Tycho zur Bestimmung der 
Refraction zu betreten: sich um die Theorie wenig kümmernd *) versuchte La- 
caille auf empirischem Wege eine Refractionstafel zu entwerfen und in den 
Memoiren der Pariser Akademie vom Jahre 1755 finden wir seine Berichte. 

Zu Paris und am Cap der guten Hoffiiung beobachtete er Sterne^ die an 
beiden Orten sichtbar waren und von denen einige die Nähe des Zenith pas- 
sirten, der Stern /^Aurigae z. B. hat in Paris 4®, am Cap 79** Zenithdistanz^ 
y Sagittarii dagegen hat in Paris 79®, am Cap 4fi Zenitbdistanz. Sobald an 
beiden Orten die Refractionen dieselben sind, muss die Distan^der Sterne an 
beiden Orten auch dieselbe sein, und durch zahlreiche Beooachtungen ist 
Lacaille zu dem Resultat gekommen, dass eine Differenz allerdings existire, 
diese aber nur 0,026 des Betrages und zwar am Cap die kleinere sei. Er 
construirte eine Tafel für Paris und für das Cap, von der ersten ist ein Auszug 
in folgender Tabelle enthalten: 

Befractionen von Lacaille. 



ZenithD. 


Refraction 


Z. D. 


Befraction 


Z. D. 


Befraction 


z.jy. 


Befraction 


0<> 


0"0 


10« 


11"7 


40« 


55"8 


70o 


2' 54".7 


1 


1.1 


15 


17.8 


45 


1' 6.5 


75 


3 49 


2 


%3 


20 


24.2 


50 


1 19.0 


80 


5 37 


3 


3.5 


25 


31.0 


55 


1 34.6 


84 


8 42 


4 


4.6 


30 


38.4 


60 


1 54.4 






5 


5.8 


Oß 


46.6 


65 


2 20.5 







Diese aus mehr denn 300 Beobachtungen abgeleiteten Refractionen 
sind mittlere und gelten für 2.8 Pariser Zoll Barometerhöhe und + 10® R. 
Temperatur. Um aber für alle Höhen des Barometers und alle Grade des 
Thermometers die richtige Refraction leicht zu finden, entwirft er eine Tafel, 
die die Halley'sche schon oben erwähnte Regel und auch nahe die von Tobias 
Mayer 1753 gegebene Correction befolgt, wonach 15 Linien Barometerän- 
derung und 10® R, Temperaturänderung die mittlere Refraction bei 28 ZolJ 
Barometerhöhe und 10® R. Wärme um den 22. Theil ^) ändern. Weil es viel- 
leicht die erste bekannt gewordene Tafel ist, gebe ich davon einige Zahlen. 

Oben ist das Argument die Höhe des Barometers, links die Wärme in 
Reaumurgraden. Die Columnen enthalten die Zahlen, die in die mittlere Re- 
fraction hineindividirt die Verbesserung der mittlem Refraction geben. + giebt 
eine Vergrösserung, — eine Verminderung. 



>) Die zwischenliegenden, d. h. die nicht direkt beobachteten Befractionen inter- 
polirte Lacaille nach Bernoulirs Formeln ; auch für kleinere Zenithdistanzen nach d«r 
Formel r = «tgz. 

2) Er verminderte den Factor für die Temperatur von ^ö a^f s?- 



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Roemer's 'Arbeiten. 
Tafel von Laoaüle zur Verbesserung der Befraotion. 



#45 



Barometer 
Thermometer 


27ZolUL. 


27 Z. 8 L. 


28 Z. L, 


28Z.4L. 


28 Z. 8L. 


4- 25« 


- 13 


— 15 


— 18 


-23 


-— 32 


+ 20 


- 16 


- 20 


- 27 


- 40 


— 76 


+ 15 


- 24 


~ 33 


- 55 


-149 


+189 


-1- 10 


— 42 


— 85 


^ 00 


+ 85 


+ 42 


+ 5 


-1.189 


+149 


+ 55 


+ 33 


+ 24 





•f 76 


+ 40 


+ 27 


+ 20 


+ 16 


- 5 


+ 32 


+ 23 


+ 18 


+ 15 


+ 13 



Bei 28" 8'" Barometerstand uqd 25^ Wärme muss die Refraction z. B. up 
den 32. Theil vermindert werden; bei 80^ Zenithdistanz ist sie also 5' 37" — 

^ = 5'26".5. 

Lacaille vergleicht seine Tafeln (deren Werth er zuerst auch in Loga- 
rithmen angiebt, eine Form, die jetzt am häufigsten von den Astronomen an- 
gewandt wird) noch mit denen von Halley und Flamsteed *), und findet seine 
Werthe alle grösser. In der That sind seine Werthe auch zu gross, und dies 
inuss den Fehlern seiner Instrumente zugeschrieben werden. Auf den Unter- 
schied seiner Refractionen in Paris und am Cap kann in Folge dessen durch- 
aus kein grosses Gewicht gelegt werden. 

Noch merkwürdig, aber seiner Zeit angemessen, sind die Ansichten von 
Olaus Roemer über die Refraction, die uns Horrebow in der Schrift: „Atrium 
Astronomiae, Havniae 1732", überliefert hat. Roemer meinte, dass die die 
brechende Kraft besitzende Luft eine andere Höhe habe, als die Luft, welche 
auf das Barometer drückt. Für erstere sei die Höhe nur 2064 Toisen, für 
letztere 4128 Toisen. 

Drei Regeln gebe es, welche aus der Theorie der Refraction folgten: 
1) Wenn das Auge des Beobachters der Oberfläche der Atmosphäre sehr 
nahe 9ei, werde es die Gegenstände wie durch eine ebene Fläche sehen, die 
Einfallswinkel und Zenithdistanzen würden nahe dieselben und die Refrac- 
tionen am grössten sein. 2) Wenn der Beobachter im Mittelpunct der Atmo- 
sphäre sei, sehe er keine Refraction, und 3) in dem Zwischenräume sehe man 
die Refraction wachsen, je mehr man sich der Oberfläche nähere. 

Horrebow zieht aus Diesem drei Schlüsse, wozu er noch Zusätze giebt: 
1) Dass für jede Stadt eine andere Refraction existire ; im Thale sei sie ge- 
ringer, als auf den Bergen. 2) Die Refractionen wüchsen, wenn die Einfalls- 
winkel zunehmen; die drückende Kraft der Atmosphäre Hänge auch von der 
Wärme und der Elasticität ab. 3) Die Refraction sei kleiner, je näher man 



>) Flamsteed hat sehr starke Differenzen in den Kefractionen zu verschiedenen Zeiten 
beobachtet. In der Historia coelestis Birittannica, Londini 1725 Vol. I. im 7. Abschnitt 
findet man die Beobachtungen, aus denen er eine Tafel ableitet, die eine Horizontal- 
refraction von 33' 0", eine in ^^ Höhe von 48" enthält. 



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46» Le OentU'B Arbeiten. 

dem Mittelpimot der Atmosphäre sei^ grösseri je mehr man sich der Ober- 
fläche nähere. 

Aus Beobachtungen der Circumpolarsterne und der Sonne in den Sol- 
stitien leitete er eine Refractionstafel für Roemer's Sternwarte zu Tusculum 
(nahe bei Copenhagen auf dem Lande) ab mit 82" Refraction in 45® Höhe, und 
eine andere für den astronomischen Thurm in Copenhagen ttnd die Uranien- 
^ bürg (trotz der verschiedenen Höhen I doch sagt er, erforderten Picard's Beob- 
achtungen in Uranienburg dieselben Tafeln wie fiir Copenhagen) mit 33' 44" 
für 0® Höhe und 58" für 46^ Höhe. Ebenso wie Roemer war auch Wurzelbauer, 
geb. 1651, gest. 1725, ein Nürnberger Astronom, ein Anhänger der Cassini'- 
schen Theorie; da er sich aber grundsätzlich keines Fernrohrs zu seinen 
Beobachtungen bediente, waren seine beiden Refractionen, die er seinen 
Tafeln zu Grunde legte, sehr irrig. Mit 30^ 28" Refraction in 0® Höhe und 
5' 10" in 170 Höhe findet er 96" in 45« Höhe. 

Einer kurzen Erwähnung bedarf hier noch der Zeitgenosse von Roemer, 
Huyghens; in seinem „Traite de la lumi^re^' pag. 42—48 erklärt er die astro- 
nomische Refraction durch seine Hypothese der Wellentheorie; die Luft wird 
dünner, je höher man steigt, die Welle, die upter einem bestimmten Winkel 
die Atmosphäre trifft, wird durch die dichtem Schichten mehr aufgehalten, 
als durch die dünnern, es entstehen eine Menge Particularwellen, und ihre 
gemeinschaftliche Tangente an der Oberfläche der Erde bestimmt die letzte 
Tangente der Curve, welche durch den Mittelpunct der einzelnen Wellen ge- 
legt werden kann, und die dem Lichtwege in der Atmosphäre entspricht Die 
Refraction, sagt er noch, beträgt etwa V2 Grad, sie ist aber besonders in den 
Höhen unter 2 und 3 Grad sehr veränderlich, welches von der verschiedenen 
Menge von Wasserdämpfen herkömmt, die von der Erde aufsteigen. 

Schon haben wir in diesem Paragraph von Le Gentil gesprochen, er hat 
1769 in Pondichery, auf der Isle de France, und auch in Frankreich in der 
Normandie beobachtet und Refractionstafeln *) entworfen. Obgleich er nach 
Picard, nach Halley, nach Lemonnier, Bouguer, Lacaille, Mayer, Bradley 
lebte, und diese alle festgesetzt hatten, dass die Refraction mit dem Barometer- 
stande und der Temperatur veränderlich sei, spricht er selbst bei der Ver- 
schiedenheit seiner Horizontalrefractionen auch nicht ein einziges Mal von 
diesen Correctionen. Er ist noch, obwohl zu seiner Zeit alle Astronomen die 
Simpson'sche Regel oder die Bradley'schen Tafeln adoptirt hatten, ein warmer 
Verehrer von Cassini, und um seine Horizontalrefraction von 29' 44" und die 
Refraction von 4' 43" in 80 Grad Zenithdistanz, wie er sie in Pondichery 
beobachtete, mit Cassinis Hypothese in Einklang zu bringen, nimmt er die 



1) Die Refractionstafel, hergeleitet aus den Beobachtungen in der Kormandie, ver- 
gleicht Delambre von 10» Höhe an mit den neuem Tafeln nach der Laplace'schen Theorie 
and findet, dass sie besser übereinstimmen, als die Bradley'sohen. £8 ist dabei aber 
nicht Kücksicht genommen, dass Bradley's Tafeln für 29,6 engl. Zoll Barometerstand, die 
neuern Tafeln dagegen för 0,76 Meter gelten. 

3) De la Uire, Tabulae astronomicae Parisiis MDCCH pag. 6. 



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DelaHlre^s Ailieiten. 47^ 

Höhe der brechenden Luft nnr 1750Toisen (statt 2000) fiir die heisse^one 
an. Ein besonderes Verdienst von ihm ist, dass er in Pondieherj oft ausser- 
gewöhnliche Refractionen beobachtete ; so z. B. sah er im Winter von seiner 
14,9 Meter hohen Sternwarte, für die die Depr^sion das Horizontes 8' 62" 
betragen sollte, sie nur 7' ä7", die Sonne ging nicht regelmässig auf dem 
Meereshorizonte auf, sie erschien plötsslich bei ihrem Aufgange einige Minuten 
über dem Horizonte, und ähnliche Erscheinungen nahm er wahr. 



§.12. 

Versuche, die Curve des Lichts in der Atmosphäre zu be- 
stimmen, die Arbeiten von De la Hire, Herrmaim, Newton, 
Brooke Taylor, J. Oas^im, Bouguer, Jacob, Johann und Daniel 

BernouUi. 

Nachdem das Mariotte'sche Gesetz bekannt war und man wusste, dasa die 
Luft, je höher man hinaufsteigt, immer mehr an Dichtigkeit abnahm, das Lieht 
also nicht durch eine Luftschicht von oonstanter, sondern durch eine mizäh- 
lige Anzahl concentrischer Schichten von wachsender Dichtigkeit ging, sah 
man wohl ein, da&s der Weg der Strahlen iq der Luft eine Curve sein müsse, 
und wer hätte nicht versucht, diese Curve zu bestimmen? 

De la Hire, der mit Picard die Messung des Erdgrades unternahm, der 
der Meinung Picard's zuwider die Befractionen für alle Zeiten gleich hielt und 
der aus seinen eigenen Beobachtungen, ebenso wie 50 Jahre später Lacaille, 
auf empirischem Wege eine Refractionstafel ^) construirte, die für den Hori- 
zont 32^ 0", für 450 Höhe 71'' (also mehr als 10'' fehlerhaft) angiebt, unter- 
sucht in den Memoiren der Pariser Akademie von 1702 den Weg des Lichtes 
in der Atmosphäre. 

Mariotte und andere Physiker, sagt er, haben gefunden, dass die Luft 
sich in dem Verhältniss comprimire, als sie belastet sei; die Dichtigkeit der 
Luft nimmt' daher ab mit dem Quadrat 2) der Höhe und die Linie, die der 
Lichtstrahl beschreibt, ist in ihrem Zusammenhange eine Cycloide, von der 
nur der Erzeugungskreis, je nach dem Winkel, unter dem der Strahl auf die 
Atmosphäre fällt, verschieden ist. Fällt der Strahl als Tangente auf die At- 
mosphäre, so muss der Durohmesser des Erzeugungskreise» die Höhe der 
Atmosphäre sein. Fällt er senkrecht, so ist der Durchmesser unendlich 
und die Cycloide geht über in die grade Linie. Doch, fügt er hinzu, wäre die 
Curve nur dann eine Cycloide, wenn die parallelen Luftschichten von graden 
Flächen begrenzt sind, denn diese Graden sind die Basen der Cycloide. Weil 
aber, streng genommen, die Luftschichten concentrisch um die runde Erde 



1) De la Hire, Tabulae astronomicae Paris. MDCCII pag. 6, 
') Dieser Schluss ist falscfh. 



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. 48 Hemnaiin'B Atbeiten. 

liegen; so ist dadurch eigentlich die Lichteurve eine Epicycloide, die indessen 
die Haupteigenschaften mit der Cycloide gemein hat» 

Herrmann, Professor zu Basel, zeigte 1706 in den „Actis Eruditorum'^, 
dass der Schluss von de la Hire, dass die Dichtigkeit in dem Quadrat der 
Höhe ^) abnehme, nicht richtig sei, er setzte als Curve der Dichtigkeit die 
logarithmische Linie von der Gleichung 

— ydx^^ady 

woraus: y=:ece-T 

wo e die Basis des hyperbolischen Logarithmensystems ist, aber das Problem 

zu lösen, gelang ihm auch nicht. 

Newton, über dessen vorzügliche Arbeit wir schon im vorigen Paragraph 
gesprochen haben, war viel zu vorsichtig, um über den Weg des Lichtes 
etwas Falsches zu geben, es ist durch den erwähnten Briefwechsel zwischen 
ihm und Flamsteed erwiesen, dass er die richtige Differentialgleichung der 
Refraction und auch der Curve, wenn auch nicht in der jetzigen analytischen 
Bezeichnung, unter der Voraussetzung, dass die Dichtigkeit dem Drucke, die 
brechende Kraft der Dichtigkeit proportional sei, gekannt hat. 

Im Jahre 1715 fand zuerst Brooke Taylor in seiner „Methodus incre- 
mentorum" unter den eben bei Newton angeführten Bedingungen analytisch 
die Differentialgleichung, hält aber die Berechnung einer Refractionstafel 
für zu unbequem und erst Kramp war vor 60 Jahren der Erste, der die Mög- 
lichkeit der vollständigen Lösung zeigte und gab. 

Taylor nahm an, dass die Geschwindigkeit des Lichtes sich verhalte, wie 
die Grössen j/l + ^ : ^r+ ^, wenn q und q' die Dichtigkeiten der Atmosphäre 
an zwei bestimmten Puncten bezeichnen, und umgekehrt wie die auf die Tan- 
genten, die in diesen Puncten an die Refractionscurve gezogen werden, er- 
richteten Perpendikel. Plana ^) hat nachgewiesen, dass seine Differential- 
gleichung vollkommen strenge ist. 

Jacob Cassini gab 1714 3) dem Lichte in der Luft eine kreisförmige 
Bahn, und obwohl er wusste, dass diese Bahn nicht die richtige sei, beruhigte 
er sich doch damit, dass er fand, seine Refractionen stimmten viel besser, als 
die seines Vaters, und die Höhe der Atmosphäre betrage nach dieser Hypo- 
these 4000 Toisen. 

Im Jahre 1729 publicirte Bouguer *), von dem wir schon gesprochen, 
eine Abhandlung über die Refraction, die von der Pariser Akademie gekrönt 
wurde. Er setzt voraus, dass sich in der Atmosphäre die brechende Materie 
je höher man steigt, immer mehr ausbreite. 



1) Wenn wirklich die Dichtigkeit mit dem Quadrat der Höhe abnähme, wäre die Curve 
doch keine Cycloide, sondern ein Kegelschnitt. 

*) Plana in den Turiner Memoiren Vol. XXXII pag. 61, worin er nachweist, dass 
Matthieu sich irrt, wenn er in der Note zu Delambre's histoire de l'astron. au XVIll'*"^ 
Siecle die Differentialgleichung nicht strenge nennt. 

8) Memoires de l'Academie.. Paris 1714. 

*) Bouguer: Methode d'observer exactement sur mer la hauteur des astres. Paris 17^9. 



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Booguer's Arbeiten. 49 

Damit die Lösung allgemein sei, stellt er die Ausdehnung durch eine 
Curve dar, deren Ordinaten der Ausdehnung proportional sind, er setzt sie 
auf der Oberflache der Erde in A (s. Fig. 13) gleich 1 in der Entfernung 
CP (== x) vom Mittelpunct gleich z. Die Sinus des Einfalls- und Brechungs- 
winkels verhalten sich wie diese Ordinaten, also sin W. C p L : sin W. O p 1 = 
z :z' oder da p C gemeinfichaftliche Hypotenuse ist, 

CL:Cl = z:z' 

woraus, wenn wir von einer Luftschicht zur andern bis A gehen, C L : CM = 
z : 1 wird, daher ist 

CL = CM.z==cz, wenn wir CM = c setzen, und dann ist PL = j/x* — c*z^ 

LH 

W. LPl ist gleich dem Diflferential der Refraction ==i dr = -rjy- und 

LH = dem Differential von GL, oder da GL = c. z ist, wird 

TTT j jj LH cdz 

LH = edz und dr = -fr-r- == —7=== if) 

PL j/x2__c2z2 ^ ^ 

Diese Differentialgleichung ist ganz allgemein und identisch mit denen 

von Lambert, Lagrange etc. welche sich § 15 und 16 finden. 

Bouguer setzt nun z = x™ und findet : 

j mcx™ — ^dx 

dr= ■ (2) 

j/l — C*xiJm-» 

Um diesen Ausdruck zu integriren, construirte er ihn durch eine Figur 
und fand, dass man ihn auch mit einer Sinustafelberechnen könne, sobald 
man m und den grössten Werth von x kenne. Er entwickelt ihn auch in eine 
R^he und findet die Form: 

r = |- tg z ~ 1^ tgsz + gjstg^z 4- tg^z} - . . . ., 

wo z die Zenithdistanz, g und h Gonstanten bedeuten. 

Er bestimmt die Gonstanten aus zwei Refractionen, aus 33' 0" und 2* 12" 
für 00 und 260 Höhe und findet -J- = 0,14694, g = 0,00213312. Er giebt 
Tafeln, die wegen der nicht ganz richtigen zweiten Refraction zu gross sind, 
und seine Tafeln für Quito hat er auch nach dieser Theorie berechnet. 

Du Sejour stellte zuerst durch die Simpson'sche Regel, von der wir gleich 
nachher sprechen werden, die Bouguer'schen Refractionen dar und meint, 
dass sie die Aufmerksamkeit der Astronomen verdienen. Delambre beweist 
in seiner „histoire de Tastronomie au dixhuitifeme si^cle" durch Rechnung, 
dass Bougüer auf ganz verschiedenem Wege wie Simpson zu demselben Re- 
sultat gekommen ist ; Matthieu giebt in der Note zu Delambre's histoire die 
analytische Ableitung, denn man braucht nur Gleichung (2) zwischen den 
Grenzen x = 1 und x = GP, dem grössten Werthe von x, zu integriren, so 
hat man: 

r = — -—= l arc (8in==c.CP™— i) — arc (sin = c)i, 

wo c == sin z, dem Sinus der Zenithdistanz ist, welches nichts andres als die 
Simpson'sche Regel im folgenden Paragraph ist. Die Simpson'sche Regel 

Bbuhns, Refraction. 4 



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50 



Berüoullfs Arbeiten. 



zeichnet sich durch ihre grosse Einfachheit aus*/ hätte Bouguef sein Resultat 

in einer so einfachen Form geben können, so hätte man mit Recht stets von 

der Bouguer'schen und nicht von der Simpson'schen Regel gesprochen. Von 

Interesse bleibt Bouguer's Arbeit immer. 

Bouguer findet noch für die Curve (Trajectorie), welche er „la so- 

laire^' nennt, die Relation 

r = m.AE 

d. h. die Projection der Curve auf die Erdkugel steht zur Refraction in einem 

Constanten Verhältniss und daraus folgt, dass nach Bouguer die Refraction 

nahe y^ X W. E C A ist. (m ist ^) 

Jacob Bernoulli *) construirte sich die Bahn des Lichtes und fand eine loga- 
rithmische Linie, er hat ein Verfahren angegeben, die Refraction zu berechnen. 

Johann Bernoulli 2) stellt die Abnahme der Dichtigkeit graphisch durch 
eine Parabel und Hyperbel dar, und findet die Bahn des Lichtes von gleicher 
Form. 

Auch Daniel Bernoulli 3) lässt sich in seiner 1738 -erschienenen Hydro- 
dynamik darauf ein, die Refraction zu bestimmen. Er spricht von der Con- 
stitution der Atmosphäre und setzt die Dichtigkeit D der Luft in der Höhe x, 
X in Pariser Füssen ausgedrückt 



D=- 



22000 



22000 + X 

wo für X = 0, D = 1 genommen ist. Er nennt die unendlich kleine DiflFerenz 
zwischen dem Einfalls- und Brechungswinkel Diflferentialwinkel derJRefraction 
und setzt die Refraction gleich dem Integral aller Difi'erentialwinkel. Er findet 
für Höhen über 2^ 44' und unter 2^ 44' zwei verschiedene Formeln und be- 
rechnet eine Tafel, die im Auszuge nebst einer Vergleichung mit Cassinis Tafel 
auch in Heinsius „de computo Refractionum astronomicarum Lipsiae 1749" 
sich findet. Zur Bestimmung einer Constante (des Difi*erentialwinkels für 45^) 
nimmt er die Cassini'sche Refraction in 10 Grad Höhe 5' 28" an und ein Theil 
seiner Tafel ist: 



1) Jacob Bernoulli Opera IL, pag. 1063. 

2^ Job. Bernoulli Opera III., pag. 516. 

8j Paniel Bernoulli Hydrodynnmik pag. 221. 



Refractionstafel von Daniel Bemonlli. 


Seh. Höhe 


Refraction 


Seh. Höhe 


Refraction 


00 


34' 53'' 


450 


1' 3" 


5 


9 59 


50 


, 53 


10 


5 28 


55 


44 


15 


3 44 


60 


36 


20 


2 52 


65 


29 


25 


2 12 


70 


23 


30 


1 47 


75 


17 


35 


- 1 29 


80 


11 


40 


1 15 


85 


5 


45 


1 3 


90 






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Simpson'g Arbeiten. 51 

Wie schon Andre vor ihm, und zu seiner Zeit auch noch Cassini III. de 
Thury bemerkten, sagt er, dass die Dichtigkeit der Luft der Barometerhöhe 
proportional sei und die Refraction durch die Wärme der Sonne am Tage 
geringer sei, als bei Nacht. 

Seine Voraussetzungen, sowie die seiner Vorgänger, über die Dichtig- 
keitsabnahme der Luft sind genügend, die Nichthaltbarkeit ihrer Theorien 
und die geringe Verbreitung ihrer complicirten Formeln zu erklären. 

§ 13. 
Simpson's Regel. — Die Pormel von Bradley. 

In ein neues Stadium trat die Refraction durch die Arbeit des Engländers 
Simpson in seiner „Mathematical Dissertation", in der er den von Newton 
vorgeschlagenen Weg, die Refraction als Folge der Attraction zu betrachten, 
verfolgte, aber nicht die Dichtigkeit dem Drucke proportional, woraus eine 
geometrische Progression entsteht, annahm, sondern statt der geometrisch pro- 
gressiven Abnahme die arithmetisch progressive voraussetzt. Er erhielt dadurch 
mit der ihm von Dr. Brevis gegebenen Refraction von 1' 30".5 in 30® Höhe 
eine berechnete Horizontal -Refraction, die dem wirklichen Werthe nahe 
entsprach und ihm seine Hypothese als richtig erscheinen liess. Seine Regel 
drückt er aus: „Der Radius verhält sich zum Sinus von 86® 58'.5, 
„wie derSinus derZenithdistanz zumSinus eines andern Bogens, 
„und dieDifferenz zwischen derZenithdistanz und diesem Bogen 
„multiplicirt mit ^V ist der Betrag der Refraction.^' Analytisch aus- 
gedrückt heisst das: 

* 1 : sin 860 58.5 = sin z : sin x 

(z — x) X -ft- = r, dem Betrage der Refraction, 
öder r = ^ I z — arc sin (sin z . sin S&^ 58.5) =tT (^ ~" ^^^ ^i" U^^ ^ X »in (90 — y . 33^)} . 

33' war bei Simpson die Horizontal -Refraction; nehmen wir diese = R 
und setzen V = m, so haben wir: 

r = — (z — arc sin |sin (90° — mR) . sin zj (A) 

eine Gleichung, die sich noch durch folgende Transformation in eine elegan- 
texe Form bringen lässt. 

m r — *z = — arc sin jsin (90 — mR) . sin z| 
sin (z — mr) = sin z . sin (90 — mß) (a) 

oder da sin (90 — mR) = constans ist, welche wir c nennen wollen 
1 : c = sin z : sin (z — m r), daraus 
1 -I- c sin z -I- sin (z — m r) 



1 — c sin z — sin (z — m r) 



(b) 



tg^ 



4* 

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52 Simpsoirs Arbeiten. 

und da -0- sehr klein; so dass wir die Tangente mit dem Bogen vertauschen 
können ; haben wir: 

1 — <i m r 

"2" 

woraus (B) r = Constans. tg 1 z ^j 

eine so bequeme und hübsche Form ist, dass weder Bradley noch Maskelyne, 
noch Sejour, noch Boscowich, noch Groombridge und Andere daran etwas 
anderes zu ändern wagten, als die Constante und m. 

Ausser Simpson haben besonders Boscowich und Du Sejour Beweise 
dieser Gleichung gegeben, ich halte mich an den ursprünglichen und gebe ihn 
mit geringen Aenderungen und einigen Abkürzungen. 

Es sei in Figur 14 der Mittelpunct der Erde, E AN die Oberfläche, 
BG die Oberfläche der Atmosphäre, BGCH eine concentrische unendlich 
schmale Luftschicht. Der Lichtstrahl komme in B an und beschreibe die 
Curve BD A, BI sei die Tangente der Curve in B, DK in D, AF in dem 
Puncte A auf der Oberfläche. Ol, OK, OF seien Perpendickel auf diese 
Tangenten. Die scheinbare Zenithdistanz W. LAG = W. OAF sei =z, 
W. ILA=r, W. BQG = q, W.OBI = i, W. GOB = v, W.BOD = dv, 
W. IBK= dr, der Radius A = a, OB = ^, 3C = dp. 

Ist die Geschwindigkeit im Puncte B = a, so wird sie durch die An- 
ziehungskraft der Luftschichten nach dem Mittelpuncte hin vergrössert und 
in A sei sie g. Im Puncte D, der unendlich nahe bei B liegt, sei die be- 
schleunigte Kraft um — du grösser, das Minuszeichen, weil die Entfernung 
vom Mittelpunct der Erde abnimmt, oder weil mit zunehmender Entfernung 
vom Mittelpunct der Erde die Geschwindigkeit abnimmt; der mehr durch- 
laufene Raum ist: 

— ^u du 

hervorgebracht durch die Zunahme der Luft. Die Luftmenge nenne ich s, 
die Zunahme | ds. Man hat alsdann: 

— Judu = ^d8 

folglich ""f^ d ^ — y^ ^ 

und wenn man integrirt die Geschwindigkeit zwischen den Grenzen u und g, 
die Luftmenge zwischen den Grenzen o und s, so ist 

gS — U« = 28 

oder (1) ... u = j/ g » — 2 s 

Nach dem 2. Keppler'schen Gesetze beschreiben alle durch die Anziehungs- 
kraft sich bewegenden Körper in gleichen Zeiten gleiche Flächenräume. Die 
Geschwindigkeiten verhalten sich daher umgekehrt, wie die vom Mittelpuncte 
der Tangenten, gezogen an die Puncte der Curve, wo die Geschwindigkeiten 
stattfinden, errichteten Perpendickel, d. h. 

u:g==OP:OI 



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Simpson's Arbeiten. 53 

Ist (s. Fig. 15) B D = u, V A = g, so ist. nach dem Gesetze: 

AOBD = AOVA 

und da 2 A OBD = BD x Ol = u . Ol 

2AOVA = AVxOI = g.OF 

so entsteht daraus obige Proportion. 

Es ist O F = sin z X O A = a sin z 

ff ff . a sin z 

und (2) ... 0I = -^a8inz=-^=^_ 

^ ' ^ >/g2 — 28 

«. ... iB^Y,'-i:f^ 

Wegen Aehnlichkeit der Dreiecke BIO und B C D hat man 

. ~ Bl "~ |/ ?* (g* — 2 8) — 02 g"2^ii2T 

CD CD 

Da nun W. BOD = dv= qw oder q^ ist, so bekömmt man: 

,., , agsinzdii 

(4) . . d V == — /^ 

^ j/ 2^ (g2 — 28) — a« g2 8in2 z 

In Fig. 14 ist BI der einfallende Strahl, LA der ins Auge gelangende, 
die ganze Refraction = W. ALI = r. Nachdem der Strahl durch die erste 
Luftschicht BCGH gegangen, hat er die Richtung BK und der von BI 
und BK eingeschlossene Winkel IBK ist gleich dem Differential der Re- 
fraction = d r. 

Es ist aber dr = W. IBK = g!^ 

und Ik =: ^ Ol^M^J^I^^ mit Hülfe von (2), 

I k 
folglich aus dr = gj, aus (3) für BI seinen Werth eingesetzt, wird 

ff . a . sin z . d8 

(5) .. dr=-- / =r- 

^^ (ga- 2s) |/(i2(g*--28) — a^gäsinäz 

In dieser Gleichung sind noch 2 Variable q und s und wenn man die 
Gleichung integriren will, muss man erst die Abhängigkeit zwischen der Ent- 
fernung vom Mittelpunct q und dem von der Luftmenge abhängenden s kennen. 
Simpson lässt, wie schon erwähnt, die Dichtigkeit der Luft in arithmetischer 
Progression abnehmen. Es sei ö der grösste Werth von s, also die grösste 
Luftmenge an der Oberfläche, h die Höhe der Atmosphäre, so setzte Simpson 

d8 : d(>=^iy : h 

Dadurch wird (5) 

g . a . fV . sin z d ^ d . (} 

'^~h(g2 — 2s) j/(ff2— 2s) ^«— a^g'^siu^z "" ^ h(g2 — 28) 
oder da ^ = a + h, h aus der Dämmerung abgeleitet höchstens ff^ a ist, und 
setzen wir a = 1, so ist q höchstens 1 + ^4^^, genähert also ^ = 1. Setzen wir 
g = 1, so wird g2 — 2s = l — 2s. Wegen der geringen Höhe der Luft ist 
s sehr klein und 1 — 2 s können wir nahe als constant betrachten und genähert 
wird sein nach (6) 

(7) dr = dv-^ 



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54 Simpson's Arbeiten. 

In Fig. 16/ die aus Figur 14 entnommen ist, ist 

W. q = W. r -}- W. z und da z coDstant 
dq = dr 
Es ist auch W. q = W. v + W. i 

daher W. v + W. i = W. r + W. z 

und W. V — W. r = W. z — W. i 

und dv — dr=d(z — i) 

aus (7) ist dv = — dr 

daher (-|- — 1) dr =: d (z — i) 

dr==^d(z-i) 

und integrirt und zwar r zwischen und r, z — i ent^^prechend zwischen 
und z — i, so findet sich 

' = Y^(^-i) (8) 

Aus Gleichung (2) findet sich, da: 

sin i=» -gl (Fig. 14) 

g . a sin z 

. . • , - sm z 1 

a -I- h ^ 

da wir oben schon a und g = 1 gesetzt. 

Der grösste Werth von s ist d, setzen wir den ein, und erlauben uns 

/ 'f 1 . t = 1 — h + ^ zu sehreiben, 
y 1 — 2o 1 + n 

so ist: 

sin i = sin z ><; (1 — h + d) 

i = arc sin (sin z x [1 — h + (J]) 
z — i =1 z — arc sin (sin z x [1 — h -|- tf]) 
und aus (8) wird 

r = - . _ ^ I z — arc sin \ sin z x (1 — h + tf) J (9) 

Aus den angenommenen Refractionswerthen findet Simpson d= 0,000253 

h = 0,001643, 1 — h + ^ == 0,998610, für -j^^ = ^Wir setzt er ^V; seine 

zu Grunde gelegte Horizontalrefraction ist 33' = R. Für z = 90 nimmt (9) 
daher die Form an 



R 

woraus 



= Vii I 90« — arc sin (1 — h + tf) | 



arc sin (1 — h + (J) = 90 — 1V2 R. 

1 — h -f (J == sin (90 — "/» R) (10) 

Dies endlich noch in (9) substituirt giebt wenn man V a=sm setzt unsre 
unsprüngliche Formel (A) : 

r = — (z — arc sin \ sin z sin (90 — - m R)| 

Simpson fügt noch hinzu, dass die Annahme einer geometrischen Progression 
für die Abnahme der Dichtigkeit der Luft mit den gefundenen Constanten 



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BrndLefs Arbeiten. 55 

eine Horizontalrefraction von 52' gebe, von 7^ Höhe sei die Abweichung nur 
2" mehr. Bei Cassini haben wir schon erwähnt, dass die Refraction in grössern 
Höhen als 15^ unabhängig von dem Gesetz der Dichtigkeit ist und bis 
7^ Höhe herab ist, wiß wir später sehen werden, der Einfluss gering, so dass 
Simpson darin Recht hat. 

Unter (B) ist bereits die Bradley'sche Formel aufgeführt, Bradley änderte 
nur die Constanten, er ßetzte m == 6 und fiir die Constante in (B) nahm er 
57", so dass seine Formel 

(C) . .. r-=57"tg(z — 3r) 
ist. Seine Horizontalrefraction ist 33' 0", und die strenge Rechnung giebt die 
Constanste = 56", 956. 

Zur bequemern Berechnung einer Tafel nach dieser Formel mag hier 
noch eine kleine Transformation ') derselben Platz finden: * 

Construirt man sich ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck (s. Fig. 17) 
mit den Seiten z, z — mr, und dem Winkel 90 — mR, welcher z — mr 
gegenüber liegt, so hat man die pag. 51 unter (a) aufgeführte Formel 

sin (z — m r) = sin z sin (90 — m R), 
welches unsre Refractionsformel ist. Nennen wir nun die 3. Seite des späri- 
schen Dreiecks y, so haben wir den Formeln der sphärischen Trigonometrie 
gemäss: 

tg y == tg z sin mß 
cos z = cos y cos (z — m r) 
Ausserdem ist cos (z — m r) = cos (z — m r) 

, , cos (z — m r) — cos z , . . . , ^ cos (z — m r) (1 — cos y) 

daher ) i—- = tg (z — ^ mr) tg ^ mr = ; y^^ ^ = 

cos (z — mr) + cos z ° ^ -* / o -d ^^g ^2 — mr) (1 4- cos y) 

2 cos (z — m r) sin^ j y ^ ^ « 1 
2 cos (z — m r) cos^ J y o tJ 

und multipliciren wir diese Gleichung tg (z — i m r) tg J- m r = tg^ ^ y mit 
der Gleichung (b) pag. 51 cotg (z — |mr) tg 4- mr = f^^, so erhalten wir: 

tgHmr == tgHy f^. 

XT • j. 1 — c 1 — sin (90 — mR) 1 — cos mR , „ , t^ 

Nun ist: -— ^ — = tj-- — r— ^77 ~ = y— — ^ = tgHmR 

1 + c 1 4- sm c90 — - mR) 1 + cos mR ° ^ 

daher 

tg i ra r = tg J m R tg I y 

wofür wir setzen können 

2 

= Const. tg ^ y 
wo durch tg y = tg z sin m R y gegeben ist 

und diese Form ist für die logarithmische Rechnung eine sehr bequeme und 
brauchbare. 



*) Delambre giebt diese Entwicklung, aber bedeutend weitläufiger. 

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56 



Bradley's Tafeln. 



§ 14. 

Bradley's Tafeln, seine Correctionen wegen des Baron^eters 
und Thermometers, Tobias Mayer's Formel. 

Lange Zeit haben die Bradley'schen Tafeln den Astronomen als Norm 
gegolten und nach den Cassini'schen waren sie lange Zeit im Gebrauch, ich 
gebe sie daher hier im Auszuge, man findet sie vollständig im ersten Bande 
der ,,Astronomical Observations made at the Royal Observatory at Greenwich 
by the Rev. James Bradley Oxford 1798" pag. XXXV, 

Befractionstafel von Bradley. 



Scheinb. 
Höhe. 


Refraction. 


Scheinb. 
Höbe. 


Refraction. 


Scheinb. 
Höhe. 


Refraction. 


Scheinb. 
Höhe. 


Refraction. 


0> 


0' 


0''.0 


35 


0' 


39".6 


70° 0' 


2' 35''.5 


830 


? 


21M 


1 





1.0 


36 





41.1 


70 30 


2 39.8 


83 20 


7 


41.1 


2 





2.0 


37 





42.6 


71 


2 44.3 


83 40 


8 


2.9 


a 





3.0 


38 





44.2 


71 30 


2 49.0 


84 


8 


26:6 


4 





4.0 


39 





45.9 


72 


2 53.9 


84 20 


8 


52.7 


5 


U 


5.0 


40 





47.6 


72 30 


2 59.2 


84 40 


9 


2Vd 


6 





6.0 


41 





494 


73 


3 4.7 


85 


9 


53.0 


7 





7.0 


42 





51.2 


73 30 


3 10.6 


85 20 


10 


27.9 


8 





80 


43 





53.1 


74 


3 16.9 


85 40 


11 


6.8 


9 





9.0 


44 





55.0 


74 30 


3 23.4 


86 


11 


50.2 


10 





10.0 


45 





57.0 


75 


3 30.3 


86 10 


12 


13.7^ 


11 





11.0 


46 





59.0 


75 20 


3 35.2 


20 


12 


38.7 


12 





12.0 


47 




1.1 


75 40 


3 40.3 


30 


13 


5.2 


13 





13.0 


48 




3.3 


76 


3 45.6 


40 


13 


33.4 


14 





14.0 


49 




5.5 


76 20 


3 51.2 


50 


14 


3.2 


15 





15.1 


50 




7.9 


76 40 


3 57.0 


87 


14 


35.1 


16 





16.2 


51 




10.4 


77 


4 31 


10 


15 


8.9 


17 





17.3 


5-2 




13.0 


77 20 


4 9.5 


20 


15 


44.7 


18 





18.4 


r3 




15.7 


77 40 


4 16.3 


30 


16 


232 


19 . 





19.5 


54 




18.5 


78 


4 23.4 


40 


17 


4.4 


20 





20.6 


55 




214 


78 20 


4 30.8 


87 50 


17 


48.1 


21 





21.7 


56 




244 


78 40 


4 38.8 


88 


18 


34,8 


22 





22.9 


57 




27.6 


79 


4 47.1 


10 


19 


24.6 


23 





24.1 


58 




31.0 


79 20 


4 55.9 


20 


20 


17.8 


24 





25.3 


59 




34.6 


79 40 


5 5.2 


30 


21 


14.6 


25 


■ 


26.5 


60 




38.4 


80 


5 15.1 


88 40 


22 


15.3 


26 





27.8 


61 




42.5 


80 20 


5 25.6 


50 


23 


19.8 


27 





29.1 


62 




46.9 


80 40 


5 36.7 


89 


24 


28.7 


28 





30.4 


63 




51.4 


81 


5 48.7 


10 


25 


42.1 


29 





31.7 


64 




56.4 


81 20 


6 1.4 


20 


27 


0.1 


30 


u 


33.0 


65 


2 


1.7 


81 40 


6 15.1 


89 30 


28 


22.9 


31 





34.2 


66 


2 


7.5 


82 


6 29.8 


40 


29 


50.5 


32 





35.5 


67 


2 


13.6 


82 20 


6 45.6 


50 


31 


22.8 


33 





36.8 


68 


2 


20.3 


82 40 


7 2.7 


90 


33 


0.0 


34 





38.2 


69 


2 


27.5 


83 


7 21.1 









Zur Verbesserung der Refraction durch die Barometerhöhe bedienten 
sich Bradley und seine Nachfolger der Halley'schen Regel; für das Thermo- 
meter hatte er gefunden, dass ein Grad des Fahrenh einsehen Thermometers 



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Bradley's Tafeln. 



57 



di^ Refraction um x-hr veränderte. Seine Tafeln galten für 29,6 Engl. Zoll 
Barometerhöhe und 50® Grad Fahrenheit des Thermometers imd für die Baro- 
meter- und Thermometerstände giebt er 2 kleine Tafeln von folgender Form' 

Tafel für das Barometer. 



Engl. Zoll. 


Factor. 


Engl. Zoll. 


Factor. 


Engl. Zoll. 


Factor. 


28".0 


-0.054 


^9".0 


— 0.020 


SO^'.O 


+ 0.014 


28.1 


— 0.051 


29.1 


- 0.017 


30.1 


+ 0,017 


28.2 


— 0.048 


• 29.2 


- 0.014 


30.2 


+ 0.020 


28.3 


— 0.044 


29.3 


- 0.010 


30.3 


+ 0.024 


28.4 


— 0.041 


29.4 


— 0.007 


30.4 


+ 0.027 


28.5 


- 0.038 


29.5 


- 0.003 


30.5 


+ 0.031 


28.6 


— 0.034 


29.6 


0.000 


30.6 


-*- 0.034 


28.7 


— 0.030 


29.7 


+ 0.003 


30.7 


+ 0.038 


28.8 


- 0.027 


29.8 


+ 0.007 


30.8 


+ 0.041 


28.9 


- 024 


29.9 


+ 0.010 


30.9 


-*■ 0.044 


29.0 


— 0.020 


30.0 


+ 0.014 


31.0 


+ 0.048 







Tafel für das Thermometer. 








Fahr. Grad. 


Factor. 


Fahr. Gr. 


Factor. 


Fahr. Gr. 


Factor. 


Fahr. Gr. 


Factor. 


— 8« 


+ 0.145 


+ 22'> 


+ 0.070 


+ 540 


- 0.010 


-*- 


84« 


— 0.085 


- 6 


+ 0.140 


+ 24 


+ 0.065 


+ 56 


— 0.015 


-*- 


86 


-0.090 


— 4 


+ 0.135 


-♦- 26 


+ 0.060 


+ 58 


— 0.020 


-♦■ 


88 


— 0.095 


— 2 


+ 0.130 


H- 28 


+ 0.055 


+ 60 


— 0.025 


+ 


90 


- 0.100 





+ 0.125 


H- 30 


+ 0.050 


+'62 


— 0.030 


-♦■ 


92 


— 0.105 


+ 2 


+ 0.120 


+ 32 


-H 0.045 


+ 64 


— 0.035 


-*- 


94 


— 0.110 


+ 4 


+ 0.115 


+ 34 


-f 0.040 


+ 66 


-0.040 


-♦■ 


96 


- 0.115 


-f 6 


+ 0.110 


+ 36 


+ 0.035 


-H 68 


— 0.045 


-♦■ 


98 


-0.120 


4- 8 


+ 0.105 


-*■ 38 


+ 0.030 


+ 70 


- 0.050 


-♦■ 


ICO 


- 0.125 


-♦■ 10 


+ 0.100 


+ 40 


+ 0.025 


H- 72 


-0.055 








-♦- 12 


+ 0.095 


-i- 42 


+ 0.020 


-*- 74 


- 0.060 








+ 14 


-t- 0.090 


-h 44 


+ O.015 


H- 76 


— 0.065 








H- 16 


+ 0.085 


-f 46 


-H 0.010 


-f 78 


— 0.070 








-H 18 


+ 0.080 


-*- 48 


■♦■ 0.005 


+ 80 


— 0.075 








-f 20 


H- 0.075 


+ 50 


0.000 


+ 82 


- 0.080 








-»- 22 


+ 0.070 


+ 52 


- 0.005 


H- 84 


-0.085 









Die Anwendung ist leicht, man multiplicirt die aus der Refractionstafel 
genommene Refraction mit dem Decimalbruch der zu der beobachteten Baro- 
meter- oder Thermometerhöhe gehört und addirt diese Correctionen, wobei 
aber auf das richtige Zeichen zu achten ist. 

La Bonne, ein französischer Astronom, durch den Lalande nach Bradley's 
Formel nur mit verändertem^ Constanten die Refraction berechnen liess, nimmt 
für die Thermometercorrection pro Grad Reaumur ^-fr ^o, welches mit Brad- 
ley fast übereinstimmt. 

Tobias Mayer nahm dagegen^ ^iir ^^j de Luc fand ^^, Lambert, Amontcjn, 
Schickburg, Saussure etc. fanden ähnliche, doch nie ganz übereinstimmende 
Factoren, Der Wahrheit am nächsten ist Tobias Mayer, welches folgende 
Zusammenstellung mit den neuesten Resultaten zeigt: 



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58 Mayer*8 Arbeiten. 

Es nahmen an für P R., reducirt «uf 28 Zoll Par. Barometerstand und 
lO^Reaomur: 

Bradley 0,0055 

La Bonne 0,0055 

Tob. Mayer 0,0046 
De Luc 0,0050 

Bessel 0,0043 

Arago und Biot 0,0044 
Der ausgezeichnete Göttinger Astronom giebt in seinen 1T70 erschie- 
nenen Mondtafeln für die Refraction eine Formel, ohne den Beweis *) hinzu- 
zufügen. Es lässt sich aber zeigen, dass die Formel nur ein CoroUarium der 
Simpson'schen ist. Sie hat die Form: 

70^71. b Bin z Fl A (16.5 cos z)^ 16.5 co8z 1 

(l + 0.C046t)* Lr 1 + 0.0046 t (i 4. 0.0046 tjU 

wo b die Barometerhöhe in Par. Zoll, z die Zenithdistanz und t die Anzahl 
der Reaumur'schen Grade des Thermometers bedeutet. 

Setzen wir t = und b = 28 Pariser Zoll, so haben wir: 

r = 33^ 0" sin z X I j/1 -t- (16.5 cosz)» -: 16.5 cos z } II. 

für z = 90® ist r = 33' 0". Mayer hat also die Horizontalrefraction von 
Bradley, aber nicht gültig wie dieser für 29.6 engl. Zoll == 27.775 Par. Zoll, 
und für 50» Fahrenheit = S« R., sondern für 28 Par. Zoll und 0® R. Mayer's 
Horizontalrefraction reducirt nach seiner Formel auf 8^ R. und 27.775 Par. 
Zoll ist = 31' 0", also bedeutend kleiner. 

Leiten wir seine Formel aus der Simpson'schen Regel ab. Die Simpson'- 
sche Regel hat die Form : 

sin (z — mr) ==-• sin z cos m R, 
oder sin z cos mr — cos z sin mr = sin z cos mR und durch sin z getheilt 

cos mr — cotg z sin mr= cos mR, 
welches quadrirt und für cos ^mr, I — sin ^mr gesetzt, wird: 

1 — sin ^mr = 1 — sin ^mR + 2 cos mR sin mr cotg z -f sin *mr cotg *z, 
oder sin *mr { cotg ^z + 1 1 + 2 sin mr cos mR cotg z = sin *mR 

dies, da cotg ^z -|- 1 = . ^ ist, mit sin ^z multiplicirt, giebt : 
sin 2m r + 2 sin mr cos mR cos z sin z = sin ^m R sin *z. 
sin mr = mr, sin ^mR = m^R^ gesetzt, giebt: 

m^r^ + 2mr cos mR cos z sin z = m^R^ sin *z, woraus 

{V^ + {^-R^r """ 7 - -RnT 
folgt m ist die Constante, die Simpson = V; Bradley = V annahm; wählen 
wir für m den Werth 6.302 und setzen R = 33' 0" geht (1) über in 

r = 33' 0" sin z {|/1 -f (16.5 cos z)^ — 16.5 cosz} in die obige Formel II. 

— • 

*) Einen Beweis aus der Simpson'schen Regel giebt 1781 in einer Abhandlung der 
Sohn von Tob. Mayer. Er giebt auch nach den Untersuchungen von de Luc, Euler, 
Lambert, Lagrange, eine u^ue Constautenbestimmung. 



_ . fl/^ . /cos mR Y cos mR ] ... 

: R sin z < 1/ 1 + I —.=5 cos z I — -^fj- — cos z\ (1) 



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Mayer's Arbeiten. 59 

Für die Aenderung der ßefraction durch das Barometer adoptirte Mayer 
die Halley'sche Regel, er theilte den Factor 33' 0" durch 28 uqd hat so die 
Hori^ontalrefraction für 1 Zoll Barometerhöhe gleich 70".71. Ist b die jedes- 
malige Höhe des Barometers, so entspricht diesem: 70".71.b. 

Für die Temperatur hatte Mayer- gefunden, dass für 1® B. sich die Luft 
um 0.0046 mehr ausdehne, für t-Grade also 0.0046 1 mehr. Ist h die Höhe der 
Atmiosphäre bei 0^, so wird sie daher bei t-6rade h(l + 0.0046 t) sein. 

Für diese Correction brauchen wir die Mayer'sche Formel nur genähert, 
können cos mR = 1 setzen und haben 



T> b . I I / 1 . cos "Z C08 Z I .ox 

, r = R g^ sm z -{ 1/ 1 + «.-^,0 r-TT-r (^> 



f 1 /^ . cos 2z cos zl 

wo B = 28 Pariser Zoll bedeutet. 

Nach Gleichung (9) des § 13. haben wir: 

r = r s I z — arc sin [sin z. (1 — h + J)] > 

für z = 90^ wird 

R == r^— ^ |90o — arc sin (1 — h + ^)i oder 

1 _- h + ^ = sin /"gO - i^-=^ R'j 

= cos — r — R 

Quadrirt man und zieht beide Quadrate von 1 ab, so hat man 
2h — 2rf — h2 ~ <J2 = 1" sin ^^ R V 
oder genähert, wie wir es nur gebrauchen 

R==h^/2hir2y=^^J^ (3) 

Nach Simpson ist: . 

m = — s — also 

o 

mB«(/2(h — (T) 

und m3R2=4 2(h — d) (4) 

Diese Werthe aus (3) und (4) in 2 substituirt, giebt: 

(fl/T b . fl A ■ cos 2z cosz 1 

Setzt man statt h jetzt h (1 + 0,0046 t) und bedenkt man, dass durch eine 
andere Temperatur der Normalstand des Barometers B in B (1 +0,0046 1) 
tibergehen muss, so hat man 



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r = . 



60 Mayer's Arbdten. 

J |/2". b sin z ll/l -i. ^^^ '' 

""^ [h(l+0,0046t)-ir]*B.(l,0046t) ^^ 2 [ h(l + 0,0(M6t)~ir] 

cos z 1 

/2[h(H-0..0046t) — (T] J 

und wenn man, da d nur etwa ih ist, den Factor 1 + 0,0046 t auch auf d mit 
bezieht, so hat man 

j/2"b.8inz 1 1 /.. cos 'z ~ cos z 1 

'""(h-d)*B.(l + 0,0046t)* l*^ 2 (h-fr)(H. 0,0046 t) ^2(h-cr)(l + 0,0046 1) M 

Für — '^ — j und /2(h— J) die numerischen Werthe der Grössen aus (3) 

und (4) eingesetzt, 

für B = 28 Zoll 

giebt endlich die Mayer'sche Formel (I) : 

JO^Tlb^z fl/ (16,5 cos z)» 16,5 cos z \ 

(1 +0,0046 t)i y^ ^ + 1,0046t ^^ _^ 1,0046 1)*^ 

Die Vernachlässigungen, die wir uns erlaubt haben, sind bedeutend gross 
und so gross, das» die Correction wegen des Thermometers nach dieser For- 
mel bei beträchtlicher Diflferenz von der mittlem Temperatur von andern Cor- 
rectionstafeln Unterschiede giebt. Sehr bequem ist sie ausserdem auch nicht 
und zu verwundern nicht, dass sie von andern Astfonomen fast niemals an- 
gewandt wurde, die Bradley'sche war sehr viel bequemer. 

Die Ableitung, die wir hier aus der Simpson'schen Regel gemacht haben, 
lässt sich auch machen aus den jetzt kommenden Ausdrücken von Euler, 
und Lagrange; doch noch eine Ableitung zu geben, scheint mir überflüssig. 

§ 15. 
Die Arbeiten von Euler und Lambert. 

Die Refraction beschäftigte im vorigen Jahrhundert nicht nur die Astro- 
nomen; die ausgezeichnesten Mathematiker haben sich fast alle daran gewagt 
und alle möglichen Hülfsmittel der Analyse wurden angewandt, um das Pro- 
blem zu lösen. Der grosse Mathematiker, den man die verkörperte Analyse 
nennt, der berühmte Leonhard Euler, versucht in den Berliner Memoiren vom 
Jahre 1754 das Problem zu lösen, er ist so glücklich, die wirkliche Diffe- 
rentialgleichung der Curve des Lichtes zu finden und stellt sie zuerst in ana- 
lytischer Form dar. Seine Voraussetzungen über die Abnahme der Dichtigkeit 
sind aber irrig und das Endresultat entspricht nicht den wahren Werthen. 
Er setzt das constante Verhältniss zwischen dem Sinus des Einfalls und des 
Brechungswinkels eines Strahles der vom leeren Raum in die Luft von der 



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Euler's Arbeiten. 61 

Dichtigkeit c wie 1 : a *) ; das fUr eine Luftschicht von der Dichtigkeit n o wird 
alsdann sein 

1;«" 
das für eine Luftschicht von der Dichtigkeit q, da man n = -|- setzen kann : 

und das fiir eine Luftschicht von der Dichtigkeit r, 

1:«"^. 

Geht der Strahl von der Luftschicht q zu r, so findet danach zwischen 
dem Einfallswinkel und Brechungswinkel die Proportion 

««:«^ (1) 

statt. % 

Es sei wieder E AN (s. Fig. 18) ein Theil der Oberfläche der Erde, der 
Radius AO = a, die scheinbare Zenithdistanz W. GAL = W. F AO = z, 
W. OBJ = i, W. ODK==i~di, W. AOB = v, W. AOD = v — dv 

Die Dichtigkeit der Luftschicht in D sei = q, in B.= q + dq, so ist 

nach (1) 

q + dq _q_ 

8inODJ:8inODK = a ® :a® 
oder 

q + dq q q . q 

— — ~sinODJ_ '^ sin (i + dv) ";^ sin i + d v cos i + . . 

sin ODK sin (i — di) sin i — di cos i -f- . . 

Nach dem Taylor'schen Lehrsatz ist: 

„^r^ = «*' +«'^Ig«-^ + 

und dadurch wird : 

,T + „fig3 + ...^, f«i°i + co..idv.f... 
'^ c sm 1 — cos 1 d 1 -f . . . 

oder 

, . , da sin i 4- cos i dv + . . ^ . , ., . . .,. 

1 + lg a -^ = - — ; . ,. ; — = 1 + cotg 1 d V + cotg i d i + . . 

° c sin 1 — cos 1 dl +.. ^ © ^6 -r 

woraus 

lg«^ = cotgi(dv + di). (2) 



Ferner ist B C = d^, D C = ^d v, daher 

. . pdv , dv dp 
tg 1 = sL— und -— : == -S: 
dg tgi g ' 

dies in (2) substituirt giebt: 



'-^'«-t^-^^ ''^ 



QQ.iA 

>) « nimmt er für unsere Luft an der Oberfläche der Erde = S^ an. 

oo2b 



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62 Euler'a Arbeiten. 

Integrirt man diese Qleichung^ so erhält man: 

■S. lg a :^ lg sin i + lg (> + C 

_q_ 
oder o ® = C p sin i 

Um C zu bestimmen, hat man, wenn man fnr ^ = a, i= z, q = k 

setzt a ^ «a C a sin z 

k^ 

also ^==TSET . und daher 

k 

± T 

~ a . . 

g sm 1 



a sin z 
oder 

a sin z a *^ = a ® ^ sin i 
oder 

(4) a sin z = a ^ q sin i 

Wir hatten eben: 



^^ ' d^ ' ^^ ' d (>^ ' ^ + ^^ 'cos» i dv« 



cos 1 f \ 



— di^^ — ) ^^^ 

(> d V 



sin i = tg i = — / , ^ und dies in (4) eingesetzt 



giebt: 
oder 

oder 



k — q D d V 
a sin z = a ~~^ ^ 



|/(d(»2^^»dv« 

^^ ^ l/l 1 + ?^ ^1 -* ^2 d V und qnadrirt 
asinza^d^fV '^d^V 

2q — 2k 2q — 2k 

^4 d v2 = a2sin 2z a *" dv* + a»sin«za *^ (»«dv» 

2q — 2k \ 2q — 2k 



! 2 q — 2 k \ 2q — 

^4 __ ^2 a2 « ^~^ sin 2z J = a* sin »z a ^ d (>«, 

daraus die Quadratwurzel gezogen und geordnet, entsteht: 

q-k 

a sin z a ^ d ^ 



(5) dy = 



1/ ?: 

r p2 __ a2 a 



2q — 2k 

? F^ ^2 __ a2 a ^ sin 2z 



Kennt man q als Function von Qj so lässt sich diese Gleichung integriren 
und man würde die Gleichung der Curve erhalten, die das Licht beschreibt. 
Diese Curve gebrauchen wir aber nicht, wir wollen den Betrag der Refraction 
kennen, d. h. r bestimmen, und dazu müssen wir d r kennen. 



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Euler*g Arbeiten. Vk 

Suchen wir dr zu erhalten; wir haben zu diesem Zwecke: 
die Refraction r :^ W. B H — W. L AH + i 

= i + V — z 

und * dr = di + dv ..... (6) 

d V kennen wir aus (5) und aus (2) h^-be» wir 

_ , .1 da , 

d 1 ^= tgilg a — i — . d V 

und da wir auch eben gehabt haben, dass 

so folgt 

also 



. . fl d V . , 

di == -r- Iff a . — ^dv — dv 
d^ ^ (5 



dr =« -^ lg a . — 3 dv 
d(J ^ c 

und für d v den Werth aus (5) gesetzt giebt 

dr= ' (7) 

1 / 2q-2k 

y Q^ — Si^a o sin^z 

In diese Differentialgleichung bringt Euler noch den Barometerstand und 
die Wärmecorrection hinein, für das Gesetz der Dichtigkeit der Luft führt 
er das Glied einer harmonischen' Reihe von der Form 



ein, und kömmt zuerst zu dem Resultat, dass bis zu 70 Grad Zenithdistanz die 
Refraction ohne merklichen Fehler der Tangente der Zenithdistanz proportio- 
nal gesetzt werden kann* Für grössere Zenithdistanzen erlaubt er sich um 
seinen Ausdruck integrabel zu machen Näherungen zu setzen, die nicht 'mehr 
erlaubt sind, er erhält einen weitläufigen Ausdruck, der aber nicht streng 
genug ist, und für z = 45® die Refraction um eine volle Minute falsch giebt. 
Nach seinen Formeln hat niemals jemand Tafeln gerechnet und eine practische 
Anwendung ist nicht gemacht, sie würde auch unsichrere Werthe geben, als 
die viel einfachere Bradley'sche Formel. 

Einen ganz andern Weg schlägt der originelle Lambert in seiner 1759 zu 
La Haye herausgegiebenen Schrift: „Les propri^tes remarquables de la route 
de la lumi^re," ein. Er verlässt den bisher eingeschlagenen Weg, er will von 
einer physischen Hypothese über die Dichtigkeit der Luft nichts wissen und 
nur von den 2 Sätzen: 1) dass das Verhältniss zwischen den Sinusen der Ein- 
falls- und Brechungswinkel constant und 2) dass, wenn das Licht nach und 
nach mehrere Medien, deren Oberflächen eben und parallel sind, durchläuft, 
das Verhältniss zwischen dem Sinus des Einfallswinkels auf die erste Fläche 
und dem Sinus des Brechungswinkels aus der letzten Fläche ganz dasselbe ist, 
als wenn der Strahl unmittelbar vom ersten zum letzten Medium überginge, 
ausgehend leitet er geometrisch d. h. durch Construction die Differential- 



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64 Lamberts Arbeiten. 

gleichung der Refraction ab^ er entwickelt den Ausdruck in eine Reihe, inte- 
grirt annähernd und schlägt vor, die Coefficienten der einzelnen Glieder, die 
nach Potenzen von tang z entwickelt sind, durch beobachtete Refraction zu 
bestimmen. Sein Gang ist folgender: 

Es sei wieder wie früher (s. Fig. 19) 0A = 1, 0D=^, W.HAL = z, 
W.HOD==v, W.DOB = dv,W.ILA = r, W.IDT = dr,W.TDO = i, 
AD8ei = x, DB = dx, OT = t, It = dt, dann ist 

0F = 8mz 

A F = cos z 

T O = t = V sin i 

TD = pco8i = |/(»2 — t2 

dt 
und (a) dr = -jr===rr 

_ dt ^ dttgi 

Q COS i t 

also die Differentialgleichung der Refraction unter einer höchst einfachen Form. 
Unter der Voraussetzung des Brechungsverhältnisses zwischen dem leeren 
Raum und der Luft zu Uff beweist Lambert, dass der Betrag der Refraction 
nicht mehr als inAnr verschieden ist von dem Quotienten: 

FAD — DT 
ÖF 
Es ist nämlich nach (a) 

dt 



dr = 



oder 

tdt 



tdr = 



Zieht man von beiden Seiten / ^ ^^ ab, so kömmt: 

j/^«— t» 

^^^ '^'-^ yr^w - yT=w 

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke DBG und DTO folgt: 

BC:DB = DT:DO 
oder ' d^: dx= j/^« — t* . q 

woraus dx = > ^ = =- und dies m (b) eingesetzt, giebt: 

tdt — odp 
tdr = dx+ y ^ ^ 

und integrirt erhält man: 

y t d r = X — /^^ — 12 + Const. 
Um die Constante zu bestimmen ist 
für X == o das Integraiy* t dr auch = o, (> = 1, t = OF, 

daher o == o — j/ 1 — t» + Const. 

also Const = ^ 1 — t» = AF 



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Lsmiberf 8 Arbeiten. 65 

. Es wird also 

/tdr^x — (/(»« — t* -f- yT^l^ (c) 

«=AD — DT + AF 

= FAD~DT 

Nach dem Brechungsverhältniss ändert sich t aber nur um ^tjVö 5 »©tzt 

man daher für t den mittlem Werth, so ist dieser 

t = a + BiiW)OF 

und man hat statt Gleichung (c) alsdann ^ 

/0P(1 + ^W <!'•-= FAD -DT 

r^, FAD — DT ,, , , 

oder y^ dr= ^^ . (1 _ ^^) 

FAD -DT ^, . ^ ^. 

T = — (1 — ^^) (d) 

Um den Betrag der Refraction selbst zu finden^ entwickelt Lambert die 
Differentialgleichung (a) nach dem binomischen Lehrsatz in eine Reihe und 
zwar ist nach (a) 

dr = dt(^« — t«)~* 

,^ /l , l.t» 1.3. t* 1.3.5. t« \ 

-^'\j+'2;^ + T7r:^ + 27r:r:^ + r')' • • • (^> 

wo t= ^ sin i gesetzt ist. 

Da aber der Sinus des Einfallswinkels i zum Sinus des Brechungswinkels 
z in einem constanten V«rhältniss ateht; so kann man auch setzen 

t »: P sin z 
WO P eine von der Höhe und Dichtigkeit der Atmosphäre abhängende Func- 
tion ist. Alsdann ist 

dt SS sin z dP 
und es wird 

{1 l.P* 1.3. P* 1 

— sin z + -s — r- ^^^^ ^ = ä— 3 r sm' z + . . . > 
^ ^2^* 2.4.^* ' j 

und wenn man integrirt 

/"dP . Isinsz /l>«dP . 1,3 .- /"P* dP , 

113 
«ABinz + yBsin8z+ g-~. Csin5Ä+ . (f) 

/SP T, rP^dP ^ /"P*dP ^ 
wenn man A ^J — , B «y -^, C =y — -^. etc. 

setzt. 

Da aber im Allgemeinen P und ^ wenig von einander verschieden sind, 
so wird annähernd A == B = C etc. sein und die Reihe für r wird, wenn z 
einer grossen Zenithdistanz angehört, nur etwas mehr convergiren, wie die 
Reihe 

Führt man aber für die Sinuse der Zenithdistanzen die Tangenten ein, so 
wird die Convergenz bedeutend grösser. Es ist nämlich 

Brühvs, Refraction. 5 



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66 lAinbert's Arbeiten. 

A sin z = A tg z — _ A tg^ z + ~j A tg* z — . . . 

+ -i-B8in3z== - +^Btg»z-|^Btg*z + .. 

10 1 ^ 

+ 274 ^ »in'' z =-= + 2~ C tg z^ + . . etc. 

mithin: r = Atgz~(lA- Aß) tg»z + li|(A-2B + C) tg^z . . . . (g) 

Für nicht zu grosse z wird schon das erste Glied ausreiehen. 

Da sowohl die Höhe der Atmosphäre, als auch das Gesetz der Dichtig- 
keit unbekannt ist, schlägt Lambert vor, die Coefficienten durch die beobach- 
teten Refractionen zu bestimmen. So ist z. B. A = der Refraction von 45^ 
Zenithdistanz, weil tgz === 1 ist, der 2. Coefficient (^^ A — ^B) lässt sich dann 
aus der Refraction für 45^ und 60^ Zenithdistanz bestimmen, der 3. Coefficient 
endlich aus den Refractionen von 45^, 60<^, 80 Zenithdistanz« 

Aus 3 Refractionen von Bemoulli für 45^, 60<>, 80^, findet Lambert als 

Beispiel: 

r = 63" tgz — 0",408 tg H + 0",01I tg H 

und für z = 70^ ist das hiernach berechnete r nur \** verschieden von dein 
was Bemoulli findet. 

Eine andre hübsche Betrachtung stellt Lambert noch über den Durch* 
schnittspunet L der Tangenten DL und AL an, dieser Punct liegt nicht für 
alle Refractionen gleich entfernt vom Mittelpunct der Erde» Nach Cassini'» 
Hypothese nur allein, wonach die Lichtcurve eine gerade Linie ist, liegt L 
immer in der Grenze der Erdatmosphäre, also von O gleich weit entfernt. 
Weil aber für kleinere Zenithdistanzen die Cassini'schen Refractionen nicht 
sehr von der Wahrheit abweichen, so folgt daraus, dass die Curve, welche 
durch die für verschiedene Refractionen gültigen Puncto L gelegt werden 
kann, nicht sehr vom Kreisbogen abweichen müsse. Diese Eigenschaft des 
Punctes L giebt ein Mittel zur Hand, die Genauigkeit der beobachteten Re- 
fractionen zu prüfen. Denn man kann L construiren, indem man zuerst 
W. OAF = z, W. FOT = r und OT = OF X Oonstante (Brechungsver- 
hältniss) macht. Die Linie FA verlängert und die Senkrechte auf CT in T 
haben den DurchschnittspunctL. Weil nun TL = T ü cotgr ist, so ändert ein 
kleiner Fehler in r den Punct L sehr beträchtlich und eine falsche Refraction 
zwischen mehreren giebt sich in der Construction leicht zu erkennen, indem 
dadurch in der Curve eine Discontinuität entsteht. 

Die Refraction r ist klein bei geringen Zenithdistanzen, die cotg r aber 
um desto grösser und die dem Kreisbogen nahe kommende Curve bestimmt 
sich durch die kleinen Refractionen sehr scharf. Eine kleine Unrichtigkeit 
der Curve macht aber, da r, dem Horizonte nahe, bedeutend grösser wird, 
wenig auf r aus, wenn man aus der angenommenen Curve diese Refractionen 
finden will, und die Curve ist daher ein Mittel die Refractionen unter 10 und 
15 Grad Höhe recht genau zu bestimmen. 

Zuletzt setzt Lambert noch die vom Lichte beschriebene Curve ats kreis- 



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Lagnmge's Arbeiten. Ol 

förmig voraus tind wendet dies auf die terreatrisohe Refraction an; bei Be- 
handlung dieser werde ich Gelegenheit haben darauf zurück zu kommen. 

So behandelt Lambert das Problem der Refraction, er ist der erste, der 
aus geometrischen Betrachtungen interessante Schlüsse zieht und elegante Sätze 
findet: — seine Entwicklung der einfachen Differentialgleichung in eine Reihe 
nach Potenzen der Sinuse und Tangenten derZenithdistanzen ist ein entschie- 
dener Fortschritt. Er liebte überhaupt die graphischen Darstellungen, im 
Berliner astronomischen Jahrbuche für 1779 stellt er auch die Mayer sehe 
Refractionsförmel graphisch dar. 



§16. 
Die Arbeiten von Lagrange und Oriani. 

Auch Lägrange versucht es die Refraction zu besimmen und giebt über 
seine Arbeiten in den Berliner Memoiren vom Jahre 1772 einen Aufsatz. 

Er definirt zuerst die Refractioji und glaubt, dass sie den Alten nicht 
bekannt gewesen sei ] er bespricht das Mariotte'sche Gesetz und giebt dafür 
die analytische Form a% er erwähnt, dass Hawksbee im Jahre 1702 gefunden 
dass das Brechungs vermögen der Luft der Dichtigkeit proportional sei und 
nimmt das Resultat von de^ Luc, dass die Dichtigkeit der Luft sich bei 28 Zoll 
Barometerhöhe und 16^^ R. Wärme für P R. um yIt ändere, als richtig an. 

Weil das Gesetz der Wärmeabnahme nicht bekannt sei, müsse man zu 
Hypothesen seine Zuflucht nehmen, und er glaubt die Annahme, dass die 
Wärme der Höhe proportional abnehme, wie Einige behaupten, sei nicht 
richtig. 

Die Differentialgleichung der Refraction leitet er ab und findet sie mit 
Euler identisch; setzen wir in (7) des § 15 

_q-k 

SO dass 

ist, so geht die Euler'sche Gleichung in die Lagrange'sche Form 

, ä sin z . du 

dr= ■_ (1) . 

über. 

Setzt man i = 1, so ist ^ = 1 + Höhe der Atmosphäre. Die grösste 
Höhe der Atmosphäre ist aus dem Dämmerungsbogen von 18® 

Secante 9» — 1 = 0,0124625 < ^ 

daher 

1 



^<^+80 



5* 

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68 I^agrai^'s Arbeiten. 

und setzt man ^ ^s» 1 -|. m und betrachtet m als constant^ so wird (1) 

sin z du 



dr. 



(l + m)l/i + ^'»'"'' 

T ' ^^ (1 -h m)« 

ein Ausdruck, der sich integriren lässt und 

. /^ X . /u sin z\ 

r + Const = arc sin 1 :j— — | giebt. 

Zur Bestimmung der Constante ist fiir r = 0, u =s 1 , weil in u = a * 
für r = 0, a = 1 ist, daher 

Const. = arc sin | -r-, — | 

mithin 

,n, . /u sin z\ . / sin z \ 

(2) r ^^ arc sm 1 r—j 1 — arc sin I -^—^ — I 

welches der Cassini'sche Ausdruck ist. 

Die Grösse m lässt sich bestimmen aus der Horizontalrefraction. Indem 

Lagrange u = 1,0003302 ^), nach den Experimenten von Hawksbee und de Luc, 

gültig für 28 Zoll Barometerhöhe und 10<^ R. Temperatur annimmt, hat er für 

z = 90^ die Horizontalrefraction 

„ . /1,0003302\ . / 1 \ 
R == arc sm | -Vn I — - arc sin I r~, 1 

und damit ist m gegeben. 

Da u so wenig von der Einheit verschieden ist, so lässt sich der Ausdruck 
(2) nach dem Taylor sehen Lehrsatz entwickeln. Es ist 

(\ / . \ (u — 1) r-7- 

u sm z\ . / sm z \ . 1 -r ^ 

Y-i — I = arc sm I r— 7 — 1 + — 7= 

1 + m; \1 + m^ ^ |/ 



mithin 



sm z 
m 
sin* z 
(1 + m)« 



(« — 1) YqrjJ (u — 1) sm z 

(3) r =-= ^ / — — +■'.»= ««. „ 1/, . '^mH- m« 



"v^^m.*"^'°"y'*''^ 



z 



und hieraus folgt, dass, da m klein ist, für nicht zu grosse Zenithdistanzen die 
Refractionen den Tangenten von z proportional sind. 

Die ausgeführte Integration ist nur näherungsweise ; will man sie strenge 
ausführen, muss man in der Differentialgleichung (1) die Abhängigkeit zwi- 
schen u und Q kennen, das heisst das Gesetz der Dichtigkeit der Luft. 

Die einfachste Voraussetzung ist, wie Simpson die Dichtigkeit in arith- 
metischer Progression abnehmen zu lassen. Thun wir dies, indem wir setzen 



*) Dieser Werth von u ist zu gross, siehe pag. 70. 

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Lagrange' 8 Arbeiten. 69 



-^ = u 



so' wird die. Gleicliung (1) 



du sin z d . u sin z 



dr= n» 1 A 2 — 2m . ^ = ,- X 1 /i 2 — am 

u 1/ 1 — u sm z^ (1 — m) 1/ 1 — u « 

und integrirt kömmt 

. ^ , arc sm (u sin z) 

r 4- Const. = ^ — * 

1 — m 

Für r = ist u = 1, daher 

Const. = !iIi|i5j!i£A _ 



1 — m 
also 

. , l — m . . ~ 
arc sm (u sm z) — z 

r = i_-j i 

1 — m 

oder 

1 — m 

(1 — m) r + z = arc sin (u sm z) 

oder 

sin (z — (m — 1) r) = u sin z 

welches, wenn man für m — 1 = V setzt 

sin (z — y r) = u sin z und für z = 90° 

sin (90 — y R) = u ^ ""^ daher 

sin (z ~ y r) « sin (90 — St ^) sin z 
also die Simpson'sche Regel giebt. 

Auf weitere Untersuchungen lässt Lagrange sich nicht ein, seine Differen- 
tialgleichung ist dieselbe die Euler hat, seine genäherte Integration giebt einen 
richtigen Ausdruck bis zu einigen 7(fi Zenithdistanz und die Ableitung der 
Simpson'schen Regel ist höchst einfach und elegant; an Hypothesen wagte er 
sich nicht, sie schienen ihm zu vage, dem Bedürfniss der Astronomie genügten 
auch noch die Bradley sehen Tafeln. 

Noch sehen wir einen Astronomen in dem letzten Viertel des vorigen 
Jahrhunderts sich mit der Aufgabe beschäftigen: Oriani in Mailand giebt 
in den Ephemerides astronomiae, Mediolani 1788 eine Erweiterung der 
Euler'schen und Lagrange'schen Abhandlungen, er nimmt für die Dichtigkeit 
das Mariotte'sche Gesetz verbunden mit der Euler'schen harmonischen Reihe 
für die Abnahme der Wärme an und entwickelt die Differentialgleichung in 
eine Reihe, deren einzelne Glieder nach einander integrirt werden. Er zeigt 
dadurch gewissermaassen den Weg, wie die Aufgabe behandelt werden 
muss und in seiner Reihenentwicklung führt er alle Integrationen zurück auf 
die Integration des Integrals 

ein Integral, das bei den Theorien von Kramp, Laplace, Bessel etc. die Haupt- 
rolle spielt und dessen vollständige Auflösung erst Kramp in seiner berühmten 



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<^oogIe 



70 Oriiuii's Arbeiten; 

Abhandlung „Analyse des refractions astronomiques" giebt; Oriani giebt aber 
dafür eine empirische Lösung. 

In seiner Abhandlung stellt er zuerst verschiedene Formein *) aiir Be- 
stimmung der Höhen mit dem Barometer zusammen und bestimmt aus den 
Beobachtungen der Luftschiffer Charles und Robert, aus Schuckburgh's An- 
gaben bei der Besteigung des Berges Mole bei Genf den Coefficienten ^ der Wär- 
meabnahme unter der Annahme, dass das Gesetz der Temperatur von der Form 

C 
Hfü '''^ 
wo X die Höhe in Toisen bezeichnet, und C = 1 + t y\^ (1+5 is* der Aus- 
dehnungscoefficient der Luft) für x = ist. Er findet im Mittel 

C=- 0,000036 

Dann geht er zur Refraction über, er entwickelt auf demselben Wege wie 
Euler und Lagrange die Differentialgleichung, er setzt für q — a wie Lagrange 
eine Constante und erhält den Lagrange sehen Werth der Gleichung (2). Er 
leitet ebenso wie Lagrange die Simpson'sche Regel ab und beweist, dass die 
von Lagrange gebrauchte Constante u — 1 = 0,0003302 viel zu gross sei, 
Simpson hat 0,000253, er findet 0,000277031. Hierauf entwickelt er die Diffe- 
rentialgleichung in eine Reihe. Nach (1) ist 

a sin z d u 
dr = ■ . . r- 

y ^2 — a* u2 ßin» z 

und setzen wir p = a + x, wird: "" 

... , sin z d u 

(4) dr 



1/(1 + ^y-^uVsin2z 
Nun ist aber: 
|/'l + -^y~ u2 8in5»z|~*-=(l — u^ßin'^zP^xfl — ^1^ + ^ Wl^u^sin^z) ~/ 

« (1 - u«8in2 i5)~ Hl _ ^^1 _ ^2 gjjj2 ^)— ' j^ ^ (2 + u2 sin» z) (1 — u> sin» z) "~ * 
— ~- (2 + 3 u2 8in2 z) (1 — u2 sin» z)"~ ^ + l 



(5)...dr= ,^ .,._....o- {^ - T- 1 __ »2 .ir.2 . +T2 



daher 

sin z d u j 
f/l — u» sin2 z i "ä 1 - u« sin* z "^ a* 2 (1 ^ u« sia« zf 

x« 2 + 3 u* sin* z \ 

a3 2 (1 — u'-^ sin2 z)3 "^ j 

u ist = a "" == 1 + -9^^ lg a + .... 

c 
wenn wir die Euler'sche Bezeichnung einfähren. 



>) Die vou Sctuckbttrgk^ Pe lioy, De Luc. 



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Oriani^s Arbeiten. 71 

Daraus folgt d u == lg a — und in (5) eingesetzt und für 

sin z 

yi — siii2 z ^ 

geschrieben, hat man leicht : 

, 8"^'<^" Iff a tg z f , 2 + «in« z , ^ 
(6. ..dr = T — -^ ö^{ xdq— -J5-I- -— x«dq 



^ 2 4- 3 sin» z . , \ 



und wenn man integrirt und im ersten Gliede u = a ' setzt 

q — k 

(7) r + Const. == arc sin (a ^ sin z) ^" ^.,^ / x d q 

^ c a cos^ z ^ ^ 

]gatgz(2-h8in^z) yT, . lg a tg z (2 -h 3 sin^ z ) y^a . „ + 

^ 2ca2cos*z jf^ "^ 2ca3cos6z yxaq-f-.. 

Die Bestimmung der Constante ist überflüssig, wenn wir die Integration 
des ersten Gliedes von der untern Grenze bis zur oberu ausführen, d. h. wenn 
wir es als bestimmtes Integral betrachten. 

Unsre Integrale gelten von x = o bis x = x bis zur Höhe der ganzen 
Atmosphäre, mithin muss auch 

q--k 

a ^ 

für die ganze Atmosphäre genommen werden. Nach § 15 ist aber q = k 
der Werth der Dichtigkeit der Luft an der Oberfläche der Erde, q der ent- 
sprechende an der Grenze der Atmosphäre ist == o, im ersten Falle ist 

q — k — k q — k 

a « = 1, im andern erhalten wir a ^ statt a ® und wir haben statt (7) : 

— k 

(8) . . . . r===arc8in(« <^ sin z) - z - i|^^ yx d q 

lgatgz(2 + sin»z ) r _ lgatgz(2 + 3sin«z) f..^. 

^ 2 c a» cos *z y ^ "^ 2 c a3 cos« z yxaq + ... 

Jetzt sind noch aufzulösen die Integrale 

/ X d q, / X* d qj / x^ (jq etc. etc. 

und zu diesem Zwecke müssen wir q als Function von x kennen. 

q ist die Dichtigkeit der Luft und nennt man den Barometerstand y und 
steigt man um dx höher, so wird der Luftdruck um qdx geringer, wodurch 
das Baronieter um dy sinkt, daher ist 

q dx = — dy 

oder q-=-J| (9) 

und vermöge dieser Gleichung lässt sich das erste Integral schon auflösen. 
Es ist nämlich nach der partiellen Integration 

y X d q = X q —J^q dx = xq + y + Conat. 



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72 Oriau'B Arbeiten. 

Die Grenzen des Integrals sind x = o, wo wir die Barometerhöhe y = b 
setzen, und x = der Höhe der Atmosphäre, wo q und y = o werden, die 
Constante Mit durch die Grenzen fort und es ist 

jf^dq= b (10) 

Das 2. Integral yx* dq ist nach der theilweisen Integration 
= X* q — ^y X q d X und mit Hülfe von (9) 
= xaq + 2xy— 2/ydx (11) 

Jetzt müssen wir die Abhängigkeit zwischen y und x kennen. Sind wieder 
die Dichtigkeit, die Barometerhöhe und die Wärme an der Oberfläche 

k, b, C 
in der Höhe x q., y, T 

so haben wir, da die Dichtigkeit dem Luftdruck ui^d der Wärme pro- 
portional ist, 



y 

b. T 

Dividiren wir mit (9) d. h. 

q d X == — d y und ordnen 

so findet sich 

dx b d y 



<l = ^^^ (12) 



1--- kTcry <^^) 



Oriani setzt aber mit Euler: / 

T^ e_ 

l + tx 
dies in (13) eingesetzt, giebt 

und diese Gleichung integrirt, links zwischen den Grenzen x = x und x = o, 
rechts zwischen y = y Und y = b, so hat man: 

x-f JUx = ^(lgb-~lgy) (14) 

woraus "" 

lgy=-lgb-A(2x + Cxx) 
oder 

-JL(2xH.Ux) 

y = be (14) 

folgt, wo e die Basis der hyperbolischen Logarithmen bezeichnet. Setzt man 

k 

so wird 

und das Integral in (11) ^ 



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Oriani's Arbeiten. 73 

Das Integral / e d v hat, sagt der berühmte Italiener, selbst Eoler 

weder durch Kunstgriffe noch durch Logarithmen noch durch eine Winkel- 
function lösen können. ' Er, Oriani, nimmt daher zur empirischen Lösung 
seine Zuflucht, er construirt das Integral als Fläche, die Veränderliche x wird 
auf der Abscissenachse dargestellt und als Ordinate 

ys»be ^" . 

genommen. ' 

Für X = o ist y = b,fur dx= 100*, dx == 200' etc., wird das jedesmalige 
y welches wir y' nennen wollen, und alsdann die Fläche berechnet, die dem 
Parallel-Trapez ai^ehört, desse^, Grundlinie = 100', dessen Höhe auf einer 
Seite die Ordinate y auf der andern y' ist. Oriani hat so von 100 zu 100' von 
X = bis X = 30500' die Ordinaten berechnet und giebt dafür eine Tafel. 
Er findet dadurch 

/•ydx==3637b 
122^ 
""137 k 

wobei er 

^ = 0,000036, k = j^, b = 28 Zoll 

angenommen hat Unser 2* Integral nach (11) wird daher für die richtigen 
Grenzen x == o und & =f=: Hohe der Atmosphäre^ 

y*x» d q = x2 q + 2 X y — 2y y d X 

(16) . /x«dq==~2F^ 

wenn n^aipt den Bruch , 

137 "y 

nennt. 

Auf ganz ähnliche Weise findet sich das 3. Integral 

(17) . /x.dq:^-?^*(l-F) 

und die folgenden Integrale lassen sich alle auf das 2te 

/xMq 

zurückführen. 

Setzt man die Werthe von (10), (16) und (17) in (8) ein, so haben wir: 

/iov • / "" r . X . lg« tgz /b 2Fb* 2 + sin2z 

(18) ... r =» arc sm j(c» *" sm z) — z + -2 ^-- ( -r- . -^ — 5 

c cos* z \ a a» k 2 cos* z 



2.3. b* 2 + 3 sin* z ^ 

"*■ a8.k£ ^^ "^^ 2cos*z "*■ 



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74 Oriani's ArbeÜtm. ' 

Entwickelt man nach dem Taylor'schen Lehraatze, ao bat man noch 

arc sin (a ° sin a) «= arc »in j (1 lg a) sin k i + . . . 



=.z— --lgatga + 



und aus (18) wird: 



(19) . . . r : 



k , ^ /. b 1 . 2Fb» 2 + 



'sin* z 



I cos* z 
2 • 3 . b» . TP, 2 + 3 sin» z 



a« k'-». C 



Sin cos* z / 



Bis zu 50^ Zenithdistanz genügt das erste Glied und man hat; wenn die 
Constanten eingesetzt werden, 

r = 0,00027703 \ ?-— tg z 

-i''"7T^ tgz 

^ ^ 215 

wo.t die Anzahl der Wärmegrade über 16^öR., b den Barometerstand be- 
zeichnet. Bis zu 70 Grad genügen 2 Glieder und bis dahin ist also die Re- 
fraction^ ganz unabhängig von dem Gesetz der Wärmeabnahme der Luft. Bis 
85^ genügen 3 bis 4 Glieder, über 86® convergirt der Ausdruck zu langsam 
und Oriani hält es für das Rathsamste, die Refractionen in diesen Höhen 
direct aus den Beobachtungen zu bestimmen. 

So behandelt Oriani das Problem. Er giebt eine vortreffliche Erweiterung 
der Arbeiten von Euler und Lagrange, er findet, dass bis zu 70 Grad Zenith- 
distanz die Dichtigkeit der Luft ohne Einfluss auf die Refraction ist, mit 
Euler's Annahme der Abnahme der Wärme führt er mit allen HüKsmitteln 
derAnalysis, die ihm zu Gebote standen, die Rechnung durch, er kömmt durch 
die Reihenentwicklung auf ein bis zu seiner Zeit selbst von Euler nicht gelöstes 
Integral, er giebt sich die Mühe dieses Integral mechanisch zu bestimmen 
und bestimmt dadurch so stienge wie man nur es haben will bis zu etwa 86® 
Zenithdistanz die Refraction. Er genügt alle^ Bedürfnissen seines Zeitalters 
und hat durch seinen Gang den Weg gezeigt, den seine Nachfolger mit vielem 
Glücke verfolgten, indem sie ein Resultat geliefert haben, das noch lange 
den geforderten Ansprüchen genügen wird. 



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Bäiokblick. ,?t> 



§ 17. 

Rfu^bllck aiif das Bisherige^ Staad der BefraotioQ, am Ende 

des 18. Jahrhunderts. 

Mit Oriani'S Untersuchung schliesst gewissermaasaen das 18^ Ja^hrkun- 
fd6rt ab; Krampfs ^^Analj^e des refractions'^ erschien allerdings schon 1799> sie 
ist aber gegen die frühem Untersuchungen ein so bedeuteüder Fortschritt, 
dasB wir sie zu dem jetzigen Jahrhundert rechnen können und sie daher im 
2. Theile behandeln werden. Das Bisherige lässt sich aber in Folgendem 
zusammen fassen^ 

Die Refraction und zwar die astronomische ist den Alten yieUeioht bekannt 
gewesen, sie haben aber keine richtigen Begriffe von ihr gehabt, der erste der 
ein durch sie hervorgebrachtes Phaenomen richtig erklärt, ist Cleomedes und 
er dadurch als Entdecker anzusehen. Grosse Fortschritte in ihrer Theorie hat 
Ptolemäus gemacht, ^ er hat über die Brechung des Lichts Experimente ange- 
stellt und bemüht sich sc^on zwischen dem Einfalls* und Brechungswinkel 
ein Gesetz zu suchen, findet es aber nicht Er weiss, dass die Refraction der 
Gestirne bis zum Zenith gehen muss und nur im Zfenith allein abscJut ist. ' 

900 Jahre hören wir fast gar nichts von der Refiraction; da schreibt mit 
einem Male ein Araber einen ganzen Tractat über sie: Alhazen geht. in 
seinen Kenntnissen noch weiter als Ptolemäus und bestimmt i unter aiiderm, 
jwas Ptolemäus för unmöglich gehalten hatte, die Höhe der AtiiioBphäre aus 
dem Dämmerungsbogen. Aber weder er noch Vit ellio, der einige Jahrhun- 
derte später lebte, fördern wesentlich die Refraction, ihr Vorhandensein war 
constatirt, man wusste dass kein Stern an seinem wahreü Orte gesehen wurde, 
aber wie viel sie vom wahren Orte entfernt standen, wie sich mit zunehmender 
Höh© die Refraction ändert, darüber erfahren wir noch nichts und auch Roger 
Baco erwähnt nur der Refraction als Thatsache. 

Die beobachtende Astronomie musste erst wieder zu Ehren konoimen, mit 
Messinstrumenten musste der Himmel gemustert, die Beobachtungen so veir- 
: feiinert werden, dass halbe und Viertel-Grade erkannt wurden, erst ak Regio- 
montan der Wiederbegründer der practischen Astronpmie gewo-rden, entdeckte 
s«ixk Schüler Bernhard VSTalther von Neuem die Refraction, er las den Sex- 
tus Empiricus, Alhazen und Vitellio und sah, dass zu deren Zeit bereits das 
Voriiandensein der Refraction erkannt war. 

Walther wusste, dass die Refraction am Horizonte etwa einen halben Grad 
betrage, Aber ihre eigentliche Grösse wagte weder er noch seine Zeitgenossen 
Wilhelm von Hessen und Maestlin genauer zu bestimmen ; ersterer erfand 
sogar sinnreiche Methoden, sich von ihrem Einfluss unabhängig zu machen. 

Mit dem grossen Tycho de Brahe beginnt gewissermaassen der erste 
Abschnitt der wirklichen Bestimmung der Refraction. Sichumkeinie 



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76 RückbUek. 

Theorie kümmernd beobachtet er mit seinen neu geschaffenen Instrumenten die 
Sonne und die Gestirne von ihrem Auf- bis zum Untergänge; er misst schein- 
bare Azimute, scheinbare Höhen, scheinbare Declinationen und nimmt aus den 
vorhandenen Sonnentafeln die wahren Werthe, um auf trigonometrischem Wege 
die Grösse der Refraction zu ermitteln. Er construirt RefractionstafcJn für die 
Sonne, für den Mond und die Fixsterne, die beiden erstem bis 45 Grad Höhe, 
die letztere nur bis 20 Grad Höhe gehen lassend. Der Theorie von Ptolemäus 
Alhazen und Vitellio ist dies aber nicht angemessen, Tycho vertauscht seine 
frühem richtigen Ansichten über die Ursache der Refraction ^mit falschen^ den 
aufsteigenden Dünsten schreibt er die Refraction zu und meint, sie sei an 
vei^chiedenen Orten verschieden. — Landsberger, Riocioli, Hevel wag^n 
nicht die Atitorität eines Tycho anzutasten, sie folgen ihm blindlings und 
geben ebenso falsche Tafeln, so falsche Theorien als Tycho. 

Der unsterbliche Keppler bildet den Uebergang zur 2. Periode. Er der 
Begründer der eigentlichen Dioptrik erkennt die das Licht brechende Atmo- 
sphäre als die wahre Ursache der Refraction, er sucht die wahre Theorie und 
müht sich ab, leider unglücklich, das Gesetz zwischen dem Einfalls- und 
Brechungswinkel zu finden. Er nimmt die Luft irrthümlich als unelastisch 
und überall von gleicher Dichtigkeit an, er adoptirt ein zusammengesetztes 
Gesetz für den Einfalls- und Brechungswinkel, vergleicht die für Wasser und 
Luft berechneten Brechungswinkel mit den von Vitellio beobachteten und 
findet nirgends eine grössere Differenz als ^ Grad, welche er den Beobach- 
tungsfehlern zuschreibt. 

Er bestimmt nach seiner Theorie aus verschiedenen Tychonischen Re- 
fractionen die nöthigen Constanten und trotz ihrer Disharmome bleibt er bei 
seiner Hypothese und glaubt die Nichtübereinstimmung derselben der Verän- 
derlichkeit der Refractionen zuschreiben zu müssen. Endlich wählt er aus 
den Tychonischen Beobachtungen 2 Refractionen aus, bestimmt seine Con- 
stanten (die eine ist die Höhe der Atmosphäre, die er 0,48 Meilen findet) und 
berechnet eine Tafel, die der Tychonischen weit vorzuziehen ist, aber wegen 
der falschen Hypothese über das Brechungsgesetz auch sehr falsch ist. 

Nach Keppler ftlngt die theoretische Betrachtung an vorherrschend zu 
werden. Scheiner, Schickard, Linnemann, Graves haben von der Re- 
fraction riehtigere Begriflfe ; aber ihre Arbeiten sind noch unvollständig und 
mangelhaft und für die practische Astronomie von geringem Nutzen- 

Von der grössten Wichtigkeit für die Theorie war das Gesetz, Wonach 
Keppler so lange, so vergebens suchte, der Holländer Snelliu« entdeckte es, 
Descartes publicirte es 1637 und Cassini war der erste der davon Ge- 
brauch machend (er fand es selbst durch Experimente) 1656 eine neue 
Theorie der Refraction , der Keppler'schen ähnlich, entwickelte und Tafeln 
berechnete, die mehr als 80 Jahre gebraucht wurden. Wie Keppler nahm er 
an, dass die Atmosphäre überall gleich dicht sei, er fand für ihre Höhe 2000 
T eisen und für den Brechungscoöfficienten zwischen dem leeren Raum und 
Luft 1.000284 (jetzt nimmt man 1.000294 an) und construirte eine Tafel die 



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RückbUck. 77 

biB eom Zenith ging. Anfangs blatte er 3 Tafeln ßkv den 3onuner^ den Winter; 
den Herbst and Frühling; ab aber Rieber in Cayenne in der Nähe des^ 
Aequators die eine bestätigte^ nahm er nur diese an* Seine Tafeb stelle» 
die üefractionen bis nahe 80 Qrad Zeoithdistanz innerhalb weniger, Se^iundetl 
dar und der Fehler ist desshalb so gering, weil der EJinfluss der Con^tutiop 
der Atmosphäre auf die I^fraetionen bis zu 74 Grad Zenithdistand ver- 
schwindet Seine auf dem richtigen Brecbungsgesetz beruhende Theorie kann 
als der 2« Abschnitt in der Fntwioklung^gescbicbte der Befraetion ange^ 
sehen wenden. ;a 

Doch bfild nachher entdeckte Mariotte^ dass die Luft nicht überall ^eich 
dicht sei, er fand dass sie, je. höher man steigt, desto mehr an Dichtigkeit ab- 
nimmt und diese dem Drucke proportional sei, Hawksbee zeigte auf experimen- 
tellem Wege, dass die Refraction der Dichtigkeit der Luft proportional sei' 
und daraus folgte, dass die Bahn den Lichts in der Atmosphäre keine grade; 
Linie sein konnte. 

De la Hire schreibt dem Lichte eine Cydoide, Herrmann und Jacob Beri 
noulli eine logarithmische Linie, Jac, Cassini eine Kreisbahn, Joh. Bernoulli 
eine Parabel oder Hyperbel vor, Newton, Brook Taylor, Bouguer finden die 
richtige Diflferentialgleichung. . Ersterer, indem er die Temperatur als überall 
gleich annimmt, integrirt sie durcb mechanische Quadratur, der Andere hält 
die Berechnung für zu schwierig uüd Bouguer läast die Dichtigkeit der Luft, 
gleicbförmig abnehmen und integrirt geometrisch seinen Ausdruck, er rechnet;' 
danach Tafeln, die den damaligen Beobachtungen genügen, er weiss aber 
nicht, dass er sein Resultat in einer höchst einfachen Weise ausdrüeken kann 
und ausser ihm hat fast niemand sich seiner Formeln bedient. 

Nur noch Wenige halten die Cassini'sche Theorie für richtig, einer der 
letzten der ihr folgt ist Horrebow, der seinem Meister Boemer darin nach-* 
spricht, und ausser Wurzelbauer, der aber nur in den Anfang des 18. Jahrhunr 
derts hinein reicht, der da glaubte sich desshalb keines Fernrohrs bedienen 
SU dürfen, weil dadurch eine neue Refraction, die des Glases, in diö Beobach- 
tungen hinein käme, ist Le Oentil, freilich in der letzten Hälfte des 18. Jafarr: 
bunderts, als schon längst Simpson die 3. Periode der Refraction angefangen 
hatte, zu nennen. 

Keiner eigentlichen Theorie, sondern der empirischen Beobachtungen, 
und darin Tycho folgend, bedienten sich Flamsteed und Lacaille. , 

Auf einem ganz andern Wege als Bouguer, wenn auch unter derselben 
Animhme, dass die Dichtigkeit der Luft gleichförmig, der Höhe proportional 
abnehme, findet 1743 der Engländer Simpson eine so einfache, so elegante 
und dabei den damaligen Resultaten entsprechende Formel, dass sie bald 
darauf ganz allgemein angenommen ward. Bradley ändert die Formel noch 
bequemer um und bestimmt in ihr die Conatanten neu, er berechnet Tafeln, 
welche lange gebraucht worden sind. 

Schon Tycho und seine Zeitgenossen fanden, dass die Refractionen zu 
verschiedenen Zeiten nicht gleich, waren, Keppler fuhrt uns, verschiedene 



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78 R«ekbKck. 

Beispiele von grossen aus8ei*gew6hnlichenRefractioneii an, Scheiner^s Beobach- 
tungen zeigen ein Gleiches, Riccioli' giebt für den Som^mer, Winter und die 
Nachtgleichenzeiten verschiedene Tafeln, Cassini hat ebenfalls in seinen ersteti 
Ephemeriden 3 verschiedene Tabellen, Picard ist aber der erste, der 1669 
findet, dass der Einfiuss von der Temperatur abhängig ist, de la Hire will 
nicht dÄran glauben, aber schon 1708 stellt Halley eine Regel ftir die Ab* 
hängi^eit der Refraotion von der Barometerhöhe auf, Jac. Cassini, Cassini 
de Thury finden zwischen Tag und Nacht Differenzen in der Reiraction, Le 
Monnier, sowie schwedische Astronomen finden in Torneä die Refractionen 
bedeutend grösser, Bouguer, der mit Condamine nach dem Aequator in 
Peru, um daselbst einen Erdgrad auszumessen, gesandt wird, findet sie da- 
selbst b^eutend kleiner, Tobias Meyer ist der Erste > der f&r Barometer* und 
Thermometeränderung eine Regel angiebt und Lacaille stellt die erste Correc- 
tionstafel in den Memoiren der Pariser Akademie für 1755 auf. Es giebt noch 
einzelne Astronomen die selbst noch später als die eben genannten weder auf 
Barometer, noch auf Thermometer Rücksicht n^men (dahin gehört z. B. Le 
öiBUtil), doch die Mayer'sche Regel oder die ausführliche Tafel von R-adley 
werden bald allgemeines Eigenthum. 

Schätzenswerthe Beiträge zur Theorie der Refraction liefern Euler und 
Lambert, doch sind ihre Arbeiten unvollständig, Euler nimmt fUr die Abi^hme 
der Temperatur eine Function an, die richtig angewandt ein gutes Resultat 
hätte geben können, aber er erlaubte sich Näherungen, die von der Wahrheit 
au abweichende Resultate gaben und weil sie dessen ungeachtet doch nicht 
einfach waren> fast gar nicht angewandt sind. Lambert verfolgte das Problem 
auf dem einfachen geometrischen Wege, er legte keine Hypothese überidie 
Dichtigkeit der Atmosphäre zu Grunde und kann daher nur genaue Restdtate 
bis zu einer bestimmten Zenithdistanz erhalten, seine Annahtne, dass die Bahn 
des Lichtes eine Kreisbahn sei, ist bei der terrestri8c;hen Refraction, auf die 
wir zurückkommen, genähert genug, zur Berechnung der astronomischen ge- 
nügt sie nicht. Seine G-renzbestimmungen zwischen denen die Refraction 
liegt, sind ganz vorzüglich, aber die Grenzen lassen sich ebenso wenig be- 
stimmen, als die Bahn des Lichtes selbst, wenn man nicht zu Hypothesen 
seine Zuflucht nehmen will. 

Seine Reihenentwicklung nach Potenzen der Tangente der Zenithdistanz 
sind richtig, sein Vorschlag aber, die Constanten aus den Beobachtungen tax 
bestimmen, ist ein empirischer Weg und alle Beobachtungsfehler bleiben. 
Wir haben noch die Untersuchungen von Lagrange und Oriani: die Lagran- 
ge'sche Differentialgleichung ist dieselbe, wie die Eulerlsche und in den 
Turiner Memoiren kann man sehen, dass Plana gezeigt hat dass sie streng 
jwaalytisch genommen nicht ganz richtig ist 

Lagrange discutirt, ob die Temperatur der Höhe proportional abnimmt, 
er ist nicht der Meinung. Auf eine höscht anfache Weise leitet er aus der 
Differentialgleichung sowohl die Cassini'sche Formel, als auch die Simp- 
sorfsche Regel ob. Oriani geht weiter, er le^ Euler's Arbeit zu Grunde, er 



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Bückblick. 79 

nimmt wie Euler die Wärmeabnahme in der Atmosphäre nach einem bestimm- 
ten Gesetz, ausgedrückt durch das Glied einer harmonischen Reihe, an, er 
erlaubt sich aber nicht wie Euler so grosse Näherungswerthe, sondern ent- 
wickelt in Reihen und findet, dass die Entwicklung zu Integralen fuhrt, die 
sich alle auf eins, das bis dahin noch nicht anders als durch mechanische 
Quadratur zu finden war, zurückführen lassen. Seine Entwicklung zeigt 
deutlich, dass bis zu 70 Grad Zenithdistanz das Gesetz der Wärmeabnahme 
gleichgültig ist, dass bis dahin die Formeln von Cassini, von Simpson oder 
Bradley, dass überhaupt alle Theorien dasselbe Resultat geben müssen. Bis 
85 Grad will Oriani nur nach seiner Theorie die Werthe der Refraction be- 
rechnet haben, in geringeren Höhen meint er müsse man direkt die Werthe 
beobachten. 

In der Praxis waren am Ende des Jahrhunderts die Bradley'schen Tafeln 
oder wenigstens die Simpson'sche Regel allgemein im Gebrauche ; durfte diese 
aber lange im Gebrauch bleiben, da man wusste, dass sie auf einer falschen 
physischen Hypothese beruhte? 

Nach Cassinis Theorie war die Höhe der Atmosphäre — denn nur Wenige 
waren der irrigen Meinung gewesen, dass die ganze Atmosphäre nicht die 
brechende Kraft besässe — 0,0006115 = 0,52 geogr. Meilen, nach Simpson war 
sie 0,001643 =^ 1,41 geogr. Meilen, jeder aber wusste, dass die Dämmerung 
eine viel höhere erfordere, das Besteigen der Berge, das Aufsteigen in dem 
1783 von Montgolfier erfundenen Aerostaten lehrte ebenfalls eine andere Con- 
stitution der Atmosphäre, als in dieser Regel angenommen war. Versuche neuer 
Theorien waren gemacht, die ersten Mathematiker hatten sich der Aufgabe 
gewidmet, sie aber nicht vollständig gelöst; die grossen Heroen des jetzigen 
Jahrhunderts nahmen sich der hinterlassenen Erbschaft an, sie förderten, sie 
lösten glücklich das Problem, mehrere Theorien wurden aufgestellt, die eine 
noch besser als die andere, und zu diesen Arbeiten wollen wir jetzt im zweiten 
Theile übergehen. 



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ZWEITER ABSCHNITT, 



ME ARBEITEN ÜBER REFRACTION 



VON 



KRAMP BIS JETZT. 



Bruhns, Refraction. - 

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§1. 

Die Arbeiten auf dem C^ebiete der Refraction in der ergten 
Hälfte des 19. Jahrhunderts^ 

Es zeigte sich gegen Ende de« vorigen Jahrhunderts, dass die Brad. 
ley'schen Tafeln, besonders in niedrigen Hohen, doch bedeutende Fehler hatten, 
und hin und wieder *) liesson sich Stimmen hören, die die Ungenauigkeit rüg* 
t«% und hervorhoben, wie sehr eine neue Theorie und genau berechnete Tafeln 
Bedürfnisa würden. 

Laplace warf zuerst in seinem Systfepae du monde verschiedene Fragen 
über die Constitution der Atmosphä,re und die Veränderung der Dichtigkeit 
auf. Man konnte von dem genialen Mathematiker; erwarten, dass er diesen 
Gegenstand einer strengen Prüfung unterwerfen würde und ais im Jahre 1799 
der erste Band der berühmten „Mecanique Celeste'^ erschien, ward diese 
Erwartung gesteigert und im 4. Bande derselben im, Jahre 1805 gerechtfer- 
tigt. Er beweist, dass die Abnahme der Dichtigkeit in geometrischer Pro- 
gression eine zu grosse, die in arithmetischer Progression eine zu kleine 
Horizontair efraction liefere, die beobachtete liege genau in der Mitte, und e;r 
setzt daher für die Abnahme der Dichtigkeit ei|ie Function, die aus beiden 
zusammengesetzt ist. 

: Aber schon 1799 hatte Kramp in Strassburg sqine „Analyse des refrac- 
tions'^ publicirt und darin die Aufgabe ausführlich und strenge behandelt. Er 
unterscheidet absolute Elasticität, die umgekehrt dem Räume den die Luft 
einnimmt proportional ist und speci fische, welche gleich der absoluten, ge- 
theilt durch die Dichtigkeit der Luft, i^t. E^ fuhrt, wie schon früher erwähnt, 
die Auflösung durch, nach der die Dichtigkeit dem Mariotte'schen Gesetze 
gemäss abnimmt, er entwickelt eine Refractionsformel bis zu 84 Grad Zenith- 
distanz und eine für Refractionen in der Nähe des Horizontes unter der An- 
nahme, das« die Dichtigkeit durch eine Exponentialfunction dargestellt werde. 
Er kommt auf das Integral y e "" ^*dt, von dem er eine vollständige Auflösung 



1) Bode's Jahrbuch für 1799, pag. 243. 

6* 
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84 Ueberblick. 

und Tafeln giebt und unterwirft die Arbeiten von Euler, Bradley, Mayer, 
Lambert etc. einer strengern Kritik und zeigt ihre Unvollständigkeit. 

In den Fundamentis astronomiae, herausgegeben 1819, entwickelt Bessel 
eine neue Theorie unter einer ähnlichen Annahme der Dichtigkeit der At- 
mosphäre wie Kramp, er legt eine Exponentialfunction zu Grunde, in der die 
Constanten durch die Beobachtungen bestimmt werden. 

Im Jahre 1822 und 1828 publicirt Plana 2 Abhandlungen in den Turiner 
Memoiren, in denen er die Hypothesen von Kramp und Laplace unter- 
sucht und von der letzten zeigt, dass sie im Grunde mit einer Hypothese 
von Professor Leslie übereinstimme. Er giebt überall Erweiterungen, Ergän- 
zungen, Verallgemeinerungen und zeigt die nicht völlige Strenge der von 
Euler, Lagrange etc. gebrauchten Differentialgleichungen. 

Young untersucht in den Philos. Transactions für 1819 und 1824 die 
Le»lie^8che Hypothese, er findet, dass sie die Horizontalrefraction um l'' zu 
gross angiebt und nimmt zwischen dem Drucke und der Dichtigkeit der Luft 
eine andere aber ähnliche Function an und entwickelt noch besonders den 
Ausdruck für die Refraction in geringen Höhen. 

Ivory findet die Horizontalreiractionen von Laplace und Bessel zu gross, 
die Besserschen Refraotionen »chliessen sich bis 85 Grad Zenithdistanz den 
Bradley'schen Beobachtimgen an, in niedrigem Höhen sind sie aber unsicher. 
Er nimmt für die Abnahme der Wärme eine Function von der Form 

l-.f(l_e-") 
wo e die Basis des hyperbolischen Logarithmensystems, f eine Constante, u 
die aus Beobachtungen zu bestimmende Variable bezeichnet, an, er findet eine 
Höhe der Atmosphäre von etwa 5 geogr. Meilen und stellt eine von Groom- 
bridge als sicher angegebene Horizontalrefraction dar. 

In den Philosoph. Transact. vom Jahre 1838 verallgemeinert er die Me- 
thode, indem er zu obiger Function noch ein Glied hinzusetzt. 

Schmidt in Göttingen gab 1828 eine neue Theorie der Refraction heraus, 
worin er annahm, dass die Wärme abhängig ist von der Grösse 

l-~ • 

wo X die Erhebung über der Oberfläche, b die Höhe der Atmosphäre be- 
zeichnet. Er erhält für die Horizontalrefraction fast denselben Werth, den 
Ivory findet und seine Entwicklungen sind auf eine höchst elegante Weise 
ausgeführt. 

Noch hat der Mathematiker Jons Sv-anberg in Upsala im 9. und 11. Bande 
der „Acta Societatis Regiae Scientiarum" vom Jahre 1837 und 1839 Abhand- 
lungen über die Refraction gegeben und, unter verschiedenen Hypothesen, den 
Betrag derselben hergeleitet. Sei die Dichtigkeit der Luft an der Oberfläche 
der Erde q> (o), in einer beliebigen Höhe x dagegen y, so setzt Svanberg 

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üßberblick. >^Ö 

wo 1 die Höhe der Atmosphäre bezeichnet, wenn sie eine eonstante Dichtig- 
keit hätte. Die Werthe der Constanten A, B, C, D leitet er aus den beobach- 
teten Daten auf den Gipfeln der Berge etc. her und berechnet, unter verschie- 
deaen, A^umhmen von B, C, D, die Horiaontalrefractian. 

In der Cönnaissance des temps pour 1839 und 1841 sowie in den Akäde- 
mieberichten des Instituts zu Pari« vom Jahre 1854, (auch Faye stellt einige 
Ideen auf, a^s der. terrestriachen Befraction die astronomische zu bestimmen, 
die Biot widerlegt) giebt Biot Aufsätze über die Constitution der Atmosphäre, 
er *) vergleicht die Theorien von L^place und Ivory, er behandelt den Grad 
der Sicherheit, den die Tafeln von LapUce, Ivory, Bessel verdienen und stellt 
Vergleichungen der numerischen Werthe an. 

Auch Lubbock hat 1840 und 1855 eine Theorie der Refraction gegeben 
und Tafeln berechnet. Er geht von einer ähnlichen Hypothese wie Ivory aus 
und weicht selbst in niedrigen Höhen nur wenige Secunden von Ivory ab. 

In dem Folgenden werde ich auf die vierschiedenen Arbeiten etwas spe- 
cieller eingehen und besonders die Theorien von Laplace, Bessel, Schmidt, 
Ivory und Lubbock ausführlicher behandeln, auch die verschiedenen Metho- 
den, um die Refractionen fiir ein^ andere Barometerhöhe und Wärme, als die 
angenommene mittlere zu finden, erörtern und in einem Anhange sämtritliche 
Tafeln zusammenstellen. ' 

Doch bevor ich dazu übergehe, werde ich die Diflferentialgleichun^, die 
allen Theorien gemeinschaftlich ist, und einige angewandte mathematische 
Theoreme, Auflösungen von Integralen etc. voraus schicken. 

Auch darf bei diesem eben gegebenen kurzen historischen üieberblick nicht 
vergessen werden, dass zu Anfang dieses Jahrhunderts noch oft die Bradley- 
sche Formel gebraucht und nur die Constanten neu bestimmt wurden, Piazzi, 
Groombridge, Brinkley leiteten aus ihren Beobachtungen ab und zwar: 
Piazzi r = 57/'2 tg (z — 3,1289 r) 

Groombrigde t ^ 58,1152 tg <z — 3,3626 r) 

Brinkley r = 5(v"9 tg (z — 3,2 r) 

wo r die Refraction, z die Zenithdi&tanz bedeftfcet und die Werthe für 28 Pari- 
ser Zoll, oder 29,6 Engl. Zoll und S^R.. galten. 

Carlini hat auch Tafeln gegeben, die erwach 4^^ Laplace'schen Theorie 
mit einigen Modificationen und ver*nderteii.OQnstanten berechnet hat; man 
findet sie in den Mailänder Ephemeriden vom Jahre 1820 und in Schu- 
macher's Hülfs tafeln. 

Gauss, Brinkley, auch Littrow ge1)en für die Refractionen in grössern 
Höhen statt der im FoJgenden aufgeführten Formeln recht bequeme Um- 
formungen 2), auf die ich mich vorläufig nicht weiter einlasse, da ich sie 
später gelegentlich anführen werde. 



*) Schon erwähnt istj^ dass er Newton's Refractipn mit den neuen Entwicklungen 
vergleicht und die von Halley publicirten Tafeln bis auf wenige Secunden richtig findet. 
*) Vorrede zu Schuuaacher's Hülfstafebi. 



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86 Ableitung der Differentialgleichung. 

§ 2. 
Entwicklung der Differentialgleichung für die Refraction. 

In § 7 des vorigen Abschnitlls haben wir aufgestellt und bewiesen: 

1) Geht ein Lichtstrahl von einem Medium in ein anderes über, so wird er 
gebrochen, 

2) der gebrochene Lichtstrahl liegt mit dem einfallenden in einer Ebene, 

3) der Sinus des Einfallswinkels steht zum Sinus des Brechungswinkels in 
einem constanten Verhältniss, und hierzu fügen wir noch den 2. Er- 
fahrungssatz aus Lamberts „Route de la lumiöre" hinzu, nämlich: 

4) Findet zwischen 2 Medien das Brechungsverhältniss n und zwischen dem 
2ten und einem 3ten das Verhältniss n' statt, so ist für das erste unddritte 
Medium der Brechungsexponent das zusammengesetzte Verhältniss nn'. 

Es sei (Fig. 20) C der Mittejpunct der Erde, AB D ihre Oberfläche, die 
concentrischen Bögen *) die Luftschichten, der von S kommende Strahl treffe 
in I die nte Luftschicht, der Einfailswinket sei in, der Brechungswinkel b|i, 
der Brechungsexponent ^£n, der für die (n — l)te Lusftchicht, in die der Strahl 
bei I angelangt ^i n — i, so haben wii^ nach unsern obigen Sätzen: 

sin in : sin b» = ^£n - 1 : iWn 
W.ITK sei = in_i, CI t= m, er = rn-i 
so hat man auch ' ' 

sin bn : sin in -1 = rn — 1 : rn 
folglich 

sin in : sin in-i = fin-i rn_i : f.in rn 
oder 

flu rn sin in = jUn — 1 rn — 1 sin in — l 
Ebenso ist - 

it<n-i rn-i ain itt-^i=^ jtin-^i rnl2 sin inl-2 
und so fort bis an die Oberfläche der ^Erde, wo der Brechungsexponent ^o; 
ro == C A = a, sin i = sin R A Z i= sin z (z ist die Zenithdistanz) wird. All- 
gemein ausgedrückt ist das Gesetz der Refraction 

(1) r . /i . sin i = a . ^0 sin z 

Der Winkel ZPR ist *= W. z + W. PRA 

»: der ZenitbdiBtanz -{* der Refraction, 
die ich 30 nennen werde. 



') Weil die Erde keine genaue Kugel ist, sind die Luftschichten nicht ganz concen- 
trische Kugelflächen, die Abweichung Ist aber so gering, dass der Einfluss auf die ße- 
fraction ganz verschwindet. Auch ist streng genommen wegen der abweichenden Ge- 
stalt der Erde von der Kugel die Refraction in gleichen Höhen aber verschiedenen 
Azimuthen nicht dieselbe, doch auch diese Diflerenz verschwindet. 



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Ableitung der DifferentialgleichuHg. 87 

Nur für unendlich entfernte Gegenstände ißt eigentlich der W. PRA gleich 
der Refr£^ction, fiir nahe Gegönstände kömmt das Verhältniss von PA zur 
Entfernung dieser in Betracht Für den Mcmd, weil PA so sehr gering ist, 
verändert dies die Üorizontalrefraction aber kaum 1" ^). 
Kehren wir zu unserer Figur zurück, so ist: 

W. ZPR = W. PI C + W. I CP 
und nennen wir der Kürze wegen W. P I C = \y. i, W. P C I = W. v, so ist 

W. z + (J0 = W. i + W, Y 
und differentiirt 

d (^0) =. di + dv > 
In dem kleinen rechtwinkligen Dreieck lET^ kann man setzen 

r'E = rdv, lE = dr 
daher , 

tgw.raE=tgi = ri^ 

oder 

d V = tg 1 — 
mithin 
(2) d((y0) = di + tgi^ 

Gleichung (1) in Logarithmen ausgedrückt und diflferentiirt giebt 



woraus 



— + — ^ + dl cotg 1 =» 
r ^ 

i • dr , ,. . . d^ 

tg 1 — + dl = — tg 1 — !- 

" r A* 



wird, und in (2) eingesetzt, hat man: 

(3) ^(.m — tgii^ 

a . /Uo . sin z 



sin 1: 



r^ 



\ i =s ^ 



\^ sin* z 

€08 ]' 



Nach (1) aber ist: 
daher 

und 

wodurch aus (3) wird: 

a j 

— ^^0 u^ .sin z 

(A) d(iJ0)= "" 



tgi=« 



i» 



— «0 sm z 



|/^« — ^^t)*sin«z 



i»)/i«'--^^*si»'^ 



^) Siehe Anhang. 



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oo Ableitung der Differentialgleichung. 

welches die strenge Differentialgleichuiig der Refraction ist, in der aber fi 
und r variabel sind. 

Kramp, Laplace etc. entwickeln die Gleichung nach der Emanationstheorie, 
für welche nach § 7. des vorigen Abschnitts der Brechungsexponent: 



v^^ 



wo Q die Dichtigkeit der Luft, c die Geschwindigkeit des Lichtes, N eine 
Constante bezeichnet. Es ist 



1 A ^ 4N 



c» ^ 



V^^' 



und in (A) substituirt entsteht: 

2n I A ^ 4N '■ a . 



(B) . . . d (^0) = — 



(^ _L. ^N \ 1 A ^4N^ /, ^ 4Neo\ a> . , 



2N 

a '^ ^"^ 
Setzen wir — ,= 1 — s und a = jjj — , so wird aus (B) 

a — ^ (1 — 8) sm z 

(C)... d(<J0) = ~-7 J .. ^" 

jl — 2a(l — -^Ul/co8z« — 2« (l — ~| +(28— 82)gin«z 

Sämmtliche 3 Gleichungen lassen nur dann eine Integration zu, wenn man 
die Relation zwischen fi und r oder q und r kennt. 

§3. 

Ableitung der Refraction naidi Cassini's, nach Simpson's, nach 

Newton's Hypothesen über die Dichtigkeit der Atmosphäre 

aus obigen Differentialgleichungen. 

Cassini setzte in der Atmosphäre ^:=^o; ausser der Atmosphäre ^=0, 
daraus folgt, dass nur eine einmalige Brechung stattfindet und zwar an der 
Grenze der Atmosphäre, r ist daher constant = a + 1? wenn wir mit l die 
Höhe der Atmosphäre bezeichnen. Dieser Werth für r in (A) eingesetzt und 
wenn wir noch einführen 



^_ )/^»-sin».^^,» 



a 



-"»m""' 



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wodurch 



80 erhalten wir 



aber es ist: 



dt = 






l + t«== 



daher 



d (<r0) « - 



sin*« 
dt 



14 t« 

Zur Integration bedürfen wir der Grenzen, dB wächst vom Anfang der 
Curve bis zum Ende, es ist an der Oberfläche der Erde = 0, an der Grenze 
der Atmosphäre = ö0, die Grenzen sind daher und dB. 

Für dB = d0, also an der Grenze der Atmosphäre, ist fi = 1, daher das 
dazu gehörige t, das wir t" nennen wollen 

,., ^-^»'(dn)'""'' _ (a + l) » _ 1 



'»•(irriy"" 



An der Oberfläche der Erde, wo ^ = fio, ist das zugehörige t, das wir t' 
nennen wollen 

a'* sin* z 
und wenn wir daher integrir^, haben wir ' 

^<r0 ^v* 






woraus 

• t' — 1" 

S^ = arc tg r — arc tg t" =*= «rc tg j-j-py<» 

oder 



Füf i^ie Horizontairefractiou ist sin 2.=i\, daher 

\ a j ' aVo* 

Nach den Untersuchungen und Bestimmungen ist für den mittlem Baro- 
meterstand von (>°,76 und 0® Temperatur die Höhe der Atmosphäre, weil Queck- 
silber 10492^8chwerer ist als Luft 

1 « 7974 Meter = 0,0012^25 a 



und 

/*o» = 1,000588094 
daher 

f 2 =: 0,0025065 t"« = 0,0019174 



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90 Die EeCraction nach Sim^flmi's Theorb. * 

und der Horizontalrefraction 

a0 = 21'32'',l 

Also nach der Cassini' sehen Hypothese kömmt eine viel zu geringe Hori- 
zontalrefraction heraus. Cassini und seine Nachfolger nahmen die Horizon- 
talrefraction zu 32 — 34' an, die Folge davon war dass entweder die Grösse 
jMo oder 1 falsch gefunden wurde. Wir haben in dor That gesehen, dass Cassini 
1 nur 2000 Toisen, also kaum 4000 Meter fand. 

Die Simpson'sche Theorie lässt die Dichtigkeit ^eichformig abnehmen und 
wir haben schon gehabt, dass sich dies ausdrücken lässt durch die Gleichung: 

<" • ■; T-fe)" 

In (A) eingesetzt erhalten wir: 



d(<J0)=--^^ 



zri dA*.8i 



sm z 



yj^ 



Setzen wir 
mithin 
so haben wir 






- — — sm z 



^0 



dC = m — 1 -^ sin z . d u 



d(iJ0)= ^^ 



(m — 1) fT^ 
welches integrirt, wenn man bedenkt, dass für ^ = 1 

flin z 

für |U = jUo, ^ = sin z ist, giebt: 



/^—^ 



oder 



^^="s^{^~*'-^«^'^(;;;^)} 



sin (z — (m ^l),9Q ) = ^_^ . sin z 



welches sich nach der in § 13 pars I. gegebenen Transformation schrei- 
ben lässt: 

• ^ , . m— 1 . . , , 

(2) ■ .' . . . .tggL^rf0^ ^^__^^\ g(z^g^rf0) 
fjt ist wenig von der Einheit verschieden, setzen wir daher 

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m — 1 
2 



und entwickeln nach dem Binomischen, Lehrsatz, so erhalten wir: 



:.(,:-.).5^»^(.:..)v. 



u — 1 






m— 1 



und für z = 90^ haben wir, da tg (z g— 50) alsdann 

(!E_ii,0y =.tg'(^^<r«) + Itg'(-^i.B) + ... ist, 

/m— 1,„\» m— 1/ » , \ . 2m» — lOm + 8/ > A« . 



oder weil 

m— 1 

also: 



folgt: 



mithin 



(3) cTö 






|t^o ißt bekannt und Simpson und Bradley bestimmten m so, dass dB 
, der Horizontalrefraction entsprach. Nach der Simpson'schen Theorie giebt 
es aber noch einen audern Weg m zu bestimmen und zwar aus der Baro- 
meterhöhe und der Dichtigkeit der Atmosphäre* 

Nach § 7 pars I. ist 

oder die Dichtigkeit 

W . (i = , wenn wir — j- = Ci nennen. 



c* 



Erhebt man sich in der Entfernung r vom Mittelpunct der Erde, wo die 
Schwere = g, die Dichtigkeit der Luft =s q sein mag, um die Höhe ^r, so 
sinke das Barometer um d p und wir haben dann die Gleichung 
(5) dp-=— g^dr 



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93 Ifie Refraotioii nach Siilipsoii's Theork. 

Nach dem Gravitationsgeaetz ist g = g^ ^, wenn wir go die Schwere 

an der Oberfläche der Erd^, deren Radius a gesetzt wurde, nennen, wir haben 
mithin 

Nach unserer Hypothese ist: 



daher 



dp-r m .go.a.^ ^^— ^ dfi 



und für q nach (4) --- — gesetzt 



f m + 1 ni — 1 I 

go-a^n^JAf ^ \ 



und integrirt zwischen den Grenzen und p, und 1 und fi erhält man: 

I m m + 2^ m 2 I 

^rT2^ ^ "*" m-h2 l 



Setzen]wir: 

iT|m + 2' m i l ^ m m *n* 



>+ 2 
2 



m» — 2m8 

— 48— 0** - ly + 

und 

m 



48 
und ebenso fi^, so erhalten wir: 



m3-lm. + 8m^,_^^,_^___ 






^^(^'-1)» + . 



oder 

(H) .. 



An der Oberfläclie der Erde ist: 



Po « go Vo ^ ^ go ~ (/'o'^ — 1) 

^1 



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Dk Beiraction nach Simpsoa's Theorie. 93 

und dies in (8) getheilt giebt: 

(9) P ^ a rm (/.«-l)» m»-2m (a«-l)« _ i^,._i^, ., 1 

^ ^ * ' • • Po 1 i ^ W-1) ^ 12 W-l) 8 ^ 1) + ... J 

welches wenn p == po, wofür fi = (hq wird, übergeht in 

(10). . . . l = ±.||(,„>-l)-?qLil!^W-l). + ....| 

woraus, wenn wir nur das erste Glied nehmen, 

(11) •■ • • -n- w-Vh +•■• -folgt- 



W-1) 



In (9) eingesetzt und auch nur das erste Qlied gekommen, findet skh : 

(12) i = (^y = ?i 

Po V^o**— V ^0* 

eine Gleich^g, welche sich auch aus folgender Betrachtung herleiten lässt: 

Nach Simpson's Hypothesen nimmt die Dichtigkeit der Luft der Höhe 
proportional ab; analytisch, wenn h die Höhe der Atmosphäre bezeichnet, 
heisst das: 

woiraus 

""•^ dr = _"^' folgt. 

Nach Gleichung (5) ist 

dp = - gvdr 

. , . Vo 

und betrachten wir g, weil a + h wenig von a verschieden ist, als constant 
und = go und integriren zwischen und p, un'd q, so haben wir 

Vo 

Es ist aber 

Po = go Qo l 

wir haben also 

Po M t'o* 

Für p = Po, wo ^ = ^0; folgt: 

also die Höhe der Atmosphäre 

h = 2l 



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94 Die Refraetion ttaf h Neiwton'» Theorie. 

I 
und dies eingesetzt^ giebt unsere Gleichung (12) 

P_ = -iL- 

Po iV . ^ 

Kehren wir zu dem Werthe von m in (11) zurück und setzen ihn in (3) 

ein; so erhalten wir: 

*0-^41-a(/io»~l) ^ 3 41-a(^o»-l)^'« ^^ 
Für ^0 und 1 und a die frühem Werthe eingesetzt, erhält man m = 8.519, 

50 = 30' 24".6, also eine noch zu geringe Refraetion im Horizonte. 

Newton hat, wie wir gesehen, angenommen, dass die Dichtigkeit dem 

Drucke proportional sei d. h. er hat eine constante Temperatur vorausgesetzt. 
Bei oonstanter Te^iperatur ist 



(13) . 






^-^'i 


also 










' 


c 


ip = p,ii 


dies eingesetzt in Gleichung (6) giebt 






Po 


J-«»»^dr(r) 


woraus 


j folgt 










p-f 


= --£/Ä(7) 



oder 

11 (^0 a ^0 

Po r Po 

welches 

(14) ,-,.e'T->-^ 

WO e die Basis des hjrperbolischen Logarithmen -Systems ist, giebt. 
Bezeichnen wir, wie oben 

i = -£5- und- =1-8, 
goCo • r 

so wird aus (14) 

a 8 

(15) (> = (>oe * 

und 

a 8 

j a 1 j 

a^ = j-^oß dB 

Dies in die Diflferentialgleichung (C) § 2 eingesetzt giebt: 

a 8 
it -j- (1 — s) siö z . e * da 



d (^ö) = 



{— ('-i)jK 



COS« z — 2a (1 — e ' ) + (2 8 — 82) sin« z 

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Die l^^raetioiL nach Kewtoa's Tl^oria. 96 

Für 1 — 2cf(l— ^1 können wir ahirö inieritlicheii Fehler l — tt^ 'setzen 
d. h. für Q seineu Mittelwerth 4- ^o ] thxin wir dies und entwickeln 

\^ fcos» 2 — 2a(l — 6 ^)+^s sin* zf — s* sin^ zj in 

( -T ^""* ( '^ -V' 

ycos'z — 2a(l — e *)+2s8in2zy + J s» sin» z ycos^z — 2a(l — e ') 

-f 2 s smäzl + 

so erhalten wir, wenn wir nach Potenzen von s ordnen: 



a -|- sin z . e d s 
d (1^0) == 



cos' z — 2a.(l — e *) + 2s sin* z 



(i-«)T - 

« -y sin z e 1 cos* z + | s . sin* z--2«(l — e )jsds 



}-(16) 



(l — a) f/ \cos*z — 2a(l — e ^) + ?s.sin*z) 

Das 2te Glied ist so klein, dass es Vernachlässigt werden kann, sein 
grösster Werth fUr z =^ 90^ ist: ! i : 

a 8 / a^ i 

ay e"""^ {|8 — 2«^ — e "^)isds 
(1 — a) »2s — 2a(l--e ^)i 

Entwickelt man nach Potenzen von s, vernachlässigt die höhern Poten- 
zen, so hat man 

a s 

1 — e ' = Y 8 
und unser Ausdruck wird : 

1 -a 1 |g 2«aU »^ 

= K e ~ **|/ 8" d s" 
wenn wir ^ = s« und K = - ^ J/- / _ 2«ji. j »^tzen. 

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96 Die Befraction nach K«wtoii*« Tfaeorfe. 

Dies musd integrirt werden and zwar zwi^^hen den Grenzen 8®.= 0, 
go = 00 >), für p = ^ und ^ = 0. 
Das Integral 

j e "■* j/^.ds« 

ist ein besonderer Fall des Euler'schen Integrals 2ter Gattung, welches 
die Form hat 

fe-^x^-^ dx-r(b) 

In unserm Falle ist b = ^ und da nach der theilweisen Integration leicht 
bewiesen werden kann, dass 

r(b)=(b~l) r(b-l) 
ist; 80 haben wir: 

Einer der schönsten Lehrsätze der Euler'sch^n Integrale aber ist, dass 

I ■ n = A 

ist und dadurch 

dadurch wird das 2te Glied für die Horizontalrefraction in (16) 



a i/r ""^"T 



Setzt man fiir a, a, 1, 7t die bekannten Werthe ein, so wird das ganze 
2te Glied nur 1" und dies kann gerne vernachlässigt werden, da wir später 
sehen werden, dass die Einflüsse von der Ausstrahlung des Erdbodens viel 
grössere Unregelmässigkeiten hervorbringen. 

Wir setzen desshalb statt (16) 

an 
a . -|- . e . 8in z . d 8 
(17) . . . . A(3&)^ ' 



1/ -V 

(1 — a) f COS« z — 2a(l — e *) + 28. sin« z 

Um den Ausdruck einfacher zu machen führen wir eine neue Variable 
ein und setzen: 



a 8 



(18) , . l^e 



8in«z 



*) Strenge genommen, wie wir im nächsten § sehen werden, ist die obere Grenze von 
cht OD, sondern 1 , von s® da 
bis oc ist aber äusserst gering. 



8 nicht OD, sondern 1, von s« daher nicht oo, sondern — , der Worth des Tntegrals von -r- 



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Enftwioklung naoh Newton's Theorie. 97 

dadurch wird 

a» 

d 8 == d s' + -r— — r- e d 8, 

sm^ z 1 

und während der Nenner die einfache Gestalt 

(1 — a) (/cos^z + 28' sin«z" 

annimmt, lässt sieh in den Zähler durch die Substitution des Ausdrucks von 
d 8 die Variable s' und d s' allein noch nicht einfuhren. Wir müssen daher 
eina^nder^ Verföihreh anwenden und drücken den Zähler aus durch 

a A , , • , ' ' 

— a sin z d . (e~ '^) (19) 

und wollen e ^ in (18) als Function von (s') herzustellen suchen. 
Nach dem Maclaurin'schen Lehrsatz ist: .f. 

f f(x)==f(x)o+f(x)o^ + f"(x);j^+..A + f^")(x)o^+ . . . . (20) 

wo f (x) irgend eine beliebige Function sein kann,, ,; . , 

f (x)o ist der Werth der Function, wenn man darin x = setzt 
f (x)o der Werth des ersten Differentials, in dem x = gesetzt wird etc. 
Setzen wir 



as 



f (x) «« (u) =-= e * und X = 



so ist aus (18) 



as' 



f(x). = (u)„ = e ' 
und wir haben noch 

f- (,) == m^ f.- (,) '=.. ^ etc. f (»> (X) = P^ 
^ da' ^ ^ dtt'^ ^ ' da" 

zu finden. Sobald Gleichung (18) eine explicite Function zwischen (u) 
und a wäre, könnte die Differentiation unmittelbar geschehen. Aber Glei- 
chung (18) ist impliöit und wir mü$sen noch einen kleinen Umweg machen. 
Schreiben wir in Gleichung (18) 

a s k 

l-e~"^ = 
i siQ^z ^' 

so haben wir 

s = 8' -f « y 

und wenn wir partiell differentiiren, dass heisst die partiellen Differentiale 
I j^\ und ij^\ suchen und diese in einander dividiren, so erhalten wir die 
partielle Differentialgleichung: 

Bruhns, Rofraction. 7 

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98 Entwicklung naoh Newton's Theorie. 

Nach der Differentialrechnung aber ist 

/dü\ /d u\ /d 8\ 

\d a) "* \Js) [d aj' 

also in unserm Fall: 

<^« ■ ■ (i^)-K^)0)-'(^') 

oder wenn wir y d u erst nach s' integriren und nachher wieder differentiiren, 
wodurch sein Werth nicht geändert wird: 

Das 2te Differential wird 
(22) /d»a\ ^ j d^/ydu j 

Setzen wir in der Gleichung (21) 

\d^) ^ ^ (d7') 

für u das Integral y*y d u, so wird daraus 

/djjdvx _ /d/>d_a\ 

und aus Gleichung (22) wird 

<-. (S)-(^^")-(^) 

Indem man noch weiter differentiirt und u mityy* du vertauscht, erhält 
man analog 

und allgemein 

Setzt man dies in den Maclaurin'schen Lehrsatz (20) ein, der sich nach 
unserer letztern Bezeichnung schreibt: 



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Entwioklnng nach Newton's Theorie. 99 

SO erhält man: 

(25) ...(ti) = (n 



w»+ 1 \y ds'A + 1.2 V dg. 7 o^ 1.2.3 v-^np5-/<> 

an /dn — 1 yn j— :\ 



Setzt man für u seinen Werth 
(u)«e » 



a 



sin' z 



TO huben wir 

1.2 sin* z TS 

-T .-{(.-.-T-)-rT-} 

nl sin*» z d s*» — i 

Wendet man dies auf (19) an, so haben wir nach der Differentiation statt 
(17) für d (dB) den Ausdruck: 



a-r- sin z d 8' 
d (^0) ^ * 



1 



(1 — a) |cos«z + 2s'.sin«z}*l f ^^ -?^'l 

« ' 1 « d \(e . ^--1)6 '( 



(27) , . -^ -_,Az___ 

"•"12 sin* z d s'^ 



sin* z , d s' 



«n d' 






— 1.2.3..n.sin«nz ds'n 

+ etc. 

das obere Zeichen im nten Giiede, wenn n grade, das untere, wenn n un 
grade ist. Nach dem binomischen Lehrsatz ist: 

(e » — l)" = e ^—ne * + ^ e x.2.3 

_<2j-3)_a£ 

-e - ^ -f 



7* 

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n 
e — n" -^7- e 



lOO Entwioklungr nach Newton*« Theorie. " 

_^' , • ... -: 

Mit e ' multiplicirt und n mal hintereinander difFerentiirt, kömmt 

das Zeichen +, je nachdem n grade oder ungrade ist. 
Dies eingesetzt in (27) giebt 

^tjia\- « a sin z d »' / _«i' 






Saa' 2aß' a8\ 



1.2.1^ sin* z ^ 
1.2.Ö V sin" 2 ^ 



(28) 

4a«' 8a8' 



09 _ ?il' _ !^'> 



■~ ■■ ■ . ilr ■ ■ ■ ■ 

Aus unserer Bedingungsgieicbui^g 

a 

folgen, für q = qq und ^ = 0, bei der Integration die' Grenzen vöns =i 
und 00, für s' ebenfalls und oo. 

Aus der Gleichung — = 1 — s folgt: für r = a, s = 0; aber die andre 

Grenze von r ist = a + der Hcihie der Atmosphäre, und Gleichung (14) lehrt 
uns , dass je grösser r, desto geringe«? die Dichtigkeit q wird. Der grösste 
Werth von r ist 

a 

und dafür wird s = l, s' = l — " ^ "T f ^ 

' 8111* z 



Bei dieser letzten Grenze *) isi ater 



i 






-' i - 



i)Iö8' = l — ^^^ — ^^^-^ können wir uns 2 immer so gross denken, dass der 

Werth nicht viel von der Einheit abweicht; für kleine Zenithdistanzen werden wir nach- 
her eine andere bequemere Formöl finden, unsere Entwicklungen sollen uns nur die Ke- 
fraction in der Nähe des Horizontes genau ergeben. 



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Eslw^kliiBg nach N«wteii'!«i Tlieotie. 101 

eine sehr kleine Grösse, weil e > 2 und y nahe 800 ist, und A^ernachlässigen 

wir diese Grösse, d, h. setzen . ^ . 

• AI ' 

«"' '=0 / 

so heisst dies * s' = po ' setzAi*). 

Alle einzelnen Glieder in (28) enthalten ausser Constanten noch den 
•zu integrirenden Factor: ; ^ 

V a . ^ i 

^ d 8' . e sin z 

(29) ' - 

y^cos* z -H 28' sin^ z 

wo V die Werthe 1, ^, 3 . . . . n . . . . annehmen kann. ; 

Setzt man um (iurch eine neue Veränderliphe den Ausdruck eiijfächer 
zu machen: 

2 sm* z a V , 

i 
wodurch \ ^ 

d8' = 2— tdt I 

wird , so wird der Ausdruck in (29) gleich : 
(30) 'l/^dte^«"i^~' 

t 

welcher integrirt werden soll zwischep den Grenzten: ,. 

I /av 008 .z , . 

t = 1/ cTT ^^^ t = OD 

Setze ich der Kftrie wegen: ' 

' ^■: i'i '■ . ■{ ■ .: - ^ ; - , ; ■ • • . ; 

/^ 00 va cos2z 

(31) je dt = e ^(v) t • 

^ |/*V C08Z 

''^ 2I Hin z 

so^ wird der Ausdruck in (30), nachdem er integrirt ist, 



*) Setzt man, in — = 1 — s, 8 = 1 + «, wo« eine sehr kleine Grösse bezeichnet, so 
macht r bei der Annäherung von « an einen Sprung von — oo zu + oo. Für s = 00 wird 

' "• a 8 

r gar 0, anstatt dass es 00 werden sollte. Für s = l wird ^^g^e ^ freilich nicht = 0, 
aber da -r- = 800 ist, so wird q gleich einer Zahl, doren 320 erste Decimalen alle sind. 



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102 Entincklmig nach M«wt<te'8 Tkeorie. 

und aus Oleichung (28) wird nach der Integration: 



I sin' z l i 

+ "'p" {3* 4^(3) -2.2^ JF(2)+ f^O)! 
1.2.sin*z l i 

1.2.3 ßin«zl i 



1+ " 

(32) 



l 



+ 



oder da 

«F(l)ll~ «T+^^- ^'V + ^1^ ^....l^e'^''^^^^ y(I) 
l 1 sin» z 1.28in^z 1.2.3 8hi<* :S r2.3.4sin«2 J 

ist, und 'F(2), 'F(3) mit ähnlichen Reihen multiplicirt sind, so erhält man 
1-a r 1 1 e »«*-'" »'(l) 

(33) / +ras^2»« ^(2) 

1* 8in* z 
+ 

Es fehlt nur noch die Lösung des Integrals 

Unsre vorläufige Aufgabe ist nach der Newton'schen Hypothese dieHori- 
zontalre&action zu kennen, um zu sehen ob diese mit ,den Beobachtungen 
harmonirt. Für diese, da z = 90^ ist, wird die Lösung leichter, wir wollen 
erst diese und im folgenden § werden wir alsdann die allgemeine Lösung geben. 

Für z = 90® haben wir aus (31) 

av co8»z „ 

34) e *^ '""* «F(v)= «FW- j e~"dt. 

In das Euler'sche Integral 

J^oD_x 1 1 

setzen wir 

X = t^ 80 haben wir /'j = 2Je dt=j/7r 

Jo 

daher 

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Entwiddung uack Newton's Tkeori«. lOB 

uod (33) geht über £ur die Horizontalrefraction in: 

^ aa 2aa 3aa ^ 



1 - a ^ * 1 



a^ a' 



^1.2.31« 

+ 

Setzt man hierin für a, a, 1, tv die bekannten Werthe, so erhalten wir: 

d0 = 0,0011609 
= 39'54",6 
Wir sehen also, dass nach der Theorie die Cassini'sche Hypothese eine 
viel zu kleine, die Simpson'sche, in der die Dichtigkeit in arithmetischer 
Progression abnimmt, auch noch eine zu kleine, die geometrische Abnahme 
der Dichtigkeit aber nach der Newton'scheu Hypothese eine zu grosse Hori- 
zontalrefraction giebt. Laplace, der die hier behandelten Fälle in seiner Möca- 
nique einlöste fast ebenso behandelt, nahm eine Combination der arithmeti- 
schen und geometrischen Function an und in §5 werden wir zu de^Laplace'schen 
Hypothese übergehen. Vorher wird enthalten 



§4. 



av cos'z 
2 



1 ^^° " /'.OD 

Isin^z / ^ — ttdt 

J |/ä~v cpsz 



die Integration von e 

^ t\ sin z 

Bereits zweimal habe ich das Eulersche Integral F(^) angeführt und ich 
glaube davon hier eine kuraae Auflösung geben zu müsaen. 
Euler bezeichnete bekanntlich mit 

J'»OD ' 
e -'' X *-^di (1) 

Nach der theilweisen Integration ist : 

Je X dx== -^ + TJ« ^^^ 

und wenn man die Grenzen einsetzt 

e-* X *-^ dx= i e-^ X * dx 
./o a Jo 

oder ^» = T /'(a-hl) 0) 

Beweisen wir, dass i'i = j/tt, wovon wir bereits im vorigen § Gebrauch 
gemacht haben. 



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104 Auflösung eines Eider'sohen Int^nds. 

Nach der Definition in (1) ist 

r(a + b)==r^-^x » + *>-* dx 

und setzt man 

X (1 + y) statt X, 
so muss für dx auch (1 + y) dx gesetzt werden uiid man bat 

/»OD 

und multiplicirt man auf beiden Seiten mit j y *~^ dy, so hat man 



oo /»OO 

— » y V » — 1 



(3) . . r(a-fb) ( ^^^^^^\^^ dj^)^ jdx.e-^x^^^-Hdy.e-^yy 
Setzen wir 



y X = x' 
SO ist 



dx' . x'»-i 
d y = — und y »— * « 



mithin, das letzte Integral rechts in (3) 
und aus (3) wird 



rird 

/»QO 

r(a + b) Z dy = . 



00 , a + b — 1 

i Aa) 



Idx.e-»^ 



oder 



/»OO 

r(a + b) ( y'~' ^ d y = r(b) r(a) 
Jo(i + y)'' 

b =s 1, also b = 1 — a, hat mai 

/»OO 

r(i) ( ylz! d y = r(8) ra - a) 



und macht man a + b =b 1, also b = 1 — a, hat man 

(4) 



Es ist aber 

/»QO 

r(l) = e-^ dx==l, 
Jo 

daher 

(5) r(a)r(i-a)« (i::_:dy 



/»OO 

Jod + y)'-" 



*) Das Integral | — l __ d y ist das Euler'sche Integral erster Gattung und 

- - y)* + ** 

wird mit (a, b) bezeichnet. 

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r(i)r(j) =jy__dy. . . . . . . •- ... . . <^ 



AttflöÄung desfe^ " dl '105 

und macht man a == 4^, hat man 

■/.^ 

Führt man dadurch, dass man y = x^ setzt, eine neue Veränderliche ein, 
so wird das Integral rechts = 2 I j-j^ = 2 arc (tgix) und die gehörigen 

Grenzen oo und eingeführt, wofür der arc (tg x) einmal -^, das andere Mal 
wird, geben statt (6) • 

r(i)r(i) = ;r , 

also ^ 

Ai)-/^ (?) 

welches wir beweisen wollten. 
Dass das 

re-"dt = f/^ ......... .;.'.*. (8) 

ist, haben wir durch das Eul^'sche Integral jH^) bewiesen, wir können es 
auch leicht auf andre Weise herleiten. 
Setzen wir 

J-»OD ' ' 

e-" dt==K 
• * .'■*'■■ 

und machen i , 

ta = 8X*, ■ 

SO wird __ ! 

dt=|/8"dx 
und 

K=-= 1 e"'*^Vs"^x (9) 

' Setzen wir dagegen 

■ . . t^-8, ... . ■• :; .- 

so, iat . , , ^ ; 

dt== --^= ds 

2j/8 

und 

^"j^VT^" • • (i^> 

Gleichung (9) mit (10) multiplicirt giebt 



/•OD /*00_ 



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lOjS Aafldsttiig dea/e " " 4i 

also 

welches wir haben wollten. 

Um endlich in (31) des vorigen § 

av cosSs /»OC 

ai) . «F(v)-e»^'*^ I ^~" *** 

J ■m/sTy cos g 
'^ 8 1 fin X 

ZU bestimmen ; sei 

(1^) • • ' KS"£f-^ 

und wir haben 

JF(v)=«e'^rf-"dt ... 

Ist T klein, so kann man die Fornael • 

e-^»dt== e-**dt- e-*Ut 

(13) . = J (/^ — I e-" dt 

anwenden und e "" " in eine Reihe nach Potenzen von t entwickeln, jedes ein- 
zelne Glied integriren und die Grenzen einsetzen. Man erhält so: 



J^ ♦• T« IT« 1 T^ 

und: 

(")■■ ^(')-7;--— "{*•'-- + ?-A F + r4:3 ?-■■ } 

Diese Reihe convergirt immer, doch nur, wenn T klein ist, rasch. 
Eine andere Entwicklung ist, wenn man sich der theilweisen Integration 
bedient, folgende: Es ist: 

re-"t«dt= p(-|«~")tdt^-.ie-'^' . T + i fe-" dt 
Jo Jo at Jo 

also: * 

Te-" dt==e--'^.T + 2 fe^^^t^dt 
• Jo Jo 

und durch die theilweise Integration findet sich Weiter; 

Jo 3 d Jo 

und allgemein ist: 

(15) fc-^t^^-^dt^e*-'^ T_!H' -h _2_ f^^tt ^iju j^ 

Jo 2 n — 1 2 n — 1 Jo 



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Auflösung cU»/« ■" ** dt 107 

Alles eingedetzt giebt 

* l.a./.^.-i f'"" '"" 

Diese Reihe weit genug fortgesetzt convergirt schliesslich immer, und 
wenn man n gross genug nimmt, ist das letzte Glied, das Integral, kleiner als 
das vorletzte Glied. Es ist nämlich der grösste Werth von e ~", für t«ao, 
gleich 1, also 

1.3.5. 2 n — lj/ ^*> 1.3.5. 2n-l J^® t at 
und das Integral links aufgelöst und die Grenzen leingesetzt giebt 

1. 3. 54. .2n — 1.211 + 1 
Das vorletzte Glied ist 



1.3.&...211 — 1 j 



und soll dies grösser als der grösste Werth des Integrals sein, so muss 



I 
T- 



— -TT rp — 2 ^ i 2 



2n4- 1 



d. h. 2 n + 1 > 2 e '^'^ T* sein,, welches, für jeden endlichen Werth von T 
möglich ist. 

Durch (16) wird , , ,, ; . 

Aber sowohl Reijie (14) wie (17) *ind riu^dann zur Börechnung vortheil- 
haft anwendbar, wenn T klein ist. Will man z. B. mit (14) dass das Ute Glied 

® ^ < 0,00001 



1.2.13.4.51.6.7-8.9.19 

sei^ so darf i 

T nicht grösser als 1.16, 

mit (17) dürfte, um bei demselben Gliede dii^^ Genauigkeit zu haben, ^ 

T ebenfalls nicht gröfser als 1.15 seii^. 

Für T = 1 ist das Ute Glied in 
in (14) 0,0000004 

in (17) > 0,0000008 



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108 Auflösung dat/e- *^ dt 

Ist T nicht so klein, sondern grösser als 3, so kann m»a folgeilite Ent- 
wicklung anwenden. Nach der theilweisen Integration ist auch 



und 



und 



1 r,-tt.lt_l. !«"■" 4. 1 3 L^«dt 
TJV t« ~,2"-2"~[i—'^T* YJ t* 

1 1 re--"^==-A 1 1 e-" _ 1.3.5 f^-u d_t 
22J t* 2'22 t^ 2.2.2J t« 



I 



und allgemein 

1.3.5....(2n — 1) e~" 



. 2 n + 1 



1 . 3 . 5 . . . (2 n — 1) r _^^ dt _ 1.3. 5.. ..(2) 

± 2.2.2 2 J® 7»^ «**='+ 2* + i 

_ 1.3.5..2n41 f -u <^ ^ 

Alles addirt giebt, wenn man die Qrenzen 00 und T einsetzt: 

f^-tt .. -tt/_L 1 . 1-3 1.3.5 

j^e dt = e |2T "" 2.2T» "^ §Tf72T5 2.2.2.2T' -f • . 

1.3.5.7...2(n-l) l _ l.ä.5...2n-H f^Jtt_JLi_ 
± 2^ + ^T^^'^^ ]"'" 2'*"'"^ Jt^ i^n + 2 

Wie eben vorher lässt sich auch hier nachweisen, dass das Integral ab- 
gesehen vom Zeichen kleiner ist ils das letztiö mitgenommene (älied'. ' ^ 

Der grösste Werth von e"~" wird zwischen den Grenzeb T und 00 
e ~ '^"'^ sein, sodass das Integral kleiner ist als ' ' i . i 

i.3:5...2fl^i \^TT r^_l£_ . i 

also auch, wenn nlian das Integral auflöst, kjieiner als der Werth 



1..3,^...2m-l _ 



TT 



2n + l, ® ^2u+ 1 2u + 1' 

und für t die Werthe T und oo gesetzt, kleiner als 
_TT 1.3.5...2n-^l '1 = 

welcher Werth nichts anderes ist als das letzte Glied. 

Für ^(v) erhalten wir schiie&sliöh: * *' 

J»iaD ' 1 f 1 ' 19 13.5 

e d t = g-Fp Y ~ 2Tä "*" ^2 T*)* (2 T*)^ !^ ' ' * * 

1. 3.5..(2n-~l) l _ T, I.3.5..(2n-H) C^_,, dt 
± (gT*)«» J ■*■ ^ 2"» + ^ Jt^ t^" + ^ : 

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AttflÖsung dwl/e^ " dl 109 

Diese Reihe ist convergent bis zum |(T* + 4^) +l>ten GHede, weil näm- 
lich der Exponent der Reibe ^^^ ist und nach den Sätzen über die Con- 

vergenz und Divergenz der Reihen dieser Exponent bei einer convergiren- 
den Reihe kleiner als 1 sein rauss. . . 

Bei T = 1 convergirt die Reihe in 2 Gliedern ; würde man mit diesem 

Gliede aufhören, so wäre nach unserm obigen Satze der Fehler nicht > -j^. 

Bei T = 2 convergirt dieRdhe in 5 Gliedern; hören wir mitdi^Äean auf, 
so ist der Fehler nicht > 0,0064. 

Bei T = 3 convergirt die Reihe in 10 Gliedern und der Fehler ist, wenn 
wir mit diesem abschliessen, <C 0,00003. 

Bei T = 4 ist die Summe von 17 Gliedern nicht fehlerhaft um 

0,00000002 . ■ 

Eine andre Entwicklung hat' noch Laplace gegeben, er giebt den Werth 
von W(y) in einem Kettenbruch, dessen Werth man so genau bestimmen kann, 
wie man will. v ' 

Es sei 

(a) e'^ye~"dt = u 

so ist 

iß) 1^^2te^^/e^'^ dt^ l=:2tu +1 

^ ~2t — + 2u 

dt- -'^^dt + ^" 

dl^ -^* dt^^^-'^dl 

allgemein 

i:^^=.2t^+2;„^:^' 
dt"+* dt** dt"~i 

Dividirt man mit 1.2.3...n = n! und nennt der Kürze wegen 
d° u d" + 1 u 

~r -] — = Un , - . - = Un + l etc., 

n!dtn (n+ l)!dt" + ^ , * 

SO hat man: 

ir) • , (n + l)Ui, + i = 2tl!fn +5un Ji 

Für n = 1 kommt 

2ua = 2tUi-f»-2uo 

welches giebt mit oben verglichen 

(cT) . . . Uo = u 

Für n = folgt 

u, «= 2 t uo -H 2 u — 1 

welches mit ß verglichen 

(0 u~i = + i giebt. 



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110 



Avfl8raiigtdMy*e **4t 



Ans Gleichung (y) fVdgfc 

Un * Un 

Vertauscht man n + 1 mit n, kömmt 

Un + 1 ' nn + 1 

Durch eine abermalige Vertauschung folgt: 

* Un + 2 



Un + 2 

und so kann man weiter fortfahren. 

Durch Umkehrung dieser letzten Werthe hat man 



Un 



und 



und 



Un— 1 



Un -H 
Un 



UnjhJ 
Un + 1 



X 


n-hl 


Un + 1 




2t 


Un 


' 


1 
t 




1 - 


n-l-2 
2t 

1 
t 


Un + 2 
Un 


1 — 


n + 3 


Un + j'' 



2 t tin + S 

und alle Werthe nach und nach in einander substituirt giebt: 



Un 



Un-i 



1 


1 


n-hl 
2 t« 




_^ n + 2 
■^ 2t« 








n + 4 
^ 2 t» 




l.^ + ö 
^ ^ 2t« 



1 — 



n 4" m Un + m 



2 1 Un + m t— 1 



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Auflösung des /e ~" ** d t - 111 

Für n =s erhält man mit Berücksichtigung von (S) und («) 



1 

2 t. 




- 






1 4- 


1 
2 t« 






1 + 


2 
2 t» 

1 -h 


3 

2t2 

1 -h 


4 
2 t« 



Für u das Integral gesetzt und die Ghhenzen eingeführt giebt: 

TT/^QO 



TT i*Cß ^ 2 



(19) 



1 + 2T^ 



1 + pfi 



1 + 2T5 



1 + -^ 



g — 

1 + 2T« 



Nach diesen 4 verschiedenen Formeln (14)- (17) (18) (19) kann man den 
Werth des Integrals finden. Kramp und Bessel haben ausfuhrliche Tafeln ge- 
geben, die Kramp'schen sind die umfangreichsten ; für unsere Zwecke genü- 
gen die BesseFschen, welche von T = bis T = 10 gehen. 

Für T = bis T = 1 ist das Argument die Zahl T, von T = 1 bis 
T =« 10 ist das Arg\jment der Logarithmus T. Man findet diese Tafeln in 
den ;,Fundamentis astronomiae^^ Regiomonti 1818 pag. 36 und 37 und hieraus 
habe ich sie copirt. 



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112 



Tafel des Integrals e 1 c "* " dt 



Tafel I. 

Logarithmus des Integrals e 
Argament T. 



TT /* OO 

/ — tt 



dt. 



T 



0,00 
0,01 
0,02 
0,03 
0,04 



0,05 
0,06 
0,07 
0,08 
0,09 



ööo 

0,11 
0,12 
0,13 
0,14 



0,15 
0,1« 
0,17 
0,18 
0,19 



0,20 
0,21 
0,22 
0,23 
0,24 



0,25 
0,26 
0,27 
0,28 
0,29 



0,30 
0,31 
0,32 
0,33 
0.34 



0,35 

OM 

0,37 

0^38' 

0,39 



0,40 
0,41 
0,42 
0,43 
0.44 



0,45 
0,46 
0,47 
0,48 
0,49 



0,50 



Logarithm. 
des Integrals 



99475449 
9,9426602 
9,9378067 
9,9329844 
9,9281927 



9,9234315 
9,9187006 
9,9139997 
9,9093285 
9.9046869 



9,9000744 
9,8954909 
9,8909361 
9,8864099 
9,8819120 



9,8774420 
9,8729998 
9,8685851 
9,8641977 
9,8598374 



9,8555040 
9,8511972 
9,8469166 
9,8426622 
9,8384338 



9,8342311 
9,8300539 
9,8259019 
9,8217750 
9,8176730 



9,8135955 
9,8095425 
.^,8055137 
9,8015088 
9,7975277 



9,7935703 
9,7896364 
9,7857255 
9,7818375 
9,7779725 



9,7741301 
9,7703100 
9,7665121 
9,7627363 
9,7589825 



9,7552502 
9.7515394 
9,7478499 
9.7441814 
9,7405339 



9,7369072 



Differens 
I. 



48847 
48535 
48223 
47917 
47612 
47309 
47009 
4';712 
46416 
46125 
45835 
45548 
45262 
44979 
44700 
44422 
44147 
43874 



43334 
43068 
42806 
42544 
42284 
42027 
41772 
41520 
41269 
41020 
40775 
40530 
40288 
40049 
39811 
39574 
39339 
89109 
38880 
38650 
38424 
38201 
37979 
37758 
37538 
37323 
37108 
36895 
36685 
36475 
36267 



Differenz Argmn. 
U. T 



+ 312 
+ 312 
+ 306 
+ 305 



303 
300 
297 
296 
291 



+ 290 

■^ 287 

+ 286 

4- 283 

+ 279 



+ 
4- 

+ 
' + 



278 
'21b 
278 
271 
269 
266 
262 
262 
260 
+ 257 

+ 255 
+ 252 
+ 251 
+ 249 
+ 245 

+ 245 
+ 242 
1+ 239 
+ 238 
+ 237 
-¥ 235 
.+ 230 
+ 229 
+ 230 
-f 226 
+ 223 
+ 222 
+ 221 
+ 220 
+ 215 
+ 215 
+ 213 
+ 210 
4- 210 
4- 208 
+ 207 



0,50 
0,51 
0,52 
0,53 
0,54 



0,55 
0,56 
0,57 
0,58 
0,59 



0,60 
0,61 
0,62^ 
0,63 
0j64 



0,65 
0,66 
0,67 
0,68 
0,69 



0,70 
0,71 
0,72 
0,73 
0,74 



0,75 
0,76 
0,77 
0,78 
0,79 



0,80 
0,81 
0,82 
0,83 
0^ 



0,85 

o;87 

0,88 
0,89 



0,90 
0,91 
0,92 
0,93 
0,94 



0,95 
0,9(5 
0,97 
0,98 
0,99 



Logarithm. 
des Integrals 



9,7369072 
9,7333012 
9,7-297154 
9,7261499 
9,7226045 



9,7190790 
9,7155731 
9,7120869 
9,7086202 
9,7051725 



9,7017439 
9,6983343 
9,6949434 
9,6915712 
9,6882174 



9,6848818 
9,6815644 
9,6782650 
9,6749835 
9,6717195 



9,6684732 
9,6652441 
9,6620325 
9.6588379 
9,6556603 



9,t5524994 
9,6493555 
9,6462278 
9,6431167 
9,6400218 



9,6369431 
6,6338805 
9,6308336 
9,6278026 
9,6247872 



»,6217873 
P,6ie8()28 
9,6158334 
9,6128792 
9,6099401 



9,6070158 
9,6041063 
9,6012114 
9,5983311 
9,5954652 



9,5926136 
9,5897762 
9,5869527 
9,5841432 

9.5813477 

1,00 I» 9,5785660 



Differenz 
1. 



36060 
35858 
35655 
35454 
35255 



34862 
34667 
'34477 
34286 
34096 
33909 
33722 
33538 
33356 
33174 
32994 
32815 
32640 
32463 
32291 
32116 
31946 
31776 
31609 
31439 
31277 
31111 
30949 
30787 
30626 
30469 
30310 
30154 
29999 
29845 
29694 
29542 
29391 
29243 
29095 
28949 
28803 
28659 
28516 
28374 
282^5 
28095 
27955 
27817 



Differenz 
U. 



+ 207 
+ 202 
4- 203 
-H 201 

+ 
4- 

+ 

+ 

+ 
4- 
4- 
+ 

+ 



-h 1 


L75 


+ 1 


L77 


+ J 


L72 


+ ^ 


L75 


4- ^ 


L70 


4- ^ 


L70 


4- J 


L67 


+ ^ 


L70 


4- ^ 


L62 


+ J 


L66 


4- ] 


L62 


4t ] 


162 


-H-^ 


161 


+ ^ 


157 


+ ^ 


169 


4- ^ 


156 


4- ^ 


155 


+ ^ 


m 


^'^ 


L51 


+ ^ 


L52 


-f 3 


151 


+ ^ 


L48 


+ J 


L48 


+ ^ 


146 


+ 1 


L46 


+ ^ 


L44 



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Google 



Tafel des Integrals e 



TT /*QD 

e-"dt 



'J- 



113 



;t 
Tafel n. 



Logarithmus des Integrals e 



i 



Argument log. T. 



TT /• OD 

/ — tt 



dt. 



Argum. 
log.T 



Logarithmas 
des integral» 



Differenz 



Difil^renz 
II, 



Argum: 
log.T 



Logarithmus 
des Integrals 



Differenz 
1. 



Differenz 
IL 



0,00 
0,01 
0,02 
0,03 
0,04 



0,05 
0,06 
0,07 
0,08 
0,09 



0,10 
0,11 
0,U 
0.13 
0,14 



0,15 
0,16 
0,17 
0,18 
0,19 



0,20 
0,21 
0,22 
0,23 
0,24 



0,2ö 
0,26 
0,27i 
0,28 
0,29 



0,30 
0,31 
0,32 
0,33 
0,84 



0,35 
0,36 
0,37 
0,38 
0,39 



0,40 
0,41 
0,42 
0,43 
0,44 



0,45 
0,46 
0/47 
0,48 
0,49 



0,50 



9,5785660 
9,5721389 
9,5656372 
9,5590613 
9,5524116 



9,5456884 
9,5388923 
9,5520236 
9,öß50829 
9,5180706 



9,5109876 
9,5036342 
9,4966113. 
9,4893195 
9,4819596 



9,4745321 
9,4670381 
9,4594781 
9,4518532 
9,4441641 



9,4364117 
9,42a5971 
9,4207210 
9,4127844 
9,4047884 



9,3967838 
9,3886218 
9,8804588 
9,3722294 
9,3639512 



9,3556196 
9,3472358 
9,3388009 
9,3303160 
9,3217821 



9,3132003 
9,3045717 
9,2958975 
9,2871786 
9,2784163 



9,2696116 
9,2607656 
9,2518793 
9,2429539 
9,2339904 



9,2249898 
9,2159532 
9,2068816 
9,1977761 
9,1886377 



9,1794673 



Brdrms, Refraction. 



— 64271 

— 65017 

— 65769 

— 66497 

— 67232 

— 67961 

— 68687 

— 69407 

— 70123 

— 70830 
,— 71534 

— 72229 

— 72918 

— 73599 

— 74275 

— 74940 

— 75600 

— 76249 

— 76891 

— 77524 

— 78146 

— 7^761 

— 79366 

— 79960 

— 80546, 

— 81120 

— 81685 

— 82239 

— 82782 

— 83316 

— 83838 
-^ 84319 

— 84849 

— 85339 

— 85818 

— 86286 

— 86742 

— 87189 

— 87623 

— 88047 

— 88460 

— 88863 

— 89254 

— 89635 

— 90006 

— 90366 
-- 90716 
^ 91055 

— 91384 

— 91704 



746 
742 
738 
735 
729 
726 
720 
716 
707 
704 
695 
689 
681 
67j6 

665 
660 
649 
642 
633 
622 
615 
605 
594 
586 
674 
565 
554 
543 
.534 
522 
5U; 
500 
490 
479 

468 

456 

447 -i 

434 

424 

418 

403 

391 

381 

371 

360 

350- 

339 

329 

320 

309 



0,50 
0,51 
0,52 
0,53 
0,54 



0,55 
0,56 
0,57 
0,58 
0,09 



o;60 

0,61 
0,62 
0,63 
0,64 



0,65 
0,66 
0,67 
0,68 
0,69 



0,70 
0,71 
0,72 
0,73 
0,74 



0,75 
0,76 
0,77 
0,78 
0,79 



0,80 
0,81 
0,82 
0,83 
0,84 



0,85 
0,86 
0,87 
0,88 
0,89 



0,90 
0,91 
0,92 
0,93 
0,94 



0,95 
0,96 
0,97 
0,98 
0,99 



9,1794673 

9,1702660. 

9,1610346 

9,1517741 

9,1424854 



9,1831695^ 

9,1238272 

9,1144593 

9,1050669 

9,0956506 



9,0862113 
9,0767497 
9,0672667 
9,0577631 
'9,0482395 



9,0386967 
9,0291355 
9,0195563 
9,0099600 
9,0003471 



8,9907183 
8,9810741 
8,9714152 
8,9617421 
8,9520554 



8,9423656 
8,9326431 
8,9229186 
, 8,9131824 
8,9034351 



8,8936770 
8,8839087 
8,8741304 
8,8643427 
8,8545460 



8,8447404 
8,8349266 
8,8251047 
8,8152751 
8,8054381 



8.7955941 
8,7857433 
8,7758860 
8,7660226 
8,7561531 



8,7462780 
8,7363974' 
8,7265116 
8,7166208 
8,7067252 



1.90 I 8,6968250 



92013 
92314 
92605 
92887 
93159 
93423 
93679 
93924 
94163 
94393 
94616 
94830 
99036 
95236 
95428 
95612 
95792 
95963 
96129 
96288 
96442 
96589 
96731 
96867 
96998 
97125 
97245 
97362 
97473 
97581 
97683 
97788 
97871 
97967 
98056 
98188 
98219 
98296 
98370 
99440 
98508 
98573 
98634 
98695 
98751 
98806 
98858 
98908 
98956 
99002 



— 309 
~ 301 

— 291 

— 282 

— 272 
-* 264 

— 256 
~ 245 

— 239 

— 230 

— 223 

— 214 
-^206 

— 200 

— 192 

— 184 
-180 

— 171 

— 166 

— 159 

— 154 

— 147 

— 142 

— 136 

— 131 

— 127 

— 120 

— 117 

— 111 
^ 106 

— 102 

-T uoo 

— 94 

— 90 

— 89 

— 82 

— 81 

— 77 

— 74 

— 70 
-- 68 

— 65 

— 61 

— 61 

— 56 
-^ 55 

— 52 

— 50 

— 48 

— 46 

— 44 



a 

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1 14 Laplace's Arbeiten. 

§5. 
Theorie der Befraction von Laplace. 

In § 3 haben wir gesehen, dass weder die Cassinfsche; noch die Simp- 
son sehe , noch die Newton'sche Theorie die beobachtete Horizontalrefraction 
wieder giebt, wir haben gesehen, dass bei dem Barometerstande 0,76 M., nach 
Cassini die Atmosphäre nur 7974 Meter hoch sein kann und auf unseru höch- 
sten Bergspitzen müssten in Folge dessen die Barometer auf Meter stehen, 
jeder aber weiss, dass dies nicht der Fall ist. Damit die Barometerhöhe um 
1 Linie abnehme, brauchte man sich dann immer nur 24 Meter etwa zu erhe- 
ben und obwohl dies an der Oberfläche der £rde nahe richtig ist, so hört es 
doch auf richtig zu sein, sobald man in einiger Höhe angelanjgt ist. 

Die Simpson sehe Theorie giebt die Höhe der Atmosphäre h doppelt so 
hoch oder 2 Meilen ; der Dämmerung zufolge wissen wir, dass dies viel zu 
gering ist. Es ist nach der Simpson'schen Theorie, wie wir in § 3 gesehen, nahe 

£. ^ .^l 

Po (>•* 

daher 

Po e eo 

Aus der daselbst benutzten Gleichung 

a + h-r==^ folgt ^ « 5Jl^ (2) 

Bei gleicher Temperatur ist der Druck der Luft der Dichtigkeit proportio- 
nal, also -^ = — , es entspricht daher der Druck -^ (bei constanter Tempe- 
ratur) dem Drucke — bei veränderlicher Temperatur (der Simpson sehen 
Theorie angemessen), wenn wir diesen Druck noch multipliciren mit — . Die 

Function — -^ ist daher das Gesetz der Wärme in den verschiedenen Luft- 
P» (> 

schichten und wir können setzen ganz allgemein 

_p^ ^ _ iH-mr 

Po ^ 1 + m To' 

wo T, tq die Temperaturen, m den Ausdehnungscoefficient der Luft bezeichnet, 
oder 

_£_ ~ P- LtELI? 
^0 Po 1 -I- m T 

Verglichen mit (1) erhalten wir der Simpson'schen Theorie gemäss 

Qo ^ 1 + m tq ^ h __ 21 

Q 14-mr a + h — r 21 — x 

wenn wir r == a + x setzen. . 



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Nach den Experimenten von Gay Lussac ist m «= 0,00376 fiir P 0. und 

setzen wir Tt) = 0, r =« — 1®, so haben wir 

1, _ 21 ! 

0,99625 "~ TiTTi ! 

woraus, bei dem Werthe von 1 = 7974 Meter, x etwa 60 Meter folgt. 

Nach Simpson nimmt mithin bei 0^ Temperfl.tur an der Oberfläche der 
£rde durch ein Aufsteigen von 60 Meter die Temperatur um P d ab;* 
jeder weiss, dass die Abnahme viel langsamer ist und die Sirapson'sche Hypo- 
these widerspricht auf 2 verschiedene Arten den physischen Gesetzen der 
Atmosphäre. 

Dass die Newton'sche Hypothese den Gesötzeh auch nicht entspricht, ist 
bekannt, denn dann dürfte es auf den Bergen nicht kälter sein, als im Thal, 
dann würde nicht ewiger Schnee die Gipfel der hohen Berge zieren können. 
Simpson^s Theorie giebt die Horizontalrefraction bei 0,76 Meter Barometer- 
stand und 0® Temperatur SO' 24,6, Newton's Theorie unter denselben Be- 
dingungen 39' 54,6. Die beobachtete Horizontalrefraction liegt fast ih der 
Mitte und Laplace nimmt daher für die Abnahme der Dichtigkeit der Luft 
eine Function an, die aus einem arithmetischen und einem geometrischen 
Factor besteht. : .m- 

Laplace setzt, wenn wir die frühem Bezeichnungen beibehalten, 

_ d 

(a) e = ?.(l + ^)e ^ 

WO f und m näher zu bestimmende Constanten sind, und 

(b) u = 8 — a|l ^1 bezeichnet. 

Die Gleichung (C) des § 2 lässt sich schreiben mit den in § 3 aufge- 
führten Abkürzungen *): 

«dp sin z — 

d(<r0)=: — -- — ^ -^ 



— a) y/eo8*z—Sia(l ^\ -f^28 — 29 cos» j 



(1 



Da s, so lange es merklich, ein kleiner Bruch ist und i^ir ausserdem z nur 
»wischen 70 und 90 Grad nehmen wollen, cos* z daher «uoh klein ifct, so 
können wir ohne merklichen Fehler 2 s cos^ z vernachlässigen und hab^n ? 

« — ^ sm z 
(c) .... d(S&)^ ^ 



(1 _ «) l/cos»z — 2« (l ^\ +2£ 



*) Die Abkürzungen sind: 1 — 2« (1 ^) = 1 — «; ferner ist im Nenner s' nicht mit- 

genommen — auch ist das 2te Grlied in (16) § 3 vernachlässigt. Man braucht auch In (lY) 

_a_8 ••.'•' .' .. >v 

§ 3 stittt 9 durch die Gleichung q*^ Q^^e ^ nur q einzufühten^ um dbige ' Forknei zu 
erhalten. , v : 



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ll6 Laplaoe'fi Arbeiten. 

Aus Gleicbung (a) ist 



u 
* u 



u 

Dies in (c) substituirt und durch (b) für s die Variable u eingesetzt, so 
hat man : 



K,»-"(i-llM 



m . du 

6 Bin z — 

m 



cos a> 



(1 — «) (/C08«Z + 2u 

Führt man eine neue Veränderliche t ein durch: 

(d) . . CO«« z + 2u = 2mt« 

wodurch 

^^2idt 

wird; so hat man 

/\ ^/-.^x 2a8inzdt L - fcos'z ,4..,! ~i 

Dieser Ausdruck mu^s integrirt werden und zwar zwischen den Grenzen 

cos z 

--=z = T und Qo, denn die Grenzen von o sind und po' 

f/2m ' , i ^ 

die von u sind od und aus (a) 

die von t sind 00 und l/2£?!L? ^ug (<j) 

Integriren wir (e), so erhalten wir: 

(1 — «) ^2 m (^ J JT 2 (1 -^ «) m 

'Für die HorizontalrefractioiL ist cos z = 0^ also auch T «= 0, ^u z= 1 

und da 

/»oo 

I e-" dt = i/7r 

ist, kommt 

(f) • . •' tfg= ,, "'f^ö7;; <^-^^) 

(1 — a) ^zm 

woraus man sieht dass f «< 2 sein muss^ denn 80^st käme eine negative Hon- 
zontalrefraction. 

Da in (f) 2 Constanten sind, die wir noch nicht kennen, so reicht die 
Kenntniss der Horizontalrefraction allein noch nicht hin, wir müssen noch eine 



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Laplaee's Arbeiten. 117 

Relation zwischen m und f und bekannten Grössen kennen^ um beide Grössen 

f und m zu beatinunen. Diese Relation findet sich zwischen f, m^ a^ 1, a und 

zwar ist nach (6) in § 3 

a' 
dp. = — go^ed.r 

= — goapds, 

— = 1 — s ninunt. 

r ^ 

Nach unserer Hypothese ist : 

-"+"(' -i) 



wenn man ^ 
r 



daher 
und 
und da 

und 

ist, so wird 



ds = du — «— 2 
Qo 



dp = — goae<^" + «goa^de 



Pa=goe«l 



U 
m 



und integrirt man, so erhält man: 

u u 

te> £ - t(1 + m) «» +^— • + V^ +^""'* 

-am 
am g . 1 P , i «a p* , ^ . 

~ m 
woraus hervor geBt^ dass die Constante; da mit p auch q=bO wird; gleich ist. 
An der Oberfläche der Erde ist p = po, g = po; u == und wir haben 



.oder: 
oder: 



- am -am ^aa 

m(l + f)«l«i« . . , (h) 

f « — - A - 1 . . (i) 

am 2m 



Setzt man diesen Werth von f in die Gleichjung (f) ein, so erhält man 
^«)j/2S l 2am "^ 4m "^^ « f 



60- 



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118 Lai^ace'g ATbeiten. 

. "woraus 

Laplace nimmt für die Horizontalrefraction 

J0 = Sb» 6'',0 = 0,0102X018, 1 « 7974 Meter, 
a = 6366198 Meter, a *= 0,000293876 
und findet für m und f die 3 Werthe: 

m.== + 0,001906483, + 0,000741829, + 0,000281350 
f= — 0,420077, +0,490390, +2,029670 

Da f nicht über 2 sein darf, können die letzten Werthe nicht angenommen 
werden und auch die ersten entsprechen nicht der Temperaturabnahme. Mit 
den mittlem ist: 

u -= 8 - 0,000293876 /^l ^\ und e « (»o (1 + u . 661,107) e - '**®»^ " 

die Gleichung (g) wird: 

H^ =^ 0,592243 + , -:^^^T7^ + 0, 117311 -^ 
Po e ^ 1 + tt . 661,107 ^ Po 

Nach den Beobachtungen von* Gay Lussac in einem Luftballon war in 
einer Höhe von 6980 Meter der Barometerstand 0,3288 Meter und das Ther- 
mometer zeigte — 9^,5 Grad, während in Paris dieselben Grössen 0,76568 M. 
und + 30^,75 waren. 

Laplace setzt u *=« 0,00092727, damit wird -2- = + ,0,46214 
as « 69C9,'°44 ; ^^ =« 0,8266, ■. 

Eis = 1 + 0,00375 1 «= 0,8266 

welches für t die Temperaturdifferenz zwischen unten ind oben 

t — — 460,24 giebt 
und diese Uebereinstimioung mit der Differenz zwischen — 9^,5 und + 30,75 
hält Laplace für genügend. 

Nimmt man die Höhe von 6980^ als richtig an^ und setsst 

u = 0,00093604, so ist -5- = 0,458352; s == 0,00109522 

as = 6972°*,36: r— a « 6980*"; ^ == 0,82730; -^ = 0,37919 

' PoC Po 

und 

ppp _ 1 -f 0,00376 t __^«o7.^. 
Poe ~" 1 + 0,00375 to - ^'»^'^' 

woraus, wenn man to zu + 30<>,75 annimmt, t = — 20^,7 folgt, eine üeber- 
einstimmuQg, die nicht so gut als die Laplace'sche ist, die ich aber für rich- 
tiger halte. Die Barometerhöhe weicht noch mehr ab, denn da 



£- = 0,37919, Po bei 30o,75 = 0,76568, 

Po 



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LapUee's Arbeiten. 119 

80 ist p = 0,37919 X 0,76568 = 0,29033 bei 30o,75 

und beobachtet wurde 0,3288 Meter bei — 9<^,5, weleheB für + 30^,75 wep:en 
Ausdehnung des Quecksilbers 0,33117 Meter ausmacht; so dass die Diffe- 
renz 0,041 M. = 18 Linien beträgt. ^ 

Thotnas Young nimmt darauf Rücksicht und stellt in Folge dessen eine 
andere Hypothese auf. 

Würde man für m und f die ersten Werthe nehmen, so hätte mau u = 

0.000943, -^ = 0,485, -^^ = 0.773, t = — 61^, also noch weniger über- 

(^0 Po Q 

einstimmend. ') 

Die Formel (A) giebt die Refraction an, das darin vorkommende Integral 
haben wir im vorigen Paragraphen gelöst. Die numerischen Werthe nach 
Laplace eingesetzt geben: 

O TT i*00 

«re -= 2790'',157 (0.75479 — 0,49042 T«> sin «--==. e e - " dt + 10021'',343 sin 2z . . . (B) 

yn: JT 

worin T = 25.961924 COS z. 

Diese Formel ist für grössere Zenithdistanzen anzuwenden, für kleinere 
bis zu etwa 80^ leitet Laplace eine Formel auf folgende Art ab, ohne irgend 
eine Hypothese über die Dichtigkeit vorauszusetzen. 

Nach (C) § 2 ist: 

a -^ (1 — s) sin z ^. 

1— 2all — ^j C08Z l/i_2a |l — 1-\ sec« z + 28- s« tg^ z 
Entwickelt man den lets^ten Factor in eine Reihe, so hat mau: 

Nach Potenzen von s geordnet und nur die ersten Potenzen mitgenommen, 
kommt . 



d(<r0) 



— .i...{. + .,(l-j))(l-.){.H.4,f-'-..,-.} 



1) Plana in seinen Becherches snr la refraction pag. 203 giebt noch einen andern 
Grund für die Ausschliessung dieser ersten Werthe an, der mir nicht recht zulässig 
erscheint. Mit den ersten Werthen ist 

e = Po { l-u.2-20,341 } e-"-5sr4,526 

1 1 

Um ()=rO zu inacheh, setzt Plana "= oöTr-rrri» damit wird s *=*9w2rp3T + 0.00029387H 

= 0.0048323^30763 Meter für die Höhe der Atmosphäre, welches Plana unzulässig 
findet. Würde man dasselbe Manöver auf die mittlem Werthe anwenden, so käme für die 
Höhe der Atmosphäre ein negativer Werth, welcher noch viel unmöglicher ist. 



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120 Laplace'e Avboiteit. 

oder ^ 

^ ; ()o ^ \ coft* z y Po / C08 *z . I 

welches integrirt zwischen den Grenzen ^ s= ^^ und ^ = giebt: 

cfö ==*« tgZ { 1 + *« 5 -f — / ^> 

° l * cos *z ces *z J (io J 

Nach der theil weisen Integration ist: 

wenn man die Grenzen einsetzt, die s=0 für ^==^07 8 = 1 fiir q=0 und 
r= 00 sind. 

Nach pag. 117 ist 

dp = — -goapds _ 

also 

p-= — goa/eds 
oder 

goa 
und für die richtigen Grenzen 

Jo?o gopoa a 

Dies eingesetzt in die obige Formel Äir dB giebt: 

Aa(2co84-f 1) — i-l 



= « tg z I : 



(C) ,r0 = „tgz|n. ^^^^ I 

ein Ausdruck, der von jeder Hypothese über die Dichtigkeit frei ist *). Er 
lässt sich auch schreiben, da . 

|a;(2c08«z + l)-~^ 



a . <« 1 



und 
also 

(D) 



cos ^z . 2co8'z acos'z 

-1-^1 + tgH, ' 



cos*z 



ia(2co82z + 1) — -1 
a 



cos »z 






und setzt man die von Laplace gebrauchten Werthe ein, so hat man: 

(f =« 60,567 tg z — 0",06702 tg »z. 



^) Oriani fand schon dasselbe, s. § 16 des' vorigen Abschnitts. 

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LapliMe'« Arbeiten 121 

SV :, , : 

Veränderung der Befraction durch Barometer und Ifheiino- 
meter. Einfluss der Feuchtigkeit nach Laplace. 

Die eben entwickelten Formeln mit den Zahlen gelten für einen be- 
stimmten Zustand der Atmosphäre; sie gelten, wenn die Hohe des Barometers 
0,76 Meter beträgt und das Thermometer auf dem Gefrierpunct in 0® C. steht. 
Sobald sich die Dichtigkeit der Luft ändert, ist auch die brechende Kraft und 
mit ihr a eine andere Grösse, auch 1 ist variable. 

Es seien t die Grade, die ein Thern^ometer, nach Celsius getheilt, anzeigt, 
so haben die Versuche von Gay-Lussac *) gelehrt, dass ein Volumen Luft, 
welches bei 0® die Einheit darstellt, bei t Graden 

1 + 0,00375 t 
an Volumen hat. 

Die Dichtigkeit ist ferner proportional ^em Drucke der Luft; wir haben, 
sobald das Barometer 0™,76 zeigt, den Druck gleich der Einheit gesetzt Die 
Höhe des Barometers sei 0",76 (1 + y), wo man y wegen der Ausdehnung 
des Quecksilbers (iriVf J^^ch Gay-Lussac pro Grad, -^-^ nach Rudberg und 
Regnault) bereits corrigirt denkt, so hat man für die Dichtigkeit der Luft: 

1 + y 

' ' ' 1 + 0,00375 1 
und statt der brechenden Kraft a 

«q + y) 

l + 0,0037öt 
Es ist femer nach Laplace bei 0'',76 Barometerstand und 0^ Wärme, , 

' 1 « 7974 Meter. 

Die Gleichung po = Igo ^o zeigt uns, dass 1 gar nicht durch das Baro- 
meter verändert wird, po allein proportional dem qq ist. Sobald aber qq 
seine Temperatur ändert) ändert sich auch 1 und zwar umgekehrt, es ist 
daher 

1 =«*7974 M. (1 + 0,00375t). 
Substitujren wir diese Werthe in unare Formel (C), so haben wir 
g(l + y)tgz i««(l + y)« (l + 2coB«z) 

*'"""! + 0,0037öt ^ (1 + 0,00375 1)« cos »z ^ 

— « (1 + y) 0,0012525 -^£4- 

^ ' •''' ' C08«Z 

Es ist noch zu untersuchen, ob die Feuchtigkeit in der Atmosphäre Ein- 
fluss auf die Refraction hat und ob dieser, wenn er vorhanden, von Bedeu- 
tung ist. 



1) Nach Experimenten von Rudberg und Regnault ist die Ausdehnung für 1^ Wfirme 
0,003665 



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1'22 LaplMe'8 Arbeiten. 

Naeh der Dalton'schen Theorie ist die mit Wasserdämpfen gesättigte 
Atmosphäre gerade so voll von Wasserdämpfen, als ein gleicher leerer Raum 
es sein würde, die Moleeüle^. des Wasserdampfes erleiden durch die Molecüle 
der J^i^tikeiae Beeinträch|iguQ^, beid^.sind so »eben, einander da, als wenn 
nur eins vorhanden wäre. 

Die Experimente haben gelehrt, dass die Wasserdämpfer sich durch die 
Wärme fast ebenso ausdehnen, als die Gasarten, und bei gleichen Tem- 
peraturen ist die Dichtigkeit des Wasserdampfs ebenso dem Drucke pro- 
portional, wie die der Luft. In einem leeren B^um wächst mit der Tempe- 
ratur die Elasticität des Wasserdampfes, die der brechenden Kraft proportional 
ist, und zwar, wenn die Temperatur in arithmetischer Progression zunimmt, 
vermehrt sich die Elasticität nahe in geometrischer Progression. Dalton hat 
auch hierüber Versuche angestellt und Laplace nimmt an als Function zwischen 
der Temperatur und der Elasticität den Ausdruck: 

Elasticität = 0,"76 (10)* • 0,0154547 - i« . 0.0000625826 

wo idie Grade des hunderttheiligen Thermometers über V)0^ bezeichnet. 

Die Wirkung der feuchten Luft ist zusammengesetzt aus der Wirkung 
der trocknen Luft und der des Wasserdampfes. Das Verhältniss der Wir- 
kungen sei wie . 

wo 4 für 0^ Temperatur und 0"*,76 Barometerstand gelte. 

Die brechende Kraft des Wasserdampfes für diesen Normalzustand sei 
im leeren Räume ^.0"',76, so ist klar, dass die Wirkung auf das Licht bei 
dieser Temperatur durch die feuchte Luft um die Grösse 

f(p-q) 
vermehrt wird und bei t Graden Temperatur beträgt diese Vermehrung 

1 + 0,00375 t 
Um p -r-q zu bestimmen, setzt Laplace voraus, dass die Wirkungen des 
Wassers und seines Dampfes auf das Licht den Dichtigkeiten proportional 

sind, oder, daas die Grösse -,- für beide Theile dieselbe ist. Diese Hypothese 

ist analog der Erfahrung über die brechende Kraft der Atmosphäre, die der 
Dichtigkeit auch proportional ist. 

Der Brechungscoefficient des Wassers > wenn der Strahl' aus dem leeren 
Räume kommt, ist nach Netvton : 

529 
396 

die, brechende Kraft: 

4N /529\2 ' 

-cr<?-=(3%) ~^ 

wo Q die Dichtigkeit des Wassers bedeutet. Nach den Versuchen von Dalton, 
Saus^ure, Wath ist die Dichtigkeit des Wasserdampfs in der Luft, wenn er 
mit ihr gleiche Temperatur hat, 



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Laplaee^fl Ai'beitMl. 123 

H der Diclitigkeit der Luft, 
uwd nach LÄvbisfer ist bei 12* 5 Temperatur und 0,76 Met^r Bio^oiiieter die 
Dichtigkeit des Wassers 

842 Mal grösser, als die der Luft. 
Nennt man ^q' die Dichtigkeit des Wasserdampfes, so ist seine brechende 
Kraft 

' 4N . , lOt 



-=137",27 
also 



c« *^ 14.343 
-=137",272f 

2N 



und wenn man auf Grad Temp^atur reducirt, indem diese Qrösse för 12^,5 
gil^, nmn daher mit 1 + 0.00375 X 12.6 multipliciren muss , kommt: 

H;^-« 71",853t 
Bei der Luft ist diese Grösse 

mithin 

1 + 0,00375 1 "" 1-f 0.00375 1 

Die Refraction ist nahe proportional a tg z , folglich wird durch die voll- 
kpmmen feuchte Luft die Refraction vermehrt um 

11^24 



l + 0.0a37öt 



ttga 



; Zur Bestimmung von ^ dient die obige Gleichung, welche Laplace aus 
den Dalton'schen Beobachtungeii hergeleitet hat, es ist 

Q 7ß A" a=s 76 (10) * •^'OlöiS*! — i» . 0,00006258«ö 

oder 

lg C ^ — aOO — t) 0. 0154547 •^ (100 ~ t)« 0,0000625826. 

Berechnet man t für t= 15, 20, 25, 30, 35, 40« C.j so findet sich die Ver- 
mehrur^ der Refraction 

fdr 150 C. Temperatur 0;i82tgp' 
20 6,241 tgb 

25 0,316 tg z 

30 0,413 tg z 

35 0,535 tg z 

40 0,687 tg z 

Da die Luft bei heiterm Himmel fast nie ganz feudit ist, so ist diese 
Correction gewöhnlich noch viel kleiner; Laplace ist der Meinung, dass maa 
sie vernachlässigen kann, Bessei nimmt gar keine Rücksicht darauf, seine 
Keft*actionsoonstante ist ebenso wie die von Laplace gebrauchte DelambiV- 



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<^oogIe 



134 Bessers Arbeiten. 

sehe aus den Beobachtungen' direct abgeleitet und sie entspricht daher ge- 
wissermaasseii der mittlem Fencht^keit.. Bei Ivory und Biot kommeii wir 
auf den Einfluss der Feuchtigkeit wieder zurück. 

§7. 

Die Theorie von Bessel — seine Correotionen durch das 
Barometer und Thermometer. 

Wir haben gesehen, dass bei gleicher Temperatur, also nach dem Ma- 
rio tte'schen^Gesetz allein, die Dichtigkeit der Luft sich durch die Function: 

darstellen lässt. Bessel behält die Exponentialfimction bei ; um aber der Un- 
gleichheit der Wärme zu genügen, fugt er einen Factor hinzu, er setzt 

g — 1 >. » 

wo g eine durch die Beobachtungen zu bestimmende Constante ist. 
Setzt man: 

gl '^ 

so hat man: 

Substituirt man diesen Werth in Gleichung (C) des § 2 und führt die 
Rechnung grade so durch, wie wir es in § 3 nach der Newton'schen Hypo- 
these gethau haben, so erhalten wir (wir brauchen überall statt y nur die 

Grösse ß zu setzen) schliesslich statt (33) in § 3 den Ausdruck für die Be- 
fraction, den Bessel hat, nämlich: 



1 — a ' 

<A) . 



aß 2aß 

e «^' » H'O) + ^ 2*e "^' ^ 'F(2) 
^ ^ sin* z ' 

Saß 4«/9 

+ 1.2 Bin* z^ ® ^<9)+i.2.Ö8in»z^ ® ^^^> 

+ 

ßi cos'z >,oo 



WO W(i) = e 2 ""^^ 



'"""^l e-" d^t 

Jcos. j/^i 
sin 2 f 2 



bedeutet, ein Integral, welches in § 4 gelöst ist und wofür daselbst auch Tafeln 
gegeben sind. 

Bessel, der die Bradley'schen Beobachtungen neu reducirte und daraus 
so schöne Resultate, die Fundamente der Astronomie, herleitete, fand auch 



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Bessert Arbeiitn. . }25 

die Constanten der Refraetion. Für den Barometerstand von 29^6 Engl. 
Zoll und 48«;75 *) Fahrenheit findet er 

a = 57'',538 

g = 116865,8 Toisen 

a = 3269805 Toisen für Greenwich, 
mithin ^=745,747 

Die mit diesen Constanten aus (A) berechneten Refractionen sind nach 
zahlreichen Beobachtungen in Königsberg noch zu mültiplioiren mit dem 
Factor 

1,003282 
denBesseP) dadurch erklärt, dass man die von Bradley angewandten meteoro- 
logischen Instrumente nicht genau kennt und sehr leicht ein Fehler in dem 
Nullpunct seines Thermometers sein kann. 

Um aus der mifüern Refraetion die wahre zu bestimmen, müsste man 
wieder, wie Laplace es angab, a, 1, ß ändern und zwar ist für den Barometer- 
stand b, wenn B der Normalbarometerstand d. h. der der mittlem Rdfrftction 
entsprechende, für t Grade Temperatur über die Normaltemperatur der Luft, 
für %* Grade Temperatur des Quecksilbers über dessen Normaltemperatur, 



'«0 R- 



B l-fnT'l + mT 
l«.l,{l + mT.) / 

; gl 

wo «0; lo die Ci^nstanten £Ür die mittlere Refraetion, m den Ausdehnungs- 
coefficient der Luft, n den des Quecksilbers bedeutet. 

Die jedesmalige Berechnung schien Bessel zu unbequem und in der That 
ist sie es auch, er setzte daher wenn ^r die wahre, öB di^ mittlere Refraetion 
bezeichnet: 

oder um es logarithmisch bequemer zu haben: 



Bis auf Glieder höherer Ordnung ist: 



.(b) 



(1 + mr)-^ = 1 — imr + ^^^^ m« 1« 



mithin 



^0 ^ (^M . i:(^..,o).-<r0 + ,^,.-.0...... 



(l + mx)^ ^ ^1.2di« 1.2 -"-^^^ ^"-1.2dT»; 



*) Anfangs nahm Bessel 50» Fabreriheit, später wurde das Bradley'scbe Thermome- 
ter untersueht und es zeigte sich, dass s^in Nullpunct um 1^25 ta corrigiren sei. . 
«) Königsberger Beobachtungen Band VII. Einleitung pag. XXVI. 



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196 fiMMFi Arbeiten, 

udd ebenso ist: 

so dass dadurch Gleichung (b) sich schreiben lässt: 
und mil; (a) verglichen folgt daraus 



A = 



ra.(f0 dT 
<r0 db 



(0 



Kann man also -4 — und ' bestimmen, so findet sich auch leicht 

X und A und dies wollen wir in dem Folgenden sehen. Bezeichnet man in der 
Formel (A) 

4^ mit« 

so hat man: 



(1— a)^0=:8in«z l/~.x 

-i.n ^ , ^ ,^ e'""»F(n) + 

, n=OD 211 — 8 



^ '^ 11 = 1 



1.2.3... n 
Setzt man der Kürze wegen 



«^ 1.2.3... n ^° ^ 



n = l 

SO hat man einfach : 

\ /— 

(d) (1 — «)«r0«8in»z l/l-.Q 

Aus den obigen Gleichungen zwischen a und «o? J undlo, ß und jS© sieht 
man leicht, dass 



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BesBeYn Arbeiten. 1^ 

ß nur nach t, x und Q < dagegen nac^ r und b variabel sind. Darch Differen- 
tiation erhalten wir, wenn wir 1 — a copstant annehmen: 



d(l — «)ir0 
dr 






Ferner ist 

»"-(i?)-(if)(^) 

Es ist aber 



> 5 r n a„ == Q' nennt. 



Femer ist 
wo 

n ==oo 

Q"=, ^S7 fL_l_- n» a„ bezeichnet. 
11=1 
Ausserdem hat man: 

/dQ\ V x° e~°' /dq^\ 
\d^/ ^ 1.2.3...n \dß ) 

Um (-^) zu finden, ist nach unserer frühem Definition 
q„==n ^ W(n)^n ^ e^ 






(0 



>(g) 



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128 BesseFs Arbeitern. 

und wendet man bieraüf den Satz aue der Integralrechmmg an, dafea wenn 

W = r f (X, r) d r 

gegeben ist und nach r diffei»entiirt werd^i soll und r in f (x, r), in a und b 
vorkommt; 

ist^ so bekommt man^ da in unserm Integral die Variable nur in der untersten 
Grenze vorkommt, 



8nr-l ßn ^^ ßn ^_^ d(l/4^C0tgZ) 



• = IT COtg« Z q„ — 



und 






Nun ist aber 

n=oo 



/dQ\ ^ cotg'z _ cotgz "^ n° x" e~°^ 
\^ß) 2 *< 2 1/27 -i^ 1.2.3..,n • 

' n = 1 






n -n ^ — nx 



1 . z . rt . . . n 

n — 1 



-X, 2« x2 e-2^ ^.33x3 e-^^ 



.2.3. ..n 1.2 TO" 

und entwickelt man in Reihen 



1 "*■ 1.2 1.2.3 "^ 1.2.c^.4-— 

.-2x_,^2x _^ (2x)2 (2x)8 _^ (2x)* 



' 1 "^ 1.2 , 1.2.3 ."** 1.2.3.4 

f etc. etc. '■ 1 , j 
SO ifindet sich 

* 1 1== QP 

(h ) ^ °°i oV"^" =* X + X» + x8 + X* + . . . : ,^ + . . .= _iL_ 

^M/ 1.2.3. .n 1 — X 

und dadurch wird: 

{dQ\ _.cc _^ ^ 

2 '^ ^^2^*1-'^ 



(i) {^\ «;??^^Q'_J^^-Ä: 



Aehnlich wie ^^jj durch Ihtegration nach einter'der Qi^nzed geAinden 
wurde, so findet sich auch 

(d ^'\ ^ cotgg z __ cotg z 1 /y X 

•\ d/r/ 2 ^ 2ß f 2 (l-x)=* 

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BeigeVt Arbeiten. 129 

und 

/d2Q\ cotg»z {dQ'\ cotgz x 

\d/J»j == 2 \^d/J j ■*• 2(2/J)l 1-x 

cotg^z _ 1/7 cotg»z _^_ 1/7 COt£Z X 

4 ^ y 2 4ß {i-xy^ y 2 ^ß» (1-x) ^^' 

Aus (g) ist 

mitbin 

/ d'Q \ __ 1-x eotg^z _ 1/7 cotgz 1 .,v 

Vdx.d/?7 "" X 2 ^ y 2 2ß (1 — X)« • • • W 

Aus 

folgt: 

(.^)--F-(|J)-".(S)— ". 

\d/jj - ß' [du) - «' \dl»j - 1»' \dt»j-" 
also: ^ 

Nach den Formeln (f), (g), (i), (1), (m) erhält man 
und 



(n) 



\ 



>) Den Factor 1 + m' kann man sich mit in b enthalten denken- 

Brühms, Refk>action. 



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130 £«88«Vd Atbeiteh. 

WO man sich erlauben kann b mit B zu vertauschen. Diese Werthe in (e) ein- 
gesetzt geben, wenn, man . 



~ sin» zQ! = (1 — «) rf' «f 



(q) 



setzt 



1/ 1- sin» z Q'' = (1 -^ «) 6*'& 

. g(2g-l) l_ . g(g -4 1) 1 

. "*" (g-1)« (1-x) "^ 4(g-l)M 

Hat man nach diesen Formeln 

/ d(l — tf)<r0 \ / d(l-«)^0 \ / dMl~«)J0 Y 
: ) \ db j' \ 'dr /' \ 1.2dT^^ ) 

berecknet, so findet sich nach den schon aufgeführten Formeln (c) X und A.^ 
Das noch in (b) vorkommende und hier nicht ganz entwickelte Glied 

ist immer sehr klein-^und kann, wenn die ßefraction nicht ganz in unmittel- 
barer Nähe des Horizontes gebraucht wird, vernachlässigt werden. 
Ohne dieses Glied schreibt sich die Formel (b) logarithmisch 

lg ir = lg <r0 + i lg [y~^) + a (lg I + 1« ^—^ 
Bessel setzt nun 

(r) : • • • • •«f«=^«tg''.T+V. = »"2-=»'il^Fl^''^ 

und hlit 

(C) lgcrr = lg« + igitgz + >llg,y + A(lgB + lgT) 

und giebt Tafeln für lg a mit dem Argumente z 

für Ig y mit dem Argumente r 

für lg B mit dem Argumeöte b 

fiir lg T mit dem Argumente t' 
Diese Tafeln werde ich in einem besondem Werke später zusammen- 
stellen und durch Beispiele erläutern. 



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Teiuig'B A3rbcdt0«. 131 

, §8. 

Theorie von Thomas Young. 

Wir haben § 5 gesehen, dass nach dqr Laplace'schen Hypothese über 
die Dichtigkeit der Luft die Barometerhöhe bei weitem nicht dargestellt wird. 
Besser stellt die Hypothese von Professor LesKe den Barometerstand dai^; 
diese Hypothese giebt zwischen der Dichtigkeit ^ und dem Drucke p^lgende 
Relation: 

oder, wenn wir die Dichtigkeit an der Oberfläche der Erde ^ === 1 und den 
Druck Po == 1 setzen, 

wo n nach Leslie < 0,1 (0,09) ist. 

Young geht von der geometrischen Betrachtung aus, seine Gleichungen 
sind identisch mit denen, die Lambert gefunden hat. Ist (s. Fig. 18) der Be- 
trag der Refraction = (J0 = W. ILA, OB = r, IB = v, 10 = u, so liabep 
wir nach den frühern Gleichungen: 

^<«-7^. = ^ ■■» 

Young setzt u = j— — -, wo q, die Dichtigkeit, von bis 1 wächst, (j eine 

selur kleine Zahl, eine Constante, und s ebenfalls eine Constante ist. 

Bei dem Anfangswerth von u, wo p = 0, ist auch d0 = bei dem End- 
werth von u, wo ^ = 1, ist d0 =^ <J0; wir haben daher nach dem Taylor'- 
schen Lehrsatz 

(u Anfangswerth) - (a Endwerth) = ^^ rfß + ^^^ — + g-^-^ ^^ + . . . . (2) 
und annähernd ist 



(u Endwerth^ = --— — =* » ^ s q 



ä 



(u Anfangswerth) ==-—== s 



Und aus (1) 



du 

d((r0)' 



wird daher 
= v.<y0 + 

Aus v2 = r« — u« folgt 



qs ^•^'"^ d((f0) 1.2 ^ d((r0)« 1.2.3 ^ d((f0)»1.2.3.4 ^ • . , . . K^) ^ 



, rdr — udu 

d V = 



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132 Tonng*» Arbeiten, 

und 

^ ^ d(cr0) ^ V d(<r0) " 

Erhebt man sich um die Höbe dr auf der Erdobarääche; so nimmt der 

Luftdruck um dp ab, und wir haben die Gleichung 

, . dp 
dr = 

TQQ 

wo Q die Dichtigkeit, m aber eine Constante bezeichnet. 
Aus u == ^ , folgt genähert 

du == — q B d^p == V d (<f 0), — aus (1) — 

mithin 

,5x ' Jl _!_ iP 

^ ' d(<r0) mqBQ d^ 

und aus (4) wird: 

• dv r d p ^ 

^^ d((f0) "" mqs^ dp ^ 

Aus der Leslie'schen Hypothese 
(7) p==p{l + n(l-e)) 

folgt 

^ «, P. + ^l* + iE' 

dQ Q Q^ Q 

mithin 

(8) <^^ ^ ^P I "rp' , "rp» _^ 

' d(<f0) mqsp2 I mqs(>^ '' mqsp^ 

Bedenkt man nun, dass die Endwerthe von q und p an der Oberfläche der 
Erde 1, dass ebenfalls r=l, v in cos z, s in sin z übergeht, so hat man statt (3) 



(9). 



. q Bin z = 1^0 cos z + I ^ : — — -5- 1 d02 + T7>7i\5 r-ö~Q + • 

^ Yimqsmz 2 / d(<f0)2 1.2.8 



und hierin kann man ttj^ ebenso entwickeln, wie es mit ," . geschehen ist, 

und, wenn man will, noch mehr Glieder. ^ 

Young hat im Ganzen 4 Glieder, er findet noch 

d«v _ 1 — 2n — 12nn 
d((r0)« ^ mq»8in*z ^^' ^ 

d^v ^ 1 — 16 n« — 24 n<» 1 — 2n — 12n» 2— 6n— 2011« + 112n» , 
d(<y0)^ m* q' sin'z mq*8 mq^sin^z 

und indem er für n den Leslie'schen Werth 0,09 setzt, wird die Horizontal- 
refraction um etwa 1' zu gross; er verändert daher die Constanten so, dass sie 
der Horizontalrefraction entsprechen und als Endresultat *). giebt er 

[o,0002825« <r0 ^?^ + (2.5 + 0,5 cos« z) -^ 
I sinz "^ ' ^ 8m*z 

+ 3400 cos z 4^ + 3400 (1,25 + 0,25 coa'z) 4^ 
sin» z ' \ » r * / gjjj4 2 

Gültig für 30 Engl. Zoll Barometerstand und 50» Fahrenheit. 

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Young's Arbeiten. 183 

In den Philosoph. Transactions for 1824 ^«bt er noch einen andern end- 
lichen Ausdruck für die ßefraction in geringen Höhen. Aus Beobachtungen 
hat er eine andre Gleichung zwischen dem Luftdruck und der Dichtigkeit 
gefunden, und zwBr setzt er' - 

p==i^*-ie' (10) 

Erhebt man sich in der Atmosphäre um die Höhe d h, so ist wie wir 
schön oben hatten 






aus (10) ist 

folglich 

und wenn man integrirt: 

Für h = ist ^ = 1, daraus 



dp== 4^ Q^ ^Q — Qd^ 



4: m Yq m 



fdh =.-^ Ja + ~^ + Const. 
«^ 2nti ' ^ m 



die Constante == s — und 



An der Grenze der Atmosphäre ist ^ = 0, daher 



(11) 



^ am 



und da ~ aus den Beobachtungen fp^^ des Erdradius ist, wird 

h = 3,71 Meilen (95550 engl. Fuss). 
Unsre in § 2 und 3 gegebene Differentialgleichung für die Refraction ist: 



^9 /i X • 

a — ^ (1 — s) sin i 

d(cr0)« ^ 



(1 — «) l/l — 2« (1 — -^) — (1 — 8)« sin« z 

r Qo 

1 tt 2 « 

Setzt man 1 — s = ~, po = 1> fZT^ "== ? ^^^ 2« r* = j^-, hat man: 

d (d&) = -qdgsinz 

^ ^ j/r«-2q(l-^) — sin'z 

1 + h für r, für r^ nur 1 + 2 h gesetzt, wird diese Gleichung 
— q d^ sin z 



d(<r0). 



j/ 2 fdh + cos» z — 2q (1 ^ ^) 
q d ^ sin z 



/Google 



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134 Tottng^s Ai\mtea. 

Setzt man ^^ «« 'F, wodurch d j »= 2 'F d 'F wird, »6 bat umii 

d(je) _ yd y 

2 sin z . q 



j/l^2q + C08^.-^«/^+(l + 3rp 



tf'd IF 



wenn man 



|/(a + b ^'+ c v^2) 



7 

a = 2 q 4- cos* z 

m 

m 

2 
c = — + 2 q • setzt. 



Nach der Integralrechnung findet sich aber, da c positiv ist, der Werth 
des Ausdrucks rechts nach der lategration 

= — I y'(a + b«f'+c «/^) — g-j^ lg {2c «P + b + 2 |/ c f/a ,4- b 1^ *f o^} j. . 

und für V die Grenzen 1 und eingesetzt die aus ^ = 1 und q = folgen, 
hat man schliesslich: - - 



2^^ ^ )/--2q + cos«z- cosz-^— ^jy== X 



. C(r0 . ^ ^ 

2mj/l + 2q 



^ -| + 2j/l+2q^l~2q + C0B«: 

Für q = 0,0003835, -^ = 1^3 '^^ 0,001294, i — 2 q = 0,008491 
— ^ = — 0,011646, ^ + 2q = 0,003155 etc. eingesetzt, hat^man? 

— 1^0 ^ sin z. 0,17972 11/(0,008491 + cos» z) — cos z 

0,005336 -> 0,11284 cos z 
0,011646—0,11234 j/ü,008491 

Für die Horizontalrefraction findet sich 

(f — 0,009840 = 83* 42'',6, 
welches bis auf 1",5 mit den Laplace'schen Tafeln übereinstimmt. Für 
cos z=0,l oder z=5« 44' 21^ findet sich d0--8' 48",7 (Young hat*'49",5), 
Ivor/s Tafeln vom Jahre 1823 gaben 8' 49",6. 

Young hält nicht für nöthig nach der gegebenen Formel Tafeln zu rech- 
nen, nach Formel I finden sich welche im Nautical Almanac für 1822 etc. 



— 0,10367 lg 



+ COS^ z J 



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• • §9. 

Theorie von Schmidt. 

Durch die Vergleichung in verschiedenen Höhen hat sich heraus gestellt, 
dasö die Temperatur ziemlich gleichförmig abnimmt; erhebt man sich um di^ 
Höhe h und fällt das Thermometer um t Grade, so fällt es bis 2h um 2ir Grade. 

In unsern gemässigten Gegenden muss man sich, damit das Thermometer 
4m 1^ Grad Celsius falle, 170 — 180 Meter erheben^ Humboldt 4and m den 
Aequatorgegenden 190 Meter; auch ist diese Grösse im Sommer und Winter 
nicht immer dieselbe, im Winter ist sie gewöhnlich grösser, was sich auch 
leicht durch die kältere, oft wechselnde Temperatur erklären lässt. 

Ist m, wie bisher, der Ausdehnungscoefficient der Luft, t undr^ die Grade 
des Thermometers in der Höl\e h und an der Oberfläche der Erde, so lassen 
sich obige Bedingungen nach Schmidt durch die Forniel 

^ + °^^ _ 1 _ A . (1) 

wo b eine gleich näher zu bestimmende Constante ist, darstellen. 
Macht man h ==: b) so ist 

1 + mr^^O 

Nach einem der frühern § haben wir, wenn p und q den Luftdruck und 
die Dichtigkeit in dei^ Höhe h, po, Qq dieselben Grössen an der Oberfläche der 
Erde bezeichnen 

p 1 4- m r /Qv 

p=p»^r+^„ ■ • • • ('> 

Da p nur an der Oberfläche der Luft=0 »ein kann, so folgt daraus, dass 
1+ mx auch nicht eher =5= isein darf, und b ist daher gleich 
der Höhe der Atmosphäre. 

Differentiirt man h nach t, so erhält man: 

dh mb 



dj l + mT» 



(3) 



So lange t® depselben Werth behlüt, bleibt j^ constant, d. h. die Wärme 

nimmt bei gleicher Erhebung um gleich viel ab ; ist t^ kleiner, wie es z. B. im 

Winter gegen den Sommer der Fall ist, so ist -r- grösser, d. h. man muss sich, 

um einen Grad Temperaturabnahme zu haben, höher erheben, und dies ent- 
spricht auch der Wirklichkeit. ' 
Nach § 3 ist: 

dp = — go Ja- edr , . ., ^ 

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136 Sckmidf 9 Arbtiten. 

und durch Gleichung (2) getheilt, kommt 

1p = _ ?2. ^ 5! dr 1+-51I9 
p Po r» 1 + m r 

(4) «"I TT^" ^ 



1 (a + h)« "l + niT 



wenn man wieder 



(5) 1=. 7^^^ :, r=-a + h 

setzt. 

In II + — j kann man wegen der Kleinheit von h das Glied 2ter Ord- 
nung yemachlässigen und man hat 

und Gleichung (1) lässt sich schreiben 



1 + mTo 
mithin 






b 

und wenn man dies in (4) substituirt; erhält man 
.g. dp 1^ a.b dh 



p "~ 1 1 + m ro (b — h) (a 4- 2h) 

welche Gleichung integrirt giebt: 

, ^ \ 1 a.b. 1 ,a + 2h 

'g P = Const. r- r— — jrv lg "r T- 

Zur Bestimmung der Constante hat man für h = 0; p = po; mithin 
1 >^ . 1 a . b 1 , a 

igpo = con8t.— p j_j-^ r+äb'e b 

also: 

^'^ • " • * • ^ ^Po 1 1 + mTo a^ 2b ^b(a + 2h) 

Da nun auch 

p Q 1 + mr 

po ^0 1 + mTo 

oder 

80 wird aus Gleichung (7) 

, Q 1 a.b 1 /a(b — h)\ /b — h\ 

(^) • • • '^i - T r+^ rT2b ^^ (m^h:^) -^^(-T-) 

Da die Werthe a, 1, m bekannt sind (Schmidt nimmt dieselben Werthe, 
die wir in § 5 bei der Laplace^schen Theorie gegeben), so lässt sich b bestim- 



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Sehmidlfs Arbeiton. 137 

men, sobald man eine der vielfach gemachten Beobachtungen über die Dich- 
tigkeit der Luft in einer bestimmten Höhe h zu Grunde legt. Das Mittel, 
b aus dem Dämmerungsbogen zu bestimmen , ist zu unsicher , denn während 
Alhazen den Bogen zu 17® annahm, setzt man ihn jetzt allgemein 18^, Cassini 
wollte nur 15^, und wenn man 16 und 17® annehmen will, kann man es auch 
thun, weil ims Beweise für eine grössere oder geringere Annahme fehlen. 
Die auf Bergen angestellten Beobachtungen hält Schmidt der Local-Einflüsse 
wegen für etwas unsicher und die einzigst brauchbare Bestimmung scheint 
ihm die von Gay-Lussac gemachte Beobachtung bei seiner Luftfahrt *) zu sein. 
In einer Höhe von 6980 Meter 2) beobachtete Gäy-Lussac, wie schon früher 
angeführt, die Temperatur — 9^,5 C, das Barometer 0,3288 Meter, auf der 
Erde waren diese Grössen 30o,8 und 0,76568 Meter. 
Daraus findet sich 

^ Po "~ ^ 0,76568 

= 9.63611 

1 ? 1 P _i_ 1 1 + 0,00375 X 300,8 ^ ^^,,^ 
^^i^^g£'*"^^ l4-0,00375x-9,5 '-^>^^^ 

und durch einige Versuche aus Gleichung (8) 

/ b = 49100 Meter*). 

Aus Gleichung (1) findet sich damit 





, 184,125 (to - 
1 + 0,00375 


Jl 




To 


und wofür to 


— T = 1« ist 






wenn to = + 30» h 


= 165,5 Meter 




To = + 20 


= 171,3 „ 




T„ = + 10 


= 177,5 „ 




r = 


= 184,1 „ 




To = - 10 


==191,3 „ 




ro = — 20 


= 199,1 „ 




To = — 30 


= 207,5 „ 



.Ist also die Temperatur an der Erdoberfläche + 30^ Celsius, so muajs 
man sich 165,5 M. erheben, damit sie um 1 Grad abnehme, bei 2(fi Tempera- 
tur an der Erdoberflächem um 171,3 Meter u. s. w. 



>) Lhoest & Kobertson, Barral & Bizio, Welsh haben 1803, 1850, 1852 auch Luftfahr- 
ten unternommen, doch verschiedene Besultate erhalten, siehe Arago's sämmtl. Werke, 
Band IX, pag. 425. 

') Nach Arago Band IX, pag. 425 wird die Höhe zu 7016 Meter angenommen. 

s)y^istderAusdehnung8coefficient des Quecksilbers, der jetzt 7^ angenommen wird. 

*) Durch die neuem Bestimmungen von 1, a, m würde ~ etwas verändert und auch b, 

doch sehr unbeträchtlich. Aus den Dämmerungsbogen von 18^ 15**, 13*^ würde b folgen 
67800, 48200, 31900 Meter. 



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138 Schmidf 8 Arbeiten: 

Schmidt berechnet noch zu verschiedenen Höhen nach der Fonaaql (8) 

die Grösse — und vergleicht sie mit den beobachteten, er findet fast überall 
Po . 

eine genügende Uebereinstimmung, nur die von Humboldt gemachte Beobach- 
tung auf dem Chimborasso würde ein b von 57500 Meter erfordern. Weil 
aber zu wenige Beobachtungen aus der heissep Zone vorliegen, lässt sich 
nicht mit Sicherheit der Schluss ziehen, dass dort vielleicht eine andere Tem- 
peraturabnahrae als in der gemässigten Zone existire. 

Wenden wir uns jetzt, nachdem die Hypothese über die Wärmeabnahme 
erörtert und durch die Beobachtungen bestätigt ist, zur Refraction selbst. 

In § 2 haben wir die Gleichung: 

2N , \L ^ 4N a , 



c^ ^'^ r 
d((rO)==- 



Setzt man wie früher 



and 

so hat man 

(9) . . . . d «Tö) 



2N 

1 + -^ eo 



^-^«0-|;)=i-"- 



a dp . 

— -r=- 8in Z 



"'""K'-^«('-i)-?-- 



Setzt man 



-L == w, 80 wird 
-^ = dw 



und aus (9) wird 

...c. « >/l-/g(l-x)8inzdw 

d ((f 0) = :j I 

1 — « yi_|i_^(i-_x)| sin'z — 2«fl — w)' 
und nenne ich 

(11) /9 8iD^Z _^_^ 2« 

cos'^ z + /S sin2 z ' cos-ä z + ^ sin'-* z 

i&o wird : 

(l-«)j//9 »^ j/l-kx-L(l-w) 

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ß ist eine Constante; die von der Höhe der Atmosphäre 1 abhängt; bei 
b = 49100 Meter ist , 

^ = 0,01524855, 
X ist ^\Q von r abhängige Variable, deren Qrenzeu 1 und sind, k und L sind 
Grösfijen die voin der Zeni^thdistanz abhängen, ihre Grenzen sind und 1, und 

2 a und — ; a ist die bekannte Grösse 

' ^ 0,000293876, ' ' 

2 « 

-— ist also etwa 0,038 und obwohl dieser Werth sich durch die Temperatur 

etwas ändert, ist diese Aenderung doch nicht so gross, dass sie hinderte den 
Nenner in (12) nach Potenzen von L zu entwickeln, und dadurch eine sehr 
convergente Reihe zu erhalten. Es findet sich: 



ij/l— kx a 1— kx y'l— kx 
+ 1 L» /" l-w^ 1_ 
8 \1 — kx7 l/l — kx , _, 

16 \1— kx/ j/l — kx 
12« Vl-kx/|/r=^Ii . 

Um diese Gleichung zu integriren, ist es nöthig von den 2 Veränder- 
lichen die eine durch die Gleichung, die wir zwischen dieser und der andern 
kennen, fortzuschaffen, wir wollen w in x ausdrücken und haben aus (10) die 
Gleichungen 



also 



(Ay^l_^(l-~,) 



^ = l-i/9(l-x)^l/?Ml-x)«-^/S^(l-x)3- 



und für ß seinen Werth 



2ab + b2 



^ (^a 4- b) "~ (a 4- b)^ 
für r = a + h gesetzt, kommt 

_JL_ — 1 1 2ab ^ b» 1 (2ab + by \ (2ab + by , 
a + h 2 (a + W ^ ? (a + b)* 16 (a ^ b)« 

n 2al>4'b« 1^ (2ab + h^f _3 (2ab + by 
■^ ^ \ 2 (a + b)2 ■*■ 4 (a + b)* "^ 16 (a + b)« ^ 

_ a (2ab4-by . 3^ (2ab + b^)« 1' 

\« (a + b)* "^16 (a + b)6 + • • • | 

1 (2ab + b2)3 J 



-t-x^ 



16 (a + hf 



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140 S«liBu4f « ArbnUn. 



woraus 



^ ^^^y^ - a ^ b-h 1 2a + b 1 i2ab + by 1 (2ab ^ by . 

^ \ "^ .b a+h"" 2 a + E 8 b(a + b)8 16 b (a + b)* '• 

"*■ * 1 2 a + b "*■ 4 b (a + b)» "*" 16 b (a + b)»' '^^ ' ' * * f 

, a (2 ab + b«)« 3^ (2ab + b>)» 1 

~" "^ -t 8 b (a + b)» ■*■ 16 b (a + b)»' + * ^ * * f 

, ./l (2ab + by ^ I 

+ ^Mi6 b(a+b)^ +....}+.... ist 

Entwickelt man nach Potenzen von — und nimmt nur Glieder bis -^ mit, 

a a* ' 

welches immer hinreichend ist; so hat man 

2 a 4- b ^ 2 a "*" 2 a« 
1 (2ab + b«)« 1 b b« 



+ . . . 
. . etc. 



8 bCa + b)» 2 a a« 

1^ (2 ab + by i. h« _ 
16 bta^ b)« "^ 2 aV 

So erhält man einfach: 

/ \ ab — h . b ,^ - b' ,^ v • . 



Aus 



^ = l-l^(l-x)-i-/^(l-z).-^^(l--)'-... 
folgt 

^ = l^(l-x) + l,^(l-x)« + l^(l-x).+ .... 

Es ist aber 

2ab + b»_ b „b« . - 

'*- (a + b)« -^r~**? ^ • • • 

mithin, wenn man nur die Glieder bis -r mitnimmt: 

a' 

(^ h b b« b _,_ 1 b« ^ 1 b« ^ 

und 

1 , h a + 2h ,^b., b, b, b , 1 b« 

oder 



(13) 



Bezeichnet man in (8) 

1 ab 



1 1 + mTo a + 2b 

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80 hat man 
oder 

Es ist nahe 



also 



Scbiaidf t ArMten. 14 1 

_/a (b - h) \v / b \ 
^"■\b a + 2hj Vb-hj 

' b b / a + h \2 / a \ 

► -h ^ t^IIh \ a ) \a+^j 

^ b (a + h) JL^H- h 
*^ a (b — h) a + 2h 

/ a(b~h) \v-i / a + h \t + i 
"" ^ \b (a + h)j Va + 2tij 



(15) 



Erhebt man die Reihen in (a) und (y) zur (v — l)ten und — (v + l)ten Potenz 
und setzt sie in (15) ein, nimmt nur die ersten Glieder mit, indem die höherer 
Ordnung so klein sind, dass sie vernachlässigt werden können, so erhält man* 

w«{x^~'+(v-l)A(i_:,)/"-V...}{l--(v + l)~(l-x) + ...|....a6) 

T-i V4.3 b ;^ , v-i 

Differentürt man, so wird: 

= «=5X (1 ^ ) dx + — -T — s ^ ax + .... 

V — 1 ^ 2 a' V — 1 2 a 

und 

\v-l 2 a * 2 1-,» 4 l — ß)'^ '^ 

Es ist vollkommen genügend bei allen Gliedern in Gleichung (12), die 
L multiplicirt 
man kann setzen 



mit L multiplicirt sind, nur die erste Potenz von — und von ß zu nehmen und 



*^ a 



dann wird: 



/r^ = i-l 



dw ^--»,. v + öb,, . v-ibv^ + öv — 2 



^l-Ml-x)^j-.x (l-l^^)dx + x ^-^L__-dx 



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14S Sohnic^s Arbeite», 

und setzt msm der Kürze wegen 

/b^^^v + 3 1 _^ I±3!1a\ ,/r— ä_B 
(17) (Uv-1 2+2 1-/» 4 nr^^'^^-'*-» 

'8(1-/9)1 2 a 



a 2(T-1) "' ■ 2 a, -*'!_„ j/^ - fUl 

so hat man 

^ »^l-/»(l-x) = (Ai'-« + Bx'-» +Ci^ +...)di 

und für die in (12) mit L zu multiplicirenden Glieder 

^ /r:r7-(r^r^»(Dx'-« +Ex'-i+...)dx 
ferner: 

(1 - ''>''.v~ri >/l-A(l-«) -= D (1-:J '.-»)■> x'- » dx + E(l ^,'r-»)«x"''-'d X 

+ Fn(l-x^-i)°-i(l_x)x«^'-»dx + .... . 
Diese sämmtlichen Werthe in (12) substituirt, giebt: 
di'yfl)_A '^7'dx , B x^-^dx _ x^dx 



dj: 
:x)* 



2-- l ^ ^l-kx)t V - ^1-k, 

+F(i-x)^-!:iiA-L + ....} 

(1 — kx)* i 

« I ^ ^ (1-kx)^ ^ ^(l_k; 

+ 2F(l-x'-i)(l_x) ^ll^llll+ ... ) 
(1-kx)^ i 

+ gL»/D(i_,'->)3 JL:ZÜL+E(i_,v-ixaxl:ldx. 
l. ^ • (1-kx)* ^ ^ (l-kx)i 

+ 3F(l-x'-»)''(l-x)^^l— ll + .... 1 

+ 4P (1 -.-.)• , 1 _.) iIl_L +..,.( 

(1 - k X)' J 



35 
^128 



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iächnidl's Arbcüieii. 143 

§ 10. 

Die Gleidrang (18) soll zwischen den Grenzen x =*= und x == 1 inte- 

grirt werden, der Werth von k wächst von bis 1, weil k = — p« n z 

ist er im Zenith, 1 im Horizonte. Im Zenith ist die Refraction gleich 0, wir 
haben daher das Integral für k von bis 1 zu lösen. 
Die alljgemeine Form der Integrale ist 

Q=J(i-x--0''.(i-x)- ^^_j;+q4., dx ...... a) 

die für die Horizontalrefraction wird: 

p und q sind ganze positive Zahlen, q in unserem Falle oder 1, v und n 
können dagegen auch irrational sein; sobald aber die eine rational, ist es auch 
die andere und wir brauchen nur diesen letzten Fall zu erörtern, weil es ganz 
in unserer Hand liegt v zu einer ganzen Zahl zu machen. Es ist nämlich 

1 a.b 1 



ll + mToa4*2b 

und da 1, a, b bestimmte Constanten sind, m auch bekannt ist, so können wir 
To so nehmen, dass v eine ganze Zahl wird. Unsre Refraction gilt dann aller- 
dings nicht fiir 0^ Temperatur, aber was schadet das, wir haben bereits bei 
den Theorien von Laplace, Bessel etc. die Art und Weise kennen gelernt, die 
Refraction von einer Temperatur auf die andere zu reduciren. 
Sobald V ^ine ganze Zahl ist, entwickeln wir 

kz£lll! = l + x+x2+ ...... +x^--2 

1 — X • •. 

und 

welches noch mit l_izi£ dx multiplicirt eine Anzahl Integrale von der Form 

x» . ' . 

^^ 

dx 






giebt. 

Nach der theilweisen Integration ist: 



J (1 _ x)i J d X J ' 

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144 Scfamidft Arbeiten. 

und f ^^ dx=^2x l^^-ynri^dxO 

Ji (l-x)i Ji 

Nach fortgesetzter theilweiser Integration ist: 

J» ^1 — X 3 Jl 

und setzt man dies X mal fort; so hat man 

(3). . . . r x^dx ^ 2A.(2A~2)(2X~4),...2 f a^,)^^, 

jl >^r^r^ a.ö.7...2i-i jl ^ ^ 

_ 2.4.6...(2A — 4)(2X>-2)2A 

• 3.5.7...(2X — 1)(2A + 1) 

Als Beispiel sei der Werth von folgenden Integralen angeführt: 

r^^2,r44L^l,33333... 
jl j/T^ Jl |/i — X 

ro X* d X ro x' d X 

-7 = 1,0666666 . . ., -7= = 0,914286 ... . etc. etc. 

Jl y^l — X Jl }^1 — X 

Damit ist also Qo bestimmt und man braucht nur zu substituiren, so 
haben wir die Horizontair efraction. 
Um Q zu ermitteln sei 

(l-x^~^)P(l-x)«x»«P 
und nach der theilweisen Integration haben wir dann ^p 

1 P 1 f Ti 

und weiter fortgesetzt und die Grenzen und 1 eingesetzt, erhält man schliesslich 

US Q + 1 fiP dx 

"ki(p + q-i)(p + q^i)...(p + q~^^')J^^^ (l-kx)P + ^-i + i 

das 4" oder — Zeichen, je nachdem i grade oder ungrade ist, wobei aber zu 
bemerken ist, dass der vom Integral freie Theil nur dann verschwindet, wenn 

in P, ^, j-j, etc. die Exponenten n, n — l,n — 2etc.positivundq, q— 1, q — 2 etc. 

imd p, p — 1, p — 2 etc. nicht zugleich sind. 

Die allgemeine Form von P, ^, g— j etc. ist 

x»(l-x^-y,l-x)'' 
und entwickeln wir dies nach Potenzen von x, so erhalten wir 

x°» +ax'' + bx*» + . . . . 
und der Ausdruck in (18) des § 9 ist durch (4) etc. zurückgeführt auf Inte- 
grale von der Form 

(5) f-i^i^ 



b mit J 



) Dies ist das Euler^sche Integral erster Gattung (a, b), es ist jmv vertauscht a mit X, 

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^ Schmidt's Arbeiten. ' 145 

Setzt man k = ,., / ,. und entwickelt nach Potenzen von x : 

(1 + /Lir 



+ 

1.3,5.(21—1) (4^)i 



^^ (l + iu)«^^ ^ + a + A*)* ^(1 + ^)*'' ^(1 + /.)«^ ^• 



■^ 2. 4.6.. .21 (1 + ^)21^* + •••• 
multiplicirt diese Reihenentwicklung mit x^ dx, integrirt zwischen den Gren- 
zen 1 und 0, so erhält man, wenn man nach Potenzen von fi ordnet: 

°dx _ 1 ^ 2 2n 2u(n-l) , 



ri x°d 
Jo /l^ 



/riTki n + l n + 2'"^(n + 2)(n + 3)'* ^ (n + 2)(n + 3)(n+4) ' 
. 2D.(n~l)(D--2) , 
"^ (n + 2)(n + 3Un + 4)(n + 5) ^ "^ ^""^ 

eine Reihe, die für n als ganze positive Zahl oder n = iüimer abbricht und 
convergent ist. 

Entwickeln wir säinmtliche Glieder in (18) § 9 in die unter (5) gegebene 
Form, so werden wir finden, dass sämmtliche Glieder sich nach (6) auflösen 
lassen, sobald v > 5 ist, denn dann werden alle n positiv oder sein. Die 
niedrigste Potenz von n kommt vor in der Entwicklung 

|>j_^y-n4 x^-Mx _ J^ (v-2)(v-3)(v-4)(v-5) Px^-^dx 

J ^ (i-kx)i 1^5 k* J j/r=n^ 

64 (2v— 3)(2v-4)(2y— 5)(2v— 6) P x^^-^dx 
105 k^ J /iUki I 

32 (3v— 4)(3v— 5)(3v— 6)(3v-7) fx^^-^dx 
■*■ 35 k* J ^iZl"^ ^ . . . .(7) 

_ ^ ( 4v— 5)(4v--6)(4v— 7)(4v— 8) f x^^-^dx 
105 k* j /riTki 

16 (5v-6)(5v— 7)(5v— 8)(5v— 9) Tx^^-^^ dx 

■*"io5 k* J j/rnk^ 

im ersten Gliede rechts, wo n = — 1 bei v = 5 zu sein scheint; doch es 
scheint nur so, denn es ist 



(v-2)(v~3)(v-4)(v-5) /?l,Üf==(v-2)(v~3)(v-4)(l-kx) »x 
J j/1 — kx 

(y^2)(T-3)(T-4)k I x"-^ ^^ 



welches für v = 5 tibergeht in 

3.2.(l-kx)'~^~3k f-— ^; — ö dx — 6 (1— kx)~« — 6 (1<- kx) "* 
^ j(l — kx)l 

auch für die Grenzen 1 und für x. 
Es ist nach unsern Entwicklungen 



a . b 



1 1 + mro a + 2b 
und mit den bekannten Werthen für 0,76 M. Barometer, 1 = 7974 Meter, 
a = 6366198, b = 49100 ist bei i:« = 

vo = 6,063976 

Bruhms, Refraction. 10 



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146 Schnüdt's Arbeiten. ^ 

Aus V (1 + 0,00375 t) = Vq, folgt für v = 5 

t = + 56ö,7 
also eine solche Temperatur, bis zu der wohl fast nie Beobachtungen am 
Himmel gemacht werden. 

Es ist eine einfache algebraische Operation den Ausdruck (18) § 9 nach 
den Vorschriften in (7), (6) etc. zu entwickeln und zu integriren. Ich führe hier 
die Rechnungen nicht aus, sondern gebe nur das schliessiiche Resultat mit 
den numerischen Werthen an; doch bevor dies geschehen kann, ist es noch 
nöthig den Einfluss der Veränderung der Temperatur und des Barometer- 
standes zu berücksichtigen und dies kann man auf eine sehr leichte Art, 
indem man nämlich 

V = 5 

v = 6 

v==7 
setzt. Unser Endausdruck für die Refraction hat nach (18) die Form: 

(8) (^0 = M l^ (21 + 33L + (SL« + S)L3 + ^L* +) 

1+jM ^ 

wo 51, 33, 6, 35, d abhängig von v und mit v nur Functionen von der Tem- 
peratur T sind. Dagegen L, M sind abhängig von a und veiiänderlich mit der 
Temperatur t und dem Barometerstand b. 

Schmidt bezeichnet die Refraction für v = 6, wo t nahe dem Eispuncte 
(t = + 2^,83), mit der mittlem Refraction und setzt sie 60^ und für 

(9) , . Jv = 6, (J0 = (J0ö 

\v = 7, ^0 = (J0O + A0 + A^0 

Für v = 6 + ^ ist alsdann nach dem Taylor'schen Lehrsatze, wenn man 
mit dem 2ten Gliede abbricht, 
(10) (y0 = <r0« + lA0 + l'A*0 

L und M sind, wie eben gesagt, von a abhängig und aus § 6 wissen wir, 
dass a proportional dem Barometerstande ist; um also nicht allein eine Cor- 
rection für die Temperatur, welche in v ausgedrückt wird, sondern auch die 
für den Luftdruck anzubringen, können wir, wenn *der Barometerstand von 
0,76 Meter übergeht in 0,76 Metör X (1 + A p); M übergehen lassen in 
M 1(1 + A p), L in L (1 + Ap) und aus (8) wird 

(ll)...(rr = M(l + Ap)|^(^ + S3L(l + Ap) + 6L2(l + Ap)*+S)L«a + Apr + . •) 
==(^0(1+ Ap) + M~^(l + Ap)Ap{93L + 2eL'» + 3^L«+...} 

= (1 + Ap)(<r0 + AAp) 
wenn wir 

(12) M?^(«L-f 2(5L2 + 3DL2 + ...) = A 

1 -f- ^ 

setzen. 



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Schmidf 8 Arbeiten. 



147 



v = 6 


v = 7 


0,9579052 


0,9540787 


0,0487457 


0,0520326 


0,0000297 


0,0000297 


0,9575806 


0,9537244 


0,0493607 


0,0527028 


0,0332345 


0,0367785 


0,000290945 


0,0003392055 


2429",21 


3400",73 


ß sin* z 





Nennen wir für v = 5 A = A^ — AA 

v = 6 A = Ao ) (13) 

v = 7 A = Ao+AA; 

80 haben wir für v = 6 + | 

A = Ao + AA^ (14) 

Schmidt hat mit v = 5, 6, 7 die numerischen Werthe berechnet und 
daraus nach (9) und (13) ^0^, A0, A^ßy A«, A A abgeleitet, er findet mit 

^ Qo=- 0,000294047, ß = 0,01524855, — = 0,007712609 

für V = 5 

A = 0,9617332 
B = 0,0457138 
C = 0,0000297 
D =- 0,9614370 
E = 0,0462756 
F == 0,0296608 
« = 0,0002423365 
M=1619",55 

und setzt man 

k =5 sin* t 

cos* z -{- ß sin* z 

wodurch wird 

A* = tg*ic 
so hat man für 0,76 Meter und 2<>,83 Celsius 

I485'',206 + 828",040/i + 512",906^* + 229'',938^8 
+ 76'',601^4 + 21",809^5 4. 6",760^6 + 2",354^'' + 0",791^» (A) 

+ 0'',255^9 + 0'S082^io + 0",020^»i + 0",006^« + 0",001^i3 

Für die Horizontalrefraction ist^=l, C=l und es wird (^0® = 36' 4",8, 
Bessel hat für denselben Barometerstand, für dieselbe Temperatur 38' 12", 
Ivory 35' 45",5. 

Es findet sich ferner: 

|0",071 + 18^,551^ + 49^,925^* + 58^,952^8 + 43",691^* 
+ 24'',058^» + ll'',045|U« + 4",948^^ + 1",968^« + 0'S730^» (B) 

+ 0'S258^io + 0'',071^" + 0",022^»* + 0'',004/i« 

I80",296 + 167",936^ + 162",366^* + 120",860^3 
+ 66'',045^^ + 28'',342^5 + ii",573/i« + 5'S034^' + 2'Sl78^«+0",927^9 (C) 
+ 0'',384^»o + 0'',150^" + 0",057^»* + 0",023^i8 + 0",007^»* 

jO",017 + 0'',557^ + 5'',081^* + 13'',497^8 + 15",241^* 
A^0 =» sin J+ 10'',990^5 + 5'',906^6 + 2''818^' + r',306^« + 0'',560^« (D) 

1+ O'',229^»o + 0'Sp95^" + 0",035^»* + 0",016^" + 0'',005^i* 

I0",024 + 6'',204/^ + 21",477^* + 34^,820^8 + 36'',93ö^* 
+ 28'',129^5 + 17'',511^8 + 9",800^' + 5'',084^» + 2",518|U» (E) 

+ 1",165^*« + 0'',494a" + 0",200^« + 0'',087^'3 + 0'S027^i* 

10* 



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148 Ivory*8 Arbeiten. 

Durch Einfuhrung zweier Hülfsgrössen A^^ und AA® 
indem man A» = 0,1667868 (J0o + A0^ 

A A = 4. A« + A Ao setzt, 

wird die schliessliche Form sein 

(Tr = (1 + Ap) {<^fi^ (1 + 0,16678681) + A0** I + A*H ^ 

+ [AnH-i« + AA«^]Ap} 
wofür 3 verschiedene Tafeln hinreichen. 



§11. 

Theorie von Ivory. 

Es ist schon erwähnt, dass, bereits vor Schmidt, Ivory im' Jahre 1823 eine 
Refractionstheorie publicirte und diese 1838 noch verallgemeinerte, indem er 
die Function der Temperaturabnahme noch um beliebig viele Glieder vermehrte. 
Wegen der Unsicherheit der Horizontalrefraction setzte er aber schliesslich 
die Coefficienten dieser Glieder == 0, denn ihr ganzer Einflusa auf die Hori- 
zontalrefraction beträgt wenige Secunden. Die Cassini'sche, die Simpson'sche, 
die Newton'sche, die Bessersche, die Schmidt'sche Theorie sind von seiner 
Theorie gewissermassen besondere Fälle. 

Behalten wir die frühern Bezeichnungen für den Luftdruck und die Dich- 
tigkeit p und Q bei, so war nach § 9 

pgo ^ 1 + mr 
Po^ 1 + m ro 

Ivory setzt 

^^ l + mTo ^ ^ + 1 

WO s eine von der Höhe in der Atmosphäre abhängige Constante und zwar 

^^^ • • • ' = l(l + mTo) 

wo h die Höhe über der Erde, 1 die bekanntere onstante ist. 
Setzt man tq = 0, so ist nach Schmidt's Theorie 



mithin f ür b = 49100, 1 = 7974 Meter 

49100 



b = (^ + l)l 

1=:5,03 



'*"" 7974 

Aus 

dp = — dh ^ 
und 

Po == 1 (1 + m To) ^0 
folgt 



Po 1 (1 + m To) ^0 Qo 

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Ivory's Arbeiten. 149 



woraus, wenn man integrirt, da nach (1) 

P ^ l + mr J^ ^ _Q 9_ s .^^ 

Po 1 4- m To (»0 ^0 ^0 /u + 1 ' 

folgt 

und nach s differentiirt, kommt 

— —TT + 1 1 TT I — ;4— d 8 = — d 

^0 /u + 1 y ^ + 1^ (>o d s ^0 

daher 

ds 

i£ = ^ (i 1 1 \_- . z^ + i 

i^+1 ^H-1 

welches integrirt und die Constante richtig bestimmt, giebt: 



s-^ 



oder 
mithin 



Po y /i + v 



Cassini's Theorie wird genügt, sobald fx = 0, Simpson's, sobald [.i = 1, 
Newton's, sobald fi= (x>^ weil |l 371 1 fur^+ l = ooine~* über- 

geht, gesetzt wird. 

Nimmt man für s einen andern Werth an, so bekommt man leicht das 
Resultat der Besserschen Hypothese 5 setzt man nämlich 

8 — i^ —'—ÄS 

und nehmen wir ^ = 00, so finden wir den Besserschen Ausdruck in § 7, aber 
wir werden später sehen, dass BesseFs Hypothese in Hinsicht der Temperatur- 
abnahme beträchtlich von den Beobachtungen abweicht. 
Ivory ändert auch s, er behält bei 

J- =^ (1 t-Y 

Qo y ^+1; ' 

er setzt aber 

wodurch 

^^.-(■-.-il){'-'*'('-.-TT)'-V"- 
Lassen wir ^ in oc übergehen und setzen ^ . = u, so haben wir 

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150 Ivorjr's AtJjeiten. 



'■' - e 



— U 

= e 

1 + mr ^i^f(i^e~") 
1+mTo 

^==(l-f)e~Vfe" 
Po 



Aus der Leslie'schen Hypothese ist f = ^ und mit diesem Werthe fuhrt 
Ivory in den Philosophical Transactions von 1823 die Rechnung durch und 

giebt Tafeln dazu. 1838 verallgemeinert er noch die Hypothese fiir 5-57-—» 

indem er setzt 



1 + m 



T 



l_f(l_e ^^)-y(u) 



1 H- mro 

WO qp (u) eine solche Function ist, dass sie mit u = auch wird. 
Er setzt 

y (u) =- f (R2 + Rs) - f" (K3 + 2R4 + R5) + . . . . 
wo 



1.2 ^ 1.2.3 



R3 = l-u + ^-e =:.-^ 



1.2 " 1.2.3 • • 

etc., f, f etc. aber Constanten sind; und führt die Entwicklung mit f bis zum 
Schlüsse durch ; das mit 

(welcher Werth nach den Versuchen von Dalton und Ramend folgt) erhaltene 
Resultat fiir die Horizontalrefraction stimmt aber so naha mit dem beobach- 
teten Werthe überein, dass f nahe wird, der numerische Coefficient ist nur 
60" und daraus erhellt, dass die Horizontalrefraction schwerlich das Mittel 
sein wird, f zu bestimmen. Um die Entwicklungen nicht zu weit auszudeh- 
nen, lasse ich f ganz fort und setze nur 



a-fu^f^.-f.-^ + f,- ^* 



1.2 1.2.3 ^ 1.2.3.4 

= l-q 



n2 



wenn q = f u — f j-^ + ^ r2~S — ^ r~2~3~5 + • • • • gesetzt wird.. 
Ferner ist: 

(2) ; • • • !-=«-" 

daher 

/Q\ P (> 1 + mr .. ^ — u _u r — u , u« , u« 



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Ivory's Arbeiten. 151 

Es sei h die Höhe in der Atmosphäre unda der Erdhalbmesser, ausserdem 

so ist, da nach §.2 



wenn man g = 1 setzt, auch mit Berücksichtigung von (2) 

oder mit (3) 

f^ dcT.e,-" === _P- JPl = JPl L-u _f e-« (1 - e-«) l 

j Po Po Po l i 

und 

d(y = ^|du — fdu + 2fe-" dul 

und integrirt, wobei die Constante, da mit a auch u = wird, 2 — i ist. 
(T == ^ |u + f (2 - u - 2e -")l 

=.^/L±Jq + L=ij!-+Lziij!+l^fji+ l .(4) 

^0 l f "^^ 2 P ^ 6 £3 ^ 4 f4 + • / • • W 

wenn man die obige Reihe für q umkehrt, wodurch wird 

Einfacher nofeh wird die Gleichung (4), wenn man Logarithmen einführt. 
Aus (3) ist 

- ^^ a + i ^ (1 + f^) + i -|- (1 + f«) + . . • 

und dies in (4) ^etheilt giebt 



l^ Pi ^0 ^ *^ I2f(l + f)^ • -^ 



(5) 



worin q = ^-^^; — auch gesetzt werden darf. 

Nach dieser Formel kann man sehr leicht nach- Ivory's Theorie, sobald 
der Luftdruck und die Wärme in einer Höhe gegeben ist, diese berechnen. 
Ivory benutzt die Formel um damit f zu finden. 

Will man noch Rücksicht auf die Feuchtigkeit nehmen, so hat man nach 
den neuesten Versuchen, wenn q)Q die Spannung der Wasserdämpfe bezeichnet 

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152 Ivory's Arbeiten. 

der grösste Werth von (po ist 0,36 Zoll, also die Veränderung von qq höchstens 
''^ ^~" 8" ^Ö~ ^^ ^ — 222' ®^^^ Grösse welche immer sehr klein ist; aus a wird 
damit statt (4) 

(6) a^ 1 . Jl (u + f(2-u-2e-'^)} 

8 Po 

Gehen wir jetzt zur Refraction über, so haben wir nach § 2 

dpa. 
— a — ^ — sin z 

{'-^"('-iwK'-^-c-i)-^"»- 

oder setzt man -^ = 1 — w, — = — dw 

__ h ahj3^ h a ^ h r — h a 

^h^ r'a r* a r r r 



SO kommt 



d (<f 0) = q ^ sin z 

1 — 2«w 



K l-~2«v 



sin* z 



Für :j — setze ich den Mittelwerth ij oder 1+ a und — ==ix+ «w, 

1 — 2a w 1 — « ' a ■' 



dann wird 

1 — 2aw 



1 + 2xi + 3x«i2. . . , 



also 

(7) ...... . d((r0) = a(l + «)sinz ^^ ' ^ 



|/co82z + 2xi + 3xM« 

Hierin sind aber noch mehr als eine Variable und zuerst ist es nöthig 
sie auf Eine zurückzuführen. Nach (4) ist 



(y==aix+ aaw = -^ {u + f (2 — u — 2e"~'')) 
^0 ^ ^' 



und setze ich 



Po ^ 1(1 + mTo) ^ . 

kömmt 

ix + « — «e-^'^i |u + f (2 — u — 26""")} 
woraus 

(8) x = u-y (l-e--") + f (2~u-2e-") 

= u — */>• (u) 
folgt. 

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I 17017*8 Arbeiten. 153 

Nach dem schönen Lagrange'schen Theorem ist: 





e," 


-" = 8- 


- X 


- 6 - ^ ^{X) - 


-i 


folglich 












due-'* 


== die" 


-^'- 


e" 


-V-Wdx + 


i 



d ■ e~ '^ 4P» (x) 
dx 



d'. e-.'P»(.) ^^,^ 



(9) 



e 



dx» 
Es findet sich ferner 

-r»^(x)==-^(e~*-e-2^)-f (2e-*~xe-*~2e-2^) J . . .(10) 



d.e~'y(x) 
dx 



dx = -?^ (2e-2^-e-*)-f (4e~*^-3e-^ + xe-^) 



und »ebenso lässt sich das 2te DiflFerential von e"^ tp (x) finden. Führten wir 
dies aus und berechneten nachher seinen Werth für die äussersten Grenzen 
von X = bis X = Go, so würde sich zeigen, ebenso wie in § 3, dass der 
grösste Werth dieses Ausdrucks für die Horizontalrefraction wenig über 1" 
beträgt. Auch wenn wir den Nenner in (7) 

(cos«z + 2ix + 313x2) "■* in(co8«z + 2ix)"'^ — | ^^^* 



(co8* z 4- 2i x) 



entwickeln und das Integral (7) dadurch in 2 Theile theilen, wird dieser 2te 
Theil ebenfalls zu vernachlässigen sein. 

Wir haben daher einfach statt (7), wenn wir aus (9) und (10) die Werthe 
einsetzen und integriren^ 

j - dxe-^ a_ px (2e-^^~e~^) 

j / cos2 z + 2 i X i J |/co8» z + 2 i x 



(^0 =s a (1 + a) sin z 



-f f. /^ == (4e~2-~3e — ~xe--) 
^ J/cos^zH- 2ix ^ ^ ' 



. .(A) 



Die Grenzen von x werden aus den frühern Gleichungen sichjeicht her- 
leiten lassen, sie sind und die Höhe der Atmosphäre getheilt durch i oder 1, 
also wenn wir die Höhe zu 10 1 annehmen, etwa 10. Wir könnten aber 
gerne dafür und oo nehmen, denn von 10 bis go ist, wie wir sehen werden, 
der Werth der einzelnen Integrale ziemlich = 0. 

Um die Integrale aufzulösen, ist es ein leichtes sie auf die uns schon be- 
kannte Form 

/e-"dt 

zurückzuführen ; man braucht nur 

cos^z + 21 x==a t« 
zu setzen und für die Grenzen und 10. Hätte man 2 endliche Grenzen 
A und B, so brauchte man nur von A bis oo und von B bis go zu integriren 
und die Werthe von einander abzuziehen, so wäre das Resultat gefunden. 



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<^öogIe 



154 Ivorjr'fl Arbeiten. 

t 
Ivory hat aber eine sehr elegante Auflösung gegeben und von dieser gebe 

ich hier noch einen kurzen Abriss. 

Betrachten wir aber erst den Fall der Horizontalrefraction, so werden 

die Integrale, da cos z = ist, einfacher; nehmen wir noch die Grenzen 

und 00, so haben wir 

Jo /2K ~"j/2l Jo® "^y- /2i' 
wenn wir y = y^x setzen. 
Ebenso folgt 

^^ 1== dx =» -*7== Y^— 1 etc. 

und mit den Werthen von Ivory: 

a = 58",47 
fUr 30 Englische Zoll und 10® C. (im Mittel aus Brinkley, Delämbre, Bessel, 
Arago und Biot) 

' i = 0,0012958 
^ = 0,21878, f=-| 

findet sich die Horizontalrefraction 2072",46, während sie 2070" sein soll. 

Zur Auflösung der Integrale zurückkehrend, setzen wir die oberste 
Grenze = m (10) und ferner 
(11) . . . cosz = cotg(y) |/2 im, tg | y = q, wodurch co8*z = . ^ ^ 2 im wird, 

dann ist , 

/cos« z + 2 i X = l/^^ 1/(1 - c»)2 +'4 c« ^ 

- ^5 j/(l~cT + 4c«^ 

Aus (A) wird: 

c d X 






(1 — cy + 4 cä» ^ 
m 



(3)....^°-^)..../^"/,. -"' .(.e-^--e--) 



Jo}/(l-cn»+4c»- 
Jo )/(l-cT + 4c» 



-f( ^^ """ ^^(4e-''*-3e-^ + xe-^) 



Nehmen wir erst das erste Integral und setzen 



wodurch 



^-^ 




6-^ = 6-"»' 




d X s= md t 


wird, 




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lyory's Arbeiten. 155 

80 haben wir 

ri cdt.m.e-"* 



r 



(12) 



jo ((1 _ c»)« + 4 c» t)* 

Der Nenner nach Potenzen von c entwickelt ist 

((1 — c«)» + 4c»t)'~*^==l + p2(i_2t) + c*(l — 6t + 6t«) + . . . 

j-o»«»/! n/nJ.lW^(!^zi)£<^±l)(E±H)f« (n~2)(n-l)n(n+l)(n+2)(n+3) \ 

+c ^i-n.(n+l).tH- 1.2.2.4 '^ 1.2.3 . 2 . 4T6 * "^ ' j 

12.2 2 2.2 

und aus (12) wird: 

rrndte""** {c + c8(l — 2t) + c* (l — 6t + 6t«) + . . . . 

+ c^°-^Ml~n(n + l)t.f ^°~'\°^^•*;'^^" + '^ «-■ . . .) 
Das erste Glied hiervon integrirt ist: 

c Pmdte--"** = c — ce~°* 
das 2te giebt 

c» pindte-"** — 2c8 Tm t dt 6-"^*= A— ^) c» + /l + -^j c^ e""* 

wenn man vorher die letzte Hälfte durch theilweise Integration aufgelöst hat. 
Das (n + 1) Glied hat die Form 

c^°-^»j;m.dte-°>{l-°(° + l)t-f ^''~'y2''2^°'''^ t«- } 

welches , wenn man wieder die theilweise Integration zu Hülfe nimmt^ 
gleich wird: 

^211 + 1/1 ^n-fl . n.(n-l) (n- H)(nH-2) d.(ii-1)(d 

^ r"^"S~"'""T:2 'm^ 1.2.3 

(n4-l)(n + 2)(n + 3) 



m-* 



+ 



] 



,2n + i,-«n/. ii. (n-hl) , n.(n-l)(n-H)(n + 2) n(n~l)(n~2) 
-c e |l--__ + _-^ j^ j-^-^ ^(j3j 

(D + l)(n + 2)(n + 3) \ 

rxä ■*" — / 

'. .2n + i^~m n.(n + l) f, n-l.n + 2 (n-l)(n-2) (n-f 2)(n +3) 

^2n + i^-m n.(n~1)(n-H)(n-f2) f n-~gn4-3 (n-2)(n~3) 
1.2 m2 Y 1.2.3 1 "^ 1.2.3.4 

(n + 3) (n + 4) \ 

1.2 / 

• + etc. etc. 

Alle in den Klammern eingeschlossenen Reihen, die erste ausgenommen, 
sind aber = + 1 und dadurch wird der Ausdruck sehr vereinfacht. 



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156 Iviury'B Arb^ten. 

Haben wir nämlich 

80 ist «/^"«t'^Cl— t)" 

und 



(H'^ii/" n.(n — 1) _ ^ t* 

_|-^=l-n(n + l)t+-b-^(n + l)(n + 2)i-2-. 

* ' I ^ n.n + 1 8 j n.n — 1 n + l.n + 2 8* 



(«) 



wenn man 

t = — setzt, 
m 

Setzt man in *'"= t° (1 — t)" t statt 1 — t und 1 — t statt t, so wird die 
Function nicht geändert; macht man dieselbe Veränderung im Isten, 2ten, 
3ten .,. . nten etc. DiflFerentialcoefficienten, so ändert sich auch darin nichts, 
ausser, dass das Zeichen bald positiv, bald negativ wird, je nachdem n un- 
grade oder grade ist; man hat also: 

Vergleicht man dies mit (a), so zeigt sich, dass 
I _ + n n rnil^ i n.(n--l)(n-fl)(n-2) n(n~l)(n~2)(n+l)(n+2Xn+3) 

n(n+l)^ , /n.(n + l) _ n . (n - 1) (n + l)(n -f 2) \ 

m — \^ m 1.2 m + • • • • j 

) 
etc. etc. ist. 

Wenn man links imd rechts theilt, so finden sich unsre in den Klammern 
aufgebahrten Reihen; man erhält daher, wenn man auf die Zeichen gehörig 
Rücksicht nimmt, für (13) 

c^''^^j;n.dte-»{l-n(nfl)tH. (°-^)"/y^^^" + ^^ '--j 

-c»"-^'/! n (" + ^^ n(n-l)(n + l)"(n + 2) \ 

+ e^-' + U-'-jl + n^^ + q,(g^)(,flMn + 2)^ I 

und das erste Integral von (B) oder das Integral in (12) wird 

/•m cdx 

(M). .. j /^ e"~''-=cA,+c8A3+c5A5 + ...+c2°+^ A11 + 1+ .... 

Jo ^(l-cV + 4c«-^ 



n.(n— l)(n4-l)(n + 2) _ , /n(n-l)(n+l)(n4-2) _ n(n-l)(n-2) 
"*" 1.2. m2 ~^ \ 1.2 m» 1.2.3 

(n-H)(n.f2)(n + 3) 

1.2m« "^ • 



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lYOTfs Arbeiten. l57 



WO 



Ao . /l ^ n4-l , n.(n-l)(n4-l)(n.f2) ) 

+ e - "^ {l + n ^^ + -^1> (n±l)^ +....) ist . 
Das 2te Integral in (B) hat das erste in sich und ausserdem noch 

wenn man wieder — = t setzt, welches aber nichts anderes ist, als unser 
erstes Integral, wenn man 2m mit m vertauscht; sein Werth ist daher: 
c ai + c8 as + c5 ag + . . . . \ ^ 

woa -^ fl "("-^^) , n(n-l)(ii + l)(n + 2) \ I 

^o »2»+ 1 =- |1 2^— + -Y72 4^[2 1 \ .... (16) 

T «-2m f. . n.n + 1 n(n~-l)(n + l)(n-h2) \ 

Das ganze 2te Integral wird aber: 



/^ c d X 

Jo j/(l-c»)H4c» 



X 



(2e-2^ — e-^) = cBi + 0863 + 6*65 + (17) 



a 



wo Bi « y (a, — Ai) 

B3 = y (aa — A3) 



Bn == -?- (an — An) ist. 

Der 3te Theil in (B) hat ausser den schon aufgelösten Integralen noch 
das Integral 

Aa d X . X . e — 3c 

X }/(l-c')» + 4c»^ 
welches sich auch auf die schon bekannten zurückführen lässt. Es ist nämlich 

l/(l-cT + 4c^^e-' = -7 ' :e ' + — . 

^ j/(l-c«)2 + 4c2^ [/(l-c2)«i-4c«- 

Subtrahirt man auf beiden Seiten 

e-* 2c2 



1/(1 — c*)2 + 4 c2 ^ 



m 
m 



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158 


Ivory'fl Arbeiten. 


so erhält man 




j e ~ ^ 2 c« 


1/n CT I Ic^^ c-^ . (l-c«)«e~- 


Im l/\l - c«)« + 4 c« ~ 


|, (i C) 1 IC ^ C r 

1/ (1 - C2)2 + 4 C2 -^ 


4c2 


xe-* e-^ 2c2 


* m i/r- 


._x i/. xia 



Mul^iplicirt man mit j-^ dx und integrirt zwischen den Grenzen und m, 
so kömmt, da links ein vollständiger Differentialcoefficient steht: 



(1 _ ca)> + 4 c2 — 
m 



^ / * xe~^dx ^ r e~'dx 

Jj/(l-c«)> + 4c»-^ Jj/(l_c>)» + 4c«^ 

worin noch die Grenzen und m zu setzen sind. Dadurch sind also die vor- 
hin noch -unbekannten Integrale auf bekannte zurückgeführt und schliesslich 
haben wir für das ganze 3te Integral in (B): 

(19).... ' T , "'^^ (^-~" °-~" I -"-'} — 

Jo j/(l-c>)> + 4c^-^ 

-2fc I / + f fc I , 

Jo ^(l-c«)»+4c«-^ jo J/(l-c«)» + 4c»^ 

J« j/(l-cV + 4c«^ 

^ C 

= — f {C, C + C3 C8 + C5 C^ + C7 C + } 

WO • C,=2a,-f A, +5A,-|A3-|(l + e-°*) 

Cs =- 2a8 — I A3 — I A, + 5 A3 — I A5 
C5 == 2a5 - I As - I A3 + 5 A5 - I A7 
C7 = 2a7 - I A7 - 4 A5 + 5 A7 - I Ag 

C2n+l = 2a2n + l — |A2n + l — |A2n — l + 5A2n + l — |A2n + 3 



Das hierin noch nicht enthaltene Glied: 

2 c 
wird, da Ai = 1 — e-"^ ist, Null 



M{l-A.-e-), 



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Ivory's Arbeiten. 159 

Die numerischen Werthe von A|, A3 etc., ai, as etc., C|, C3 etc. lassen 

sich leicht finden, sie sind frei von allen Cpnstanten, nur in Bj, B3 etc. ist -?- 

enthalten und es ist grade das bequeme der Ivory'schen Theorie, dass man 
mit veränderten Constanten so sehr leicht Tafeln entwerfen kann. 
Die numerischen Werthe sind: 



A, =0,9999546 
A3 =0,8000545 
A5 =0,5199219 
A7 =0,2801326 
Ao =0,1277363 
Ai, = 0,0502072 
A,3 = 0,0172805 
A,5 = 0,0052779 
An =^ 0,0014467 
A,9 = 0,0003593 
A21 = 0,0000815 
Aas = 0,0000170 
Aj5 = 0,0000036 



'^^ = 0,0000454, 

ai =1,0000000 
as =0,9000000 
a« =0,7300000 
an =0,5350000 
a« =0,3555000 
ai, = 0,2150500 
ais = 0,1189450 
a,5 = 0,0604215 
ai7 -= 0,0283127 
a,9 = 0,0122898 
aja = 0,0049621 
a« = 0,0018695 
ajs = 0,0006623 



e- 20 ==0,0000002 

B, =0,000010 
B, =0,021866 
B5 =0,045961 
B7 =0,055760 
Bft =0,049829 
Bn = 0,036064 
B,8 = 0,022242 
Bis = 0,012064 
Bit = 0,005878 
Bi9 = 0,002610 
B« = 0,001067 
B50 = 0,000405 
Bjs = 0,000144 



Ci =0,000362 
Ca =0,000445 
C5 =0,059339 
Ct =0,151186 
C» =0,204491 
C„ = 0,193076 
Ci3 = 0,142381 
0,5 = 0,087220 
C^^ = 0,046149 
C,9 = 0,021658 
Cs„ = 0,009187 
Gas = 0,003569 
Cj5 = 0,001290 



wo 



Für die Horizontalrefraction ist c = 1 und sie wird: 
<r0 = 2036'',52 + 184,50 — 148,51 = 2072,51. 

Zwischen den Grenzen und 00 betragen die einzelnen Werthe 
(TO = 2036",52 + 184,56 — 148,63 = 2072",45. 

Der vollständige Ausdruck für die Refraction ist in Secunden 

IC . 726",687 + c8 . 597'S280 + c^ . 40l'',638 + c' . 219^,674 
c» . 96" ,012 + ci» . 31^,513 + c« . 5",728 — c" . 1",483 
— c" . 2",129 — c" 1^337 — c«» . 0",649 — c'^ . 0^^,270 - c«» . 0",102 

lg tg y = lg sec z + 19,2067840 — 20 
Bis z = 81^ reichen die Glieder bis c*^ aus, 



<r0 



ist. 



bei 87^® betragen die übrigen Glieder 0",06 



„ 88 




J? 




» 


0,14 


„ 88i 


yy 


yj 


77 


?7 


0,38 


„ 89 


71 


j) 


?> 


?? 


0,86 


„ 89i 


)y 


77 




?; 


2,30 


»90 




;> 




>? 


5,91 



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160 Ivory's Arbeiten. 

§ 12. 
Die Correction wegen Barometer und Thermometer. 

Es ist nun noch nöthig aus der mittlem Refraction die wahre zu finden 
und wir wissen bereits aus dem frühem, dass a und i veränderlich sind, mit i 
ist aber auch c veränderlich. 

Wir haben nämlich die Gleichungen 



(1) m 



« q -f «) f ^ _^ « ^ -^ 1 



wenn ich die einzelnen Integrale in (B) des vorigen § mit Qo, Qj, Qg be- 
zeichne. Es ist ferner 

DiflFerentiiren wir Gleichung (1) und vernachlässigen wir a d a, so 
haben wir: 

, d(Qo + -f Q,-fQ*) ,. ,., , 

, d c ^ " 1 ' fd« dil « ^ \ 

+ — d^ '' + tV-T}TQ') 

und aus (2) ist: 

de ^ di 1 — c* 

daher 

..-..L.i^\ .a-..>. f ^i'^-"^ i_,. -(Q.+|Q.-fQ.) l 

V"/ |/5iil 2 'l + c« de J 



^5 

a 
"'-1/5 



a(l -¥ a) /da di\ a ^ 
+ sm z 7== — I r I T" ^» 



Setzen wir: 



d(Qo+-fQi~fQt) 






(3). 

tt (1 -f ft) «^ Q, 
(/öi i B 

wo /^ den Ausdehnungscoefficient der Luft für V Wärme, B den Normalstand 
des Barometers bedeutet, so haben wir: 



) , . ,. 

f b ^= sm z — -;== — 7- -^ 



(4) 



- = '»(' *T)-i¥H-b.B(ä?.fi) 



Nach dem frühern ist, wenn «o; ^o die Constanten für die mittlem Tem- 
peraturen To der Jiuft, tq des Quecksilbers und den mittlem Barometerstand 



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Ivory's Arbeiten. 161 

B bezeichneii, wenn a, i die wahren Constanten bei den Temperaturen r, zr' 
und dem Barometerstande p sind, und ß* der Ausdehnungscoefficieüt des 
Quecksilbers ist: 

P 1 1 



« = «0 



daher: 



B l+^'(T'-T'o)l+^(T-ro) 
i = io (l + /J (t — To)) 

a — «0 d« p 1 1 



— 1 



«0 « B 1 + /?- (t' — T'o) 1+ /9 (t — To) 

1 ^ d«_ p 1 1 

^ a B 1 + /J' (t' - T'o) l-f-ßir^To) 

—7 = ^ = /J (T — To) 

dj da _ p 1 1 1 . j/ \ 

i "*■ « ~ B 1+ /r (T' - ToO 1 + /? (T - To) ~ ' "^ ^ ^' ~ ^^^ 

_P~B 
■" B ' 

wenn man die Glieder höherer Ordnung vernachlässigt. 
Dies eingesetzt in (4) giebt: 

<'' = rT7f^Bä+7fe^^r7y)-T(^-^o)-b(B-p) (5) 

Ivory hat für tq = r'o = ÖO», ß für 1» Fahrenheit = -^ , ß* = rirtinrj 
B i= 30 Engl. Zoll und damit wird (5) 

rf0 j^^ -. 2-7:^55- - T (r- 50) -b (30 -p) " " <^> 

l + ^-L(,_50) 30(l+Ij^) 

und die numerischen Werthe von T und b sind nach den frühern numerischen 
Werthen von Ai, A3 etc., B^, B3 etc. 

T = sin z |0",369vc8 + 0",685 c* + 0",712 c^ + 0",530 c» + 0",317 c" + 0'M59 c«}] 

• . (7) 
b = sin z |0",530 c» + 1",113 c» + 1",350 c'' + 1",207 c» + 0",873 c" + 0",539 c's J j ^ 

§ 13. 
Theorie von Lubbock. 

Im Jahre 1840 publicirte Lubbock Refractionstafeln und 1855 veröffent- 
lichte er seine vollständige Theorie. Die Art der Ableitung ist der Ivory'- 
schen ganz ähnlich und die Annahme der Function für die Temperaturab- 
nahme lässt sie auf jene zurückführen. Die Function genügt ebenso gut, wie 
die schönen Theorien von Schmidt und Ivory, den Beobachtungen, und in § 15 
werden wir sehen, dass die Differenzen im Drucke der Luft und in der Tem- 
peratur erst in solchen Höhen beträchtlich werden, bis zu welchen wohl 
schwerlich die Experimente der Physiker sich werden erstrecken können. 

Bruhms, ReAraction. ~ 11 

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162 Lubbock'9 Arbeiten. 

Die Theorie von Lubbock giebt für die Horizontalrefräction nahe dasselbe 
Resultat wie die Ivory'sche, der Ausdruck für die Refraction ist eine ähnliche 
Reihe, die aber noch viel schneller convergirt, als die von Ivory. 

Lubbock setzt, wenn wir die frühern Bezeichnungen beibehalten : 

i-y y- i ( r-n 

l-hmr _ Po ^ -E _ /JL\ ' j i-Epo r [ 

p r ^E ll-Ep ^ ) 

wo y und E Constanten sind. 

Biot hat in der Connaissance des temps pour 1841 eine Tafel gegeben 
mit den von Qay-Lussac bei seiner Luftfahrt beobachteten Daten, und aus 
verschiedenen Beobachtungen findet Lubbock für y und E die Werthe 

y = 1,4910 E = — 1,1618 

er nimmt dafür y *) = 1,5 und E entsprechend = — 1,1919 und aus (1) wird: 



(2) 


l + mT p-i_E W l^Ep* 


Da 






l + mTo V ^ 9 
l + mT Po "* go' 


80 ist 






i~r 


(3) 


e p(p^-E) pt — pE 


Setze ich 




(4). .... . 


' 1-Epo »• 


wodurch 





y-1 
H « — 



Epo ^ 



r ~i 
1 — Ep« ^ 



so wird aus (1) und (3) 
(ö) 



1 + IBT ,^ , ^ 1 

1 



^) Dulong findet für voükommeu trockne Luft y ^= 1,421. Siehe Poisson's M^ca- 
nique Tom. IL § 637. 



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Lubboek's Arbeiten. 163 

Um aus der Barometerhöhe und der Temperatur die Höhe über der 
Erdoberfläche berechnen zu können, haben wir nach § 2: 

^^ — «"1^^^^^ - 

und da nach (3) 

i-y 

p (p r — E) . . 
Q=-Qo ^ ^ 1 ^ y ist 

Po (Po '^ -E) 

aMh Po (Po y — E) dp , , -J- dp 

W+W ^ ^o lE? =- - 1 (Po -E)— ^^^^ , 

P (p ' - E) p (p y - E) 

welches in 2 Partialbrüche zerlegt und integrirt, mit Bestimmung der Con- 
stante für h = 0, giebt 

y 

Für y ^ 1,5 wird aus (5) und (8) 

-?- = (l-q)»(l-Hq) \ 

Co i 

— 4=ff'ga-Hq) ( ^,. 

a 
wobei q = 1- (^\*, H, für Po = 1, = 0,54378. 

Für die Grenze der Atmosphäre ist p s= 0, q = 1 und h wird aus (8) 
gleich der Höhe der Atmosphäre etwa 4,8 Meilen, die Temperatur an der 
Grenze wird aus (5), bei m = 0,00375 für 1« C, — 266«,67 C. = — 448« Fah- 
renheit. 

Lubbock setzt, um das in (1) gegebene^ Wärmegesetz bequemer anwen- 
den zu können 

lg(l-Hq) = -u 
dadurch wird 

(1-Hq)==e-« } (10) 

^ H 

und aus (9) wird 



11* 

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164 Lubbock's Arbeiten. 

Setzt man 

(11) / "=""-^ 

l e-""=l-H 
so hat man: ^ 

(12) -^ = ü^^ {e''"-2e^^ +eu| 

Gehen wir zur Refraction über, so haben wir nach § 11 die Gleichung: 

d w 



d <f = a (1 4- «) sin z 



K l~2«w . , 



nach (8) und (10) und = a i u 

(13) wenn i = — = gesetzt wird, ist; 



dadurch wird 

1 — 2aw 1 — 2«w 



(-x)" 



(l-iu)2 



= 1— 2aw + 2iu + 3i2u2+ . . 



wofür wir, wenn wir iu — aw = xi, also 

(14) x = u ;-w setzen, erhalten : 

so dass wir dadurch bekommen: 

d w 



d {<f 0) = « (1 4- «) sin z 



^cos«z+ 2ix + 3i2x2 

einen vollkommen ähnlichen Ausdruck, wie in der Theorie von Ivory § 11. 

Wir theilen ihn in 2 Theile und haben: 

d w i^ x' d w 

(15) .. d<f0 = «<!+«) sinz -7====== — 4 a (1 4- «) sin z z 

l/cos2z + 2ix ^ ^ (cos'-^z + 2ix)i 

Das 2te Glied ist wieder, wie in den Theorien von Laplace und Ivory sehr 
klein, kaum 2", wir könnten es daher vernachlässigen, es ist aber ein sehr 
leichtes es mitzunehmen, wie wir gleich sehen werden. 

Betrachten wir zuerst das erste Glied, so sind darin noch 2 Variable 
w und X, die durch unsre Gleichungen (10), (11) und (14) von einander 
abhängig sind. 

Nach (12) ist: 

(16)....|-==(l--w)==(i=^^{e«u~2e^u+e^} 

H« \ -24 120 1.2.3.. .n ], 



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Lubbock's Arbeiten. ' 165 

Es ist 

ü = u'' — u 

_u'^^x- ^w ^ (17) 



und nennen wir 



(x"-s)=X J 



(18) 

(X 

so habän wir 



1 Po 

=ü--?^f(ü) 



und nach Lagrange's Theorem ist: 

ü=X+^fX + j|.,l^ + .(19) 

Aus 



1 Qo 



folgt 

1 (po 

und mit (19) 



Ci <.xr . « 



:« d(fX)g 



i ^^^1.21« dX ^- • 
oder • ' 

1 w fXa. « d(fX)« «2 d^fX)« 

und daraus 

_ dw_dw d(fX) « d«(fX)« . g« d8(fX)« . ^ 

dX^dx"" dX "^2.1 dX« "*" 2.3.i* dX» "^ ^"^^ 

durcl) welche Gleichung d w in dx ausgedrückt ist. 

^^ "dX ' d Y8 ^tc* ^^ finden, brauchen wir nur in (16) ü mit X zu ver- 
tauschen und wir haben 

fx-a^{x.H..x.H.|x.^;|x...... .f»;-^;*V ^., 

Daraus 

(fX)« = (i^J)l|x4 + 4X5 + 8jX« + lliX'+ +.. 

(fX)3=;ÖL:^S! |x« + 6X' + 18J X« + 37i X» + + . . 

(fX)*4-^^"^^^|x«4-8X9 4-32iXio + 88X"+ +.. 



(21) 



etc. etc. 



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166 LubbocVs Arbeiten. 

Führt man noch (f X)^ etc. aus und differentürt^ so erhält man schliesslich: 

(22). . . ^ = AtX + A,X2 + A3X34-A4X» + A«X6+ ....) 

wo Ai, A,, A3, etc. aus (21) folgende Zahlenwerthe sind. 

Führt man noch in (15) Hülfsgrössen ein, wie wir es bei Ivory gethan, 
indem wir: 

1/2 i x" .. ^ . 2 c 
cos z = L- , tg A y = c, tg (^ « 

tg (p 1 — c* 

setzen, wodurch 
(23) / wird, und setzt man noch 



V 



(1 — c«)« + 1^ « 1 — c« 4- 2 c» 2: 



also 



«(! + «) sin z , ■ d X =s 



wodurch 

dx == (X" — x" c» + 2 x'' c« C) d fc 



4^ 2 c.« (1 + «) sin a i^ d ^x'' 

U X , U X 



j/cos» z + 2 1 X 1/2 i x" 

oder 

2 rt (1 4- a) sin z 



^1^ JL^''" ^ X" c Ja» :5t + Aa X» + A3 X3 + A4 H* + . . . j d c 



d<r0 

wird. 

Weil X « (x'' — X) = X" (1 — 5) (1 + c2 0, 

so hat man schliesslich 



(24). 



4- A3 {x''a-0(l+c2ö}^+ A3 {x" (1-^Xl + cH)}^ + . . . } d C 



und wenn man integrirt und bedenkt, dass die Grenzen für ^ zu und 1 ge- 
worden, ausserdem nach der theilweisen Integration 

j^ t (1 4.' ." t — (m + l)(m + 2)(m + 3) . . . (m + n + 1) 

ist, so erhält man für das erste Glied in (15) 

fA, x"» , Aj X"» , A» x"* , \ 

, . f A. X'" , 2A,x"» . 3A3X"« . i . 

„ ^, ^. +(-2:r+-3:4- + — o— + --r' 

2a(l + «)8inz/ 

K2ix \+| 5.4.5 + 4-^76 + 5 6.7 + ••/«^ 

I . | 3.2.1A3x"^ , 4.3.2A4X^*s , 5.4.3 Asx^*^ . \ ^ 

'■*" 1 4.5.6.7 "*■ 5.6.7.8 "^ 6.7.8.9 "*"••/ ^ 

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Lubbock's Arbeiten. 167 

Aus (21) ergeben sich die numerischen Werthe, sobald man H, i, a, 
kennt; Lubbock nimmt flir H, wie schon erwähnt, 0,54378, für i = 0,0071564, 

für a = 0,00028348 bei 30 Engl. Zoll und 50« F. an, damit wird lg ^^-^^^* 

== 9,5066765, x'' = 0,74514, und es wird: 

A, « 0,6422, A« = 1,9513, A« = 2,8406, A4 « 2,9203, A» -= 2,6389, 
A« =- 2,4052, A7 =- 2,2956, Ag =- 2,2373, A9 ^ 2,1827, A,« =^ 1,0848, 
A,,^ « 2,6882, A,ä =* 2,0741, A.» — 1,9924, Au = 1,8466. 

Damit findet sich sofort nach (22) j— und nach (25) wird 

iTB =» Bin z {1132",8 c -H 639",9 c» + 220",4c5 + 60",öc' + 17",8c» 4- 5'',5c" + ...}. (26) 
Das 2te Glied in (15) ist 

i«x»dw 3.4j/Ta(l + «)8iiizXx"«^(l — c2 + c*^«c8^dC 

Nehmen wir nur das erste Glied in dem letzten Factor, so haben wir, 

d w 
wenn wir fiir t— dx seinen Werth setzen und integriren 

3.4 ^/^ « (l -h a) sin z ^ ( 2.1A|X^^» . 2.1 A,x^^^ . 2.1A3X*^» . \ 

'"T^ ' i^^^TT ^ \ 2.3.4 "^ 3.4.5 "^ 4.5.6 + * ' ' / 



welches mit den genannten Werthen der Constanten — 1",5 sin z c-** macht, 
so dass die Refraction vollständig: 

<r0 -= sin z { 1 132" ,8 c + 6i38",4 c» + 220",4 c» + 60",5 c' + 17",8 c» + 5",50 c" + . . . } 

wird. 

Lubbock vergleicht von ihm berechnete Tafeln noch mit denen vonivory 
und Bessel und seine im Jahre 1855 publicirte Tafel unterscheidet sich von 
der von 1840 dadurch, dass 1855 die genauer bestimmte Bessersche Constante 
zu Grunde liegt. 

§14. 

Die Arbeiten von Kramp, Plana, Brioschi, Svanberg, 

Biot, Baeyer. 

Kramp haben wir schon vielfach erwähnt, wir haben bereits gesagt, dass 
er zuerst die Hypothese, nach der die Dichtigkeit der Luft dem Drucke 
proportional abnimmt, d. h. die Hypothese nach welcher in allen Luftschichten 
eine gleiche Temperatur herrscht, analytisch durchführte, auf das Integral 
ye"'**dt kam, dies vollständig auflöste und Tafeln dafür gab. Er be- 
handelt nach der Emissionstheorie den W^g des Lichtes in der Luft und giebt 
dafür die bekannte Gleichung und zeigt, wie sie mit der Gleichung für die 



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168 Kramp's Arbeiten. 

ßefraction zusammenhängt. Für den constanten Druck d. h. für Luftstjhich- 
ten von gleiche*^ Temperatur hatte er für die Dichtigkeit die Exponenlial- 
function gefunden, er verändert den Exponenten, indem er einen Druck an- 
nimmt, der dem Quadrate der Distanz proportional ist, und findet, dass die 
Integration nur durch Reihenentwicklung möglich ist, er entwickelt und findet 
Glieder, die von der Form sind: 

« tg z |l + B tg2 z 4- C tg* z + D tg« z + I 

er giebt den Constanten solche Näherungs-Werthe, dass diese Form bis 
8# Zenithdistanz keine Secunde unsicher ist. 

In einem besondern Kapitel behandelt er die Refraction in der Nähe des 
Horizontes und giebt dafür Ausdrücke, in denen das erste Glied die Hori^ontal- 
refraction ist; er zeigt, dass die Refraction unter dem Horizonte d. h. bei mehr 
als 90 Grad Zenithdistanz zusammengesetzt ist aus der Horizontalrefraction 
des Punctes, wo der Strahl den Horizont trifi^t, und aus der Refraction bis zu 
diesem Puncto; diese letztere ist wieder gleich der Horizontalrefraction an 
diesem Puncto minus der Refraction eines Sternes, der ebenso viel über dem 
Horizonte, als der Besbachter den Stern unter dem Horizonte sieht. Er rechnet 
mit seinen Formeln in der Nähe des Horizontes Tafeln und die Vergleichung 
mit Bradley's Tafeln ergiebt, dass diese bei 1^ 15' Höhe um 71" fehlerhaft sind. 

In seinem 5ten Kapitel untersucht er die Theorien von Euler, Bradley, 
Mayer und Lambert, er zeigt ihre Fehlerhaftigkeit, zeigt, dass fiuler sich zu 
grosser Näherungen bedient habe, wodurch seine Refraction bei 45^ Höhe 
24^' wird *) ; hätte Euler in Reihen entwickelt, wie es. nach seiner Theorie 
Oriani that, so wäre sein Endintegral das vonKxamp so ausführlich behandelte 
y^e ^ ** dt gewesen. Qimpson s undBradley's Formeln setzen voraus, dass die 
Krümmung des Lichtweges immer dieselbe sei und Kramp weist nach, dass 
gerade aus dieser Voraussetzung die bedeutenden Fehler der Bradley sehen 
Tafeln von 84 — 90 Grad Zenithdistanz entstehen. Mayer's Formel lässt sich 
darstellen durch eine Gleichung 2ten Grades^ solche Gleichung ist sowohl die 
Bradley'sche, wie die Euler sehe Formel, die Differenz der Bradley'schen und 
Mayer'schen Tafel beträgt auch kaum 1" — . Er zeigt, dass Lambert's geo- 
metrischer Weg ein genaueres Resultat als Euler's physische Hypothese giebt, 
doch hätte Lambert die Bahn des Lichtes nicht als kreisförmig betrachten 
sollen. — Endlich behandelt Kramp noch die terrestrische Refraction, auf 
welche ich anderswo zurückkommen werde. 

Plana untersucht die bei der Theorie von Young aufgeführte Hypothese 
über die Abnahme der Wärme von Leslie; er findet aus ihr für die Abnahme 
der Wärme eine harmonische Reihe und die Leslie'sche Hypothese nähert sich 
daher der Euler'schen vom Jahre 1754. Er berechnet für verschiedene Höhen 
die Temperaturen und vergleicht sie mit den Beobachtungen, die Gay-Lussac 



^) Plana zeigt freilich anch^ dass Euler's Formel zu grosse Näherungen hat, aber der 
Vorwurf von Kramp ist nicht gegründet, sie giebt bei 45*^ Höhe etwa 1' Kefraction. 



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Plana'8 Arbeitea 169 

1804, die Charles und Robert 1783 bei ihren Luftfahrten, die Zumpateiii beider 
Besteigung des Monte Rosa machten, von denen besonders die letzten keine 
genügende üebereinstimmnng zeigen. Er führt die Laplace'sche Hypothese 
auf eine Modification der De-Luc'schen über die Atmosphäre zurück, zeigt 
aber, wessen wir bereits auch gedacht haben, dass besonders das Barometer 
stark von der berechneten Höhe abweiche, und ebenso beweist er, dassBesseFs 
Hypothese die Temperaturabnahme sehr mangelhaft darstellt. 

Bei La^range und später hab^n wir gesehen, dass Bradley's Formel ge- 
nügt wird, sobald man zwischen der Entfernung vom Mittelpunct der Erde 
und der Dichtigkeit die Relation 

a m 

— = u 
r 

aufstellt; Plana verallgemeinert diesen Ausdruck, indem er setzt: 

wo A eine Con staute bedeutet und woraus für A = 1 die obige Annahme ein 
specieller Fall ist. Die Entwicklungen führen Plana auf die elliptischen 
Trans cendenten und welchen Werth er auch für A annimmt: nach dieser Hy- 
pothese wird die Refraction im Horizonte nie über 31' 16" (welcher Werth bei 
A = — 20 stattfindet)* Er bekennt, wie wenig ihm diese Verallgemeinerung 
genützt habe und geht zurück zu A = 1 , wofür er noch einige elegante Be- 
weise giebt. Er zeigt noch Integrationsmethoden der Differentialgleichung 
der Refraction, indem er sie in ihrer grössten Allgemeinheit lässt und kömmt 
auf den Fall zurück, den Kramp löste, indem er die Dichtigkeit in geometri- 
scher Progression abnehmen lässt. 

Besonderes Interesse hat es, wenn Plana zeigt, dass die Differential- 
gleichungen für die Refraction von Lagrange, Euler und Bernoulli nicht absolut 
strenge sind, während die von Taylor, Bouguer und Simpson richtig sind und 
Lambert die strenge Gleichung umgeht, Young aber denselben Fehler eigent- 
lich begeht, den Lagrange macht. Dieser Fehler ist so gering, dass er auf 
die Refraction keinen Einfluss hat; wenn es sich aber um eine strenge 
Gleichung handelt, so darf auch diese Vernachlässigung nicht begangen werden. 

ünsre strenge richtige Gleichung in § 2 ist: 

2N, 1 A ^ 4N 

-^dp ^ 1 -♦- -^(»o.asinz 



d<r0 = - 



(■-•^^)'l/'-*5«-('*i|^)f 



sin^ z 



sin z ^0 d^ 



.y.^-^ 



fiQ^ ßin^ z 



K- 



4Ne„ 



Setzt man u °=^ a sin z — , ■ — = a sin z ^ 



4N(i 

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170 Plana's Arbeiten. 

80 hat man die Lambert'sche Gleichung 

da 



p/r* — u« 



die auch Bernoulli hat Aber Bernoulli setzt 1 H — ^ constant = 1 und 

erhält dadurch die falsche Gleichung 

2 N 
d<r0-=-'^do 



Young setzt: 

a sin z 



u 



wo q eine Constante, was mit oben verglichen nur genähert ist. 
Setzt man: 



80 bekommt man die Lagrange'sche Form 



Qo - 



— sin z d u' 
d<r0 = 



l/l — u" -p- sin« z 

q — fc 

aus der sich leicht die Euler'sche Form finden lässt, man braucht nur u' = a 
zu setzen, aber die Werthe fiir u' von Lagrange und Euler stimmten mit dem 
obigen für u' nicht ganz überein, die Vernachlässigung war aber so gering, 
dass sie selbst für die Horizontalrefraction nur einige Bogensecunden betra- 
gen konnte. 

Ausführlich zeigt Plana noch die Uebereinstimmung der Bouguer'schen 
Theorie mit der Simpson'schen und besonders hebt er noch hervor, dass 
Bouguer auch für die Refraction für mehr als 90^ Zenithdistanz die richtige 
Idee gegeben hat; Euler's Formel ist nicht brauchbar für so grosse Zenith- 
distanzen. Mayer s Formel leitet er aus der Euler'schen ab, welches sehr 
leicht geht. 

' Endlich behandelt er noch ausführlich die von Ivory in den Philosophical 
Transactions für 1823 gegebene Refractionstheorie und zeigt verschiedene 
Arten der Integration. Ivory hat die Grösse f zu ^ angenommen, 1838 für diesen 
Werth ^, Brioschi hat unter dem Titel „Comentarj astronomici de' Me- 
morie de Mr. Ivory" die Rechnung mitf=^ durchgeführt, aber fast das- 
selbe Resultat erhalten. Plana giebt die Horizontalrefraction für f = 1, 4^, i, |, 
an, ersteres ist bekanntlich die Cassini'sche, das 2te die Simpson'sche, das 
letzte die Newton'sche Hypothese. Beobachtungen von Oriani in den Mai- 
länder Ephemeriden zeigen dass f zwischen 0,12 und 0,33 schwankt. 

Svanberg giebt in den Actis novis Reg. Societ. Upsal. Vol. IX. Ent- 
wicklungen, die zu dem Simpson sehen Resultat fuhren und zeigt, dass sie bis 

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Svanborg'« Arbeiten. 171 

70 Oiad ZemAdiBtans mit den neuen Tafdn nahe übereinstimmen; bei 84^ 
ZenithdiBtMiz aber 2^' abweichen^ im Horizonte an 5'. In Voi. XI. setzt er 
die Arbeit fort; er nimmt zwischen der Dichti^eit in der Atmosphäre in der 
Höhe X und der an der Oberfläche der Erde^ wenn h die Höhe der Atmosphäre 
bedeutet^ an: 

h-x 

damit findet er die Höhe der Atmosph&re fiir 0,76 Meter Barometerstand und 
00 Temperatur 

h = 20614 Meter, etwa über 2\ Meilen, 
er führt damit die Rechnung durch und findet für die Horizontalrefraction 
35' 1^,46, ein Resultat, welches innerhalb der Grenzen fällt, die man für die 
Horizontalrefraction angiebt ; in 84 GradZenithdistanz istxler Werth 2" kleiner 
als der von Laplace, aber nur 0",3 kleiner als der von Beseel. 

Er sucht aus den schon mehrfach erwähnten Daten voll Gay-Lussac das 
Gesetz der Dichtigkeit der Atmosphäre zu bestimmen, er setzt z. B. 

/, x\ 1^0 

und findet für die Höhe der Atmosphäre 51118 Meter, aber die Durchführung 
der Hypothese für die Temperatur zeigt, dass Gay-Lussac statt — 9®,5 in der 
höchsten Höhe • 

— 7P 
hätte beobachten müssen. Er verwirft diese Hypothese und geht über zu: 

und findet, daBS den Beobachtungen ziemlich genügt wird durch die Werthe 

A = 1,27692; B = 0,45514, C = 0, D = — 0,02759 

oder C = — 0,06482, I>= 0, oder C = — 0,11611, D = 0,05010. 

Er substituirt den Werth von q in die Differentialgleichung der Refraction 
und fuhrt für die Horizontalrefraction mit allen 3 Hypothesen von C und D 
die analytische^ wie die numerische Rechnung durch. Er findet als Resultat 
Werthe, die nur etwa um 11'' abweichen und zwischen diesen Resultaten liegt 
derjenige Wer^, welchen Groombridge für den richtigsten hält^ und um diesem 
ganzen genügen würde man haben 

A = + 1,27662, B = 0,44135, C = — 0,02326, D = — 0,018392. 

Nur in dieser Kürze erwähne ich der Svanberg'schen Arbeiten, seine 
Theorien zeigen wieder, was bei Ivory bereits erwähnt wurde, dass die 
Horizontalrefraction grade wegen ihrer Unsicherheit nie das Mittel sein wird, 
das Gesetz der Dichtigkeit der Atmosphäre zu bestimmen. Die Svan- 
berg'sche Theorie ist in unsern frühem gewissermaassen enthalten, nur dass 



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<^oogIe 



172 Hot'B Arbeiten. 

die Coefficienten A^ B^ C, D andere Werthe haben; es ist ein leichtes aas den 
Theorien von Bessel^ Schmidt ondlvory für ^ die obige Form herzuleiten, und 
aus diesen Theorien Tafeln zu berechnen ist gegen die Svanberg'sche Form 
so sehr viel leichter (Svanberg braucht zu seinen numerischen Rechnungen für 
die Horizontalrefraction allein 20 freilich nicht eng gedruckte Seiten), dass wohl 
jeder diese Formen vorziehen wird. Meines Wissens hat auch niemals jemand 
nach Svanberg gerechnet, niemals sind genaue Tafeln von ihm erschienen. 

Noch habe ich der Arbeiten von Biot zu gedenken und über seine Con- 
stitution der Atmosphäre besonders zu berichten. Was die Refraction anbe- 
trifft, so ist er der Meinung, dass die Theorie von Laplace vollkommen ge- 
nüge, denn die Unsicherheit der Beobachtungen in der Nähe des Horizontes 
sei so gross, dass man nie wisse, wann man eigentlich die wahre normale Re- 
fraction beobachtet habe, Störungen durch Localeinflüsse, durch Ausstrahlung 
der Wärme, durch verschiedene Feuchtigkeit seien immer vorhanden und 
werden zu verschiedenen Zeiten verschiedene Resultate, geben. 

In der Connaissance des temps pour 1839 behandelt Biot die Bedingungen 
des Gleichgewichts der Atmosphäre und besonders den Einfluss der Feuch- 
tigkeit. Ist q)^ die elastische Kraft des Wasserdampfes an der Erdoberfläche, 
Po die der trocknen Luft, so haben zahlreiche Experimente gelehrt, dass das 
Verhältniss der Dichtigkeit der trocknen und feuchten Luft ist 

Die Höhe einer gleich dichten feuchten Atmosphäre wird durch 

und die Dichtigkeit durch 

((►o) = ^0 1 1 — -g- ~| ausgedrückt. 

Für eine bestimmte Höhe, in der die Dichtigkeit p, der Druck p, die 
Spannung gp, die Temperatur r ist, hat man dann die Gleichung 

(p — 100 mtp) qq 1 -f mT 

(po— lOOmcy^o) p 1 4" niTo 

WO m = 0,00375, 100 m = | ist. 

Ist die Luft vollkommen mit Wasserdämpfen gesättigt, so findet Biot aus 
Experimenten von Gay-Lussac und Arago, dass die Länge f einer Quecksil- 
bersäule, in Millimeter angegeben, die dem Wasserdampf das Gleichgewicht 
hält, ausgedrückt werden kann durch die Gleichung 

lg f, = a — El «i'' — Es oa'' 

wo X = 200 + r, a = 5,96131, lg aj = 9,82341, lg a, = 0,74111, 

lg a, = ^ 0,01310, lg a, = — 0,00213 

Für 00 Wärme z. B. ist fi = 3,992 Millimeter 

10 „ „ „ = 8,602 

30 „ „ „ = 31,634 „ 



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BMb Arbeiten. \ X73 

Aus physischen Qründen ist die Luft wohl nie ganz mit Wasserdampf 
gesättigt und wäre -^ immer constant^ so hätte; da 



(ri 



= (l-100m^) 



der Wasserdampf in der Luft gar keinen Einfluss. Diese Bedingungen sind 
wohl nicht ganz vorhanden, aber doch haben alle Experimente von Arago und 
Biot etc. bestätigt, dass die brechende Kraft der feuchten Luft von der der 
trocknen bei demselben Luftdruck und derselben Temperatur kaum merklich 
verschieden ist und die in der Theorie von Laplace gegebenen numerischen 
Werthe nie die dort angegebene Grösse erreichen. Mit Recht haben daher 
Bessel, Schmidt, Ivory keine weitere Rücksicht auf die feuchte Luft genommen 
und meines Wissens berücksichtigt bis jetzt kein Astronom das Hygrometer 
bei den Refractionsbeobachtungen. 

Schon bei Newton ist erwähnt, dass Biot die mechanische Integration auf 
die Newton'sche Hypothese anwendet und fast genau die von Halley gegebenen 
Werthe erhält. — Biot geht aber noch weiter, er zeigt dass man mit jeder 
Hypothese über die Dichtigkeit der Luft, sei es welche es wolle, dieRefräc- 
tion durch mechanische Quadratur finden könne und auf dielvory'sche Theorie 
wendet er seine gefundenen Formeln an und findet die Ivory'sche Horizon- 
talrefraction bis auf 1",2 genau, eine Näherung, die vollkommen genügend 
ist. Darauf zeigt er das Verhältniss der Constitution der Atmosphäre nach 
Ivory's Theorie zu derLaplace'schen und in der Connaissance des temps pour 
1841 geht er über, die Constitution der Atmosphäre zu bestimmen. Er giebt 
dazu 22 Beobachtungen und zwar Barometerhöhen, Thermometergrade und 
HygrQmetergrade, welche Gay-Lussac auf seiner berühmten Luftfahrt gemacht 
hat und bedauert die Originalbeobachtungen bei einer von ihm und Gay- 
Lussac unternommenen Luftfahrt desshalb nicht geben zu können, weil er sie 
verloren habe. Er berechnet aus den Gay-Lussac'schen Beobachtungen und 
auch aus den Humboldt'schen Beobachtungen am Aequator in aller Strenge, 
mit Berücksichtigung der Veränderung der Schwerkraft in verschiedenen 
Breiten wegen der Abplattung der Erde, mit Berücksichtigung der Aenderung 
der grössern Entfernung vom Mittelpunct durch die verschiedenen Höhen 
über der Oberfläche der Erde, mit Berücksichtigung des Einflusses der Feuch- 
tigkeit, den Luftdruck und die Dichtigkeit und stellt zwischen beiden die 
Gleichungen: 

Jl=a-^ + b4+c 

Po ^0 ^0* 

auf, eine Gleichung, die construirt einen Kegelschnitt, für B = eine grade 
Linie giebt. Aus verschiedenen Beobachtungen findet Biot für A und B und 
C verschiedene Werthe, sowohl aber die grade Linie, wie die Parabel erfor- 
dern für C einen negativen Werth, sodass, wenn der Druck p bereits ist, die 
Dichtigkeit nicht auch ist, wie es einige Hypothesen bei den verschiedenen 
Theorien bedingen. Mit den verschiedenen Hypothesen untersucht er noch 



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<^oogIe 



174 ^ Baeyer's Arfoeit^n. 

die WänDeabnabme und findet nach einer Hypotkese an der Gbenze der 
Atmosphäre in 61404 Meter Höhe die Temperatur — 266^ <> C 

Im Jahre 1854 und 55 veröflfentlichte Biot noch eine CoUection von Vor- 
trägen in der Pariser Akademie, hervorgerufen, durch Faye, welchem die 
Theorien von Newton, Laplace und Ivoi^ einen Widerspruch in sich zu haben 
scheinen und der, um sie zu heben, unter anderm den Vorschlag macht: aus 
der terrestrischen die astronomische Refraction abzuleiten. Biot zeigt, dass 
die grossen Unregelmässigkeiten in den Luftschichten in der Näheder Ober- 
fläche dies nicht zulassen und dass man zur Annahme einer Hypothese über 
die Wärmeabnahme in der Atmosphäre gezwungen ist. Er kritisirt die Hypo- 
thesen von Laplace, Ivory und Bessel und zeigt wie weit sie in physischer 
Hinsicht mit den Beobachtungen übereinstimmen, er entscheidet sich für die 
Theorie von Laplace, dessen Formeln den physischen Bedingungen der At- 
mosphäre so nahe entsprechen. 

In den Memoiren der Petersburger Akademie vom Jahre 1860 hat 
Baeyer noch eine neue Theorie der Strahlenbrechung gegeben. Er setzt die 
Dichtigkeit der Luft in der Höhe h 

(1 + vh)'-^ 

wo V und w abhängig von der Höhe der Atmosphäre und andern bekannten 
Constanten ist. Die Theorie von Lubbock giebt für € den Werth 4, 26 . . ,, 
Baeyer leitet aus Beobachtungen terrestrischer Objecte € = 4 ab und zeigt^ 
dass für 80 Qrad Zenithdistanz die astronomische Refraction bei £ = 4 und 
€ = 5 dieselbe bleibt; bei der Horizontalrefraction dagegen ist eine Diffe- 
renz von 50". Bei der terrestrischen Refraction werde ich auf die schönen 
Resultate dieser Arbeit näher eingehen. 



§ 15. 

Allgemeine Uebersioht über die Theorien von Laplace, 
Bussel, Toung, Schmidt, Ivory, Lubbock. Welche Con- 
stitution der Atmosphäre folgt aus diesen Theorien? welche 
derselben stimmt am besten mit den Beobachtungen überein? 

Die Frage, welche Theorie die beste und daher die anzuwendende sei, 
veranlasst mich die den einzelnen Theorien zu Grunde liegenden Hypothesen 
über die Abnahme der Dichtigkeit und über die Abnahme der Temperatur in 
unserer Atmosphäre zusammen zu stellen. Aber die Frage, welche Theorie 
die beste sei, kann vielleicht abhängig von der Gegend sein, für welche die 
Theorie gelten soll. Und daraus entspringt vorher die Frage, ob für 
unsere Erde ein und dieselbe Theorie, ein und dieselbe Refraction überall 
anwendbar sei? 



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Allgemeine Uebersieht. ^ 175 

Die Beobad^ungen besonders in der Nähe des Horizontes, die in der 
kalten und heissen Zone angestellt sind^ haben verschiedene Resultate gege- 
ben: im ersten Abschnitt ist einer Beobachtung der Holländer im Jahre 1597 
Erwähnung geschehen, .wonach die Sonne in hoher nördlicher Breite gesehen 
worden iBt, als sie in Wirklichkeit noch 4| Grade unter dem Horizonte war. 
Bouguer will am Aequator nur eine Horizontalrefraction von 27 Minuten gel- 
ten lassen; die aber Humboldt^ mit bessern Instrumenten versehen, nicht 
bestätigt fand. Humboldt beobachtete bei der Besteigung des Ohimborasso 
Barometer und Temperatur und die Daten zeigen eine etwas andere Abnahme 
der Temperatur als die Beobachtungen von Gay-Lussac und andern in der 
gemässigten Zone. 

Die Hypothesen über Abnahme der Wärme 8et?en eine regelmässige Ab- 
nahme, eine continuirliche Function voraus ; am Tage erwärmt aber die Sonne 
den Erdboden und nach Sonnenuntergang besonders strahlt der Boden 
Wärme aus, wodurch die Continuität unterbrochen wird und es besonders in 
der heissen Zone vorkommen kann, dass die Wärme anstatt abzunehmen bis 
zu einer bestimmten Höhe zunimmt. In der kalten Zone hat besonders im 
Winter der Erdboden eine sehr geringe Wärme, viele Grade unter Null zeigt 
das Thermometer, so dass Quecksilberthermometer wegen Erstarrens des 
Quecksilbers gar nicht brauchbar sind. Jedenfalls wird in dieser Zone die 
. Temperatur nicht ebenso mit der Höhe wie in der heissen Zone abnehmen. 
Beobachtungen von dort her fehlen leider noch ganz, die aus der heissen 
Zone sind ebenfalls spärlich und in unserer gemässigten Zone sind sie bi3 
jetzt auch nicht sehr reichlich vorbanden. Biot's Vorschlag durch auf- 
steigende und wieder zu erlangende Luftballons, welche zu verschiedenen 
Zeiten in verschiedenen Höhen, vielleicht durch selbstregistrirende Instru- 
mente die Höhe des Barometers und die Temperaturen angäben, die Consti- 
tution der Atmosphäre kennen zu lernen, ist noch nicht ausgeführt^ ausserdem 
würden manche Hindernisse sich der Aiisfuhrung in den Weg setzen. Sie 
würden unsre Kenntnisse vermehren, würden aber auch sicher zeigen, dass, 
wie sich durch die Luftfahrten 1850 und 1852 von Barral und Bixio und 
Welsh etc. heraus gestellt hat, die Temperaturabnahme nicht gleichförmig ist, 
dass zwischen warmen Luftschichten noch wärmere oder kältere durch Winde 
und Wolken eingeschoben sind. Sobald Unregelmässigkeiten in der Tem- 
peratur stattfinden, zeigt sich dies in der Befraction und das Schwanken oder 
Hin- und Herspringen des Sternes am Faden eines Fernrohrs ist ein so 
bekanntes Phaenomen, dass ich nicht nöthig habe, dies als eine Folge der 
ungleichen Befraction in der Atmosphäre näher zu erklären. 

Diese Unregelmässigkeiten, diese Störungen erfordern um so mehr, dass 
die Beobachtungen recht zahlreich angestellt werden, um das Gesetz der 
Wärmeabnahme kennen zu lernen, und da bis jetzt nur vereinzelte Daten vor- 
handen sind, müssen wir gestehen, dass wir noch nicht wissen, ob die Con- 
stitution der Atmosphäre in andern Zonen eine andre ist, als in unserer ge- 
mässigten. Ist sie aber in der gemässigten überall dieselbe? 



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176 Allgemeine Uebersicht. 

Strenge genommen können wir diese Frage auch nicht l)eantworten; nach 
unsern Beobachtungen scheint es, — grade dieRefraction giebt die Aufschlüsse, — 
dass die Constitution nicht sehr verschieden sein kann. Die aus zahlreichen 
Beobachtungen bestimmten Constanten der Refracäon sind in Russland, 
Deutschland, Italien, Frankreich, England, Amerika, am Cap der guten Hoff- 
nung, ja selbst in Ostindien, also in der heissen Zone, nahe gleich gefunden 
worden und Tafeln, die für Mitteleuropa berechnet sind, zeigen sich überall 
brauchbar, überall gültig. 

Hierbei kommt aber der Umstand in Betracht, dass beträchtliche Aen- 
derungen in der Refraction viel beträchtlichere Aenderungen in der Consti- 
tution der Atmosphäre erfordern. Wir haben in § 5 des 2ten Abschnittes 
gesehen, dass bis etwa 75 ja bis 80 Zenithdistanz die Constitution der At- 
mosphäre auf die Refraction ohne merklichen Einfluss ist, erst von 80 — 90 
Grad Zenithdistanz zeigt sich die Einwirkung, und wenn eine Hypothese nur 
einigermaassen den physischen Gesetzen der Atmosphäre genügt, so wird 
sie bis 85 ja bis 88 Grad Zenithdistanz mit einer andern besser stimmenden 
fast ganz überein kommen. In einetn spätem Werke, in welchem ich Tafeln 
nach den verschiedenen Theorien mit denselben Constanten berechnet zu 
geben beabsichtige, werde ich dies durch Zahlen beweisen. Erst ganz in 
der Nähe des Horizontes weichen die Resultate der verschiedenen Theorien 
beträchtlich von einander ab. Am Horizonte zu beobachten ist nicht sehr 
vortheilhaft, grade weil dort die Localeinflüsse, die Ausstrahlung des Erdbo- 
dens, wie oben gesagt, beträchtliche Störungen hervorbringen, ausserdem ist 
selten bei dem jetzigen Bau der Sternwarten, wo die Festigkeit und Stabili- 
tät niedrige Gebäude zu bauen vorschreibt, der ganze Horizont sichtbar und 
es scheint, dass wenn man diejenige Theorie vorzieht, die sich grade der 
Wärmeabnahme der Gegend, in der man beobachtet, am besten anschliesst, 
man am richtigsten und vortheilhaftesten wählt. 

Um zur andern Frage überzugehen, untersuchen wir bei den Theorien 
von Laplace, Bessel, Young, Schmidt, Ivory, Lubbock die daraus folgenden 
physischen Gesetze der Atmosphäre — die Theorie vonSvanberg schliesse ich 
aus, weil sie nicht die gehörige Bequemlichkeit hat — . Young's Entwicklungen 
sind auch nur genähert, sein Ausdruck zwischen Druck und Dichtigkeit ist 
aber so einfach, dass ihn mitzunehmen nicht uninteressant sein wird. 

In § 5 haben wir die Gleichungen: 

,1) 1+ °"^ _^ = _P_ 

1 H- m To (^ Po 

(2) <lp=-go ^ Qdv 

aus welchen Gleichungen, sobald eine Relation zwischen q und ^o oder zwischen 
r und Q gegeben ist, sich zu einem bestimmten r sowohl p, wie auch q und t 
finden lässt. Die Formel (1) setzt eine vollkommen trockne Luft voraus ; 
wollte man Rücksicht nehmen auf eine feuchte Luft mit der elastischen Kraft 



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Allgemeine Uebersicht. 



177 



des Wasserdampfs qp in der Entferniing r, mit g)QSin der Oberfläche der Erde, 
so würde man haben statt (1) 

1 + mT Q p — 100 in (p 

Po — 100my>o 



(3) 



1 + m To (^ 

Ausserdem ist noch zu bemerken, dass das in (2) gebrauchte go für ver- 
schiedene Breiten wegen der Abplattung der Erde auch verschieden ist. 
Nach Laplace ist nach § 5 für 0,76 Millimeter und 0^ Temperatur 



-1 

m 1 



wo 



Dadurch wird 
JP_ 

Po 



Q = (>o |l + 

f=4. 0,49039 
m ^ 0,000741829 

u = 1 — y — 0,0002939 (l 



-^jist. 






0,59224 + 



0,29045 



+ 0,11731 



Qo 



1 + u. 661,11 

und wenn man r — a = 0, 1600, 3200, 4800 etc., Meter annimmt, erhält man 
über die Constitution der Atmosphäre folgende Tabelle, wo die erste Columne 
die Höhe in der Atmosphäre, die 2te den Luftdruck p, die 3te die Dichtigkeit 
Q und die 4te die Temperatur t enthält. 

Tafel I. — Nach Laplace's Hypothese. 



Höhe in der 

Atmosphäre. 


Luftdruck. 


Dichtigkeit. 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,000 


0,00 C. 


1600 „ 


0,62 „ 


0,858 


-13,2 „ 


3200 „ 


0,50 „ 


0,723 


- 24.4 „ 


4800 „ 


0,40 „ 


0,601 


-34,1 „ 


6400 „ 


0,31 „ 


0,492 


-41,8 „ 


8000 „ 


0,24 „ 


0,348 


- 48,7 „ 


16000 „ 


0,06 „ 


0,118 


- 75,6 „ 


24000 „ 


0,015 „ 


0,030 


- 80,2 „ 


32000 „ 


0,003 „ 


0,007 


— 90,5 „ 


00 


0,000 „ 


0,000 


Unbestimmt 



Nach Bessel ist, wenn — = 1 — s genannt wird, 

Q == Qoe ' 
wo /? = 745,75 *) ist; daraus folgt mit Hülfe der Gleichung (2) 



T- — 1 + y 



a 

17 



Po 1 ß 

1 ist die bekannte Grösse, nach Laplace 7974 Meter. Die Rechnung ergiebt: 



*) ß gilt eigentlich für den Normalzustand der Atmosphäre, den Bessel annimmt; für 
unsern Normalzustand würde der Werth etwas anders sein, doch so unbedeutemd , dass 
ich es hier vernachlässigt habe. 

Bruhns, Refraction. 12 



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178 



Allgeweine Uebersicbt. 

Tafel n. — JSfßoh Besaer» Hypothese. 



Höhe in der 
Atmosphäre. 


Luftdruck. 


Dichtigkeit 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,000 


00,0 C. 


1600 „ 


0,65 „ 


0,829 


- 2,0 „ 


3200 „ 


0,54 „ 


0,688 


- 45 „ 


4800 „ 


0,44 „ 


0,570 


- 8,0 „ 


6400 „ 


0,34 „ 


0,473 


- 12,0 „ 


8000 „ 


0,26 „ 


0,392 


- 17,0 „ 


16000 „ 


0,10 „ 


0,154 


- 52,0 „ 


24000 „ 


0,03 „ 


0,061 


- 137,5 „ 


27782 „ 


0,00 „ 


0,035 


-266,7 „ 



Young's Hypothese setzt voraus ; 

daher 

dp^(j^i-(»)d^ = |d^ nach(2), 

woraus durch Integration mit Bestimmung der Constante 

T ^ 2iv'^""^^""21 "*"^ folgt. 
Es ergiebt sich durch Rechnung: 

Tafel HI. — JSfaßh Toung's Ilyp o th a sa . 



Höhe in der 
Atmosphäre. 


Luftdruck. 


Dichtigkeit. 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,00 


00 C. 


1600 „ 


0,62 „ 


0,84 


- 13%, 


3200 „ 


0,51 „ 


0,71 


- 230,, 


4800 „ 


0,42 „ 


0,61 


- 33%, 


6400 „ 


0,34 „ 


0,51 


- 420,, 


8000 „ 


0,27 „ 


0,41 


- 480,, 


16000 „ 


0,04 „ 


0,13 


-1400,, 


24000 „ 


0,001 „ 


0,01 


-2250,, 


27964 „ 


0,00 „ 


0,00 


-2670,, 



Schmidt hat als Hypothese: 
1 + mr 



1 + mto 



= 1 — 



49100 

h_ 

b 

und nach § 9, Abschnitt II. haben wir 






1 



1 



^ Po 1 l + nriTo a+2b 



lg 



a (b — h) 
b(a + 2h) 



und damit wird: 



■»i-'-i-'^'-t) 



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AllgeBMine Uebersicht. 
Tafea IV. — Nadh Setaxnidt's Hypothese. 



Höhe in der 
Atmosphäre. 


Lnftdrack. 


Dichtigkeit. 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,000 


(y> c. 


1600 „ 


0,62 „ 


0,843 


- 8,7 „ 


3200 „ 


0,50 „ 


0,707 


- 17,4 „ 


4800 „ 


0,40 „ • 


0,588 


- 26,1 „ 


mo „ 


0,33 „ 


0,487 


- 34,8 „ 


8000 „ 


0,26 „ 


0,400 


- 43,5 „ 


16000 „ 


0,07 „ 


0,132 


- 86,9 „ 


24000 „ 


0,012 „ 


0,032 


- 130,3 „ 


32000 „ 


0,004 „ 


0,004 


- 173,8 „ 


49100 „ 


0,000 „ 


0,000 


-266,7 „ 



Ivory hat als Hypothese 



1 +mT 
1 + mTo 

Qo 



i-iii-e-) 



und nach § 1 1 ist 

\ P/?» ' 1 + mr. 24 11 \(1 + mT,)f 



1 + 



»^^ = «• + ^«1-7^ 



9 9 



Mit diesen Werthen und den Gonstanten findet sich : 

Tafel V. — Nach Ivory's Hypothese. 



Höhe in der 
Atmosphäre. 


Luftdruck. 


Dichtigkeit. 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,000 


00 C. 


1600 „ 


0,62 „ 


0,849 


- 8,2 „ 


3200 „ 


0,51 „ 


0,714 


~ 16,7 „ 


4800 „ 


0,41 „ 


0,595 


- 24,0 „ 


6400 „ 


0.33 „ 


0,491 


- 29,8 „ 


8000 „ 


0,26 „ 


0,402 


~ 34,9 „ 


16000 „ 


0,08 „ 


0,134 


- 50,6 „ 


24000 „ 


0,002 „ 


0,040 


- 56,0 „ 


32000 „ 


0,001 „ 


0,012 


- 57,5 „ 


40000 „ 


0,0001 „ 


0,001 


- 58,0 „ 


^ » 


0.0000 „ 


0,000 


- 59,2 „ 



Lubbock endlich hat nach § 13 



X«(l-.q)«(l 

h 
r 



Hq) 



= ^lg(l-Hq) 



179 



,...) 



WO 

und es findet sich : 



q = 1 - (— )*, H eine Constante = 0,54378 ist 



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180 



Allgemeine Uebersioht. 
Tafel VI. — ]f aoh Lubbook's Hypothese. 



Höhe io der 
Atmosphäre. 


Luftdruck. 


Dichtigkeit. 


Temperatur. 


Meter 


0,76 Meter 


1,000 


0» C. 


1600 „ 


0,62 „ 


0,846 


- 8,3 „ 


3200 „ 


0,51 „ 


0,713 


- 16,1 „ 


4800 „ 


0,41 „ 


0,598 


— 24,6 „ 


6400 „ 


0,33 „ 


0,499 


- 38.4 „ 


8000 „ 


0,26 „ 


0,414 


- 42,5 ., 


16000 „ 


0,07 „ 


0,145 


- 93.1 „ 


24000 , 


0,01 „ 


0,036 


- 153,4 „ 


35960 „ 


0,000 „ 


0,000 


- 266,7 „ 



Vergleichen wir diese Tafeln mit einander^ so zeigt sich, dass der Luft- 
druck bis etwa 8000 Meter hinauf bei allen Hypothesen bis auf 0,03 Meter 
nahe übereinstimmt. Bei Laplace haben wir gesehen, dass der Luftdruck 
nach seiner Hypothese zu klein ist, um den Gay-Lussac-schen Beobachtungen 
in der Höhe von 7000 Metern zu genügen; die übrigen Hypothesen geben 
grössere Werthe und stimmen daher besser überein. Nicht so ist es mit der 
Temperatur. Bessel hat in 8000 Meter Höhe etwa 30 Grad Differenz von den 
übrigen Hypothesen und nach ihm muss man an der Oberfläche der Erde um 
800 Meter aufsteigen, um einen Grad Weniger an Wärme zu haben. Alle 
Beobachtungen sowohl in der gemässigten wie in der heissen Zone zeigen, 
dass eine solche Wärmeabnahme schon bei 160 bis 200 Meter stattfindet. Die 
Bessersche Hypothese ist daher diejenige, welche am wenigsten den physi- 
schen Bedingungen genügt; Bessel scheint dies auch selbst anerkannt zu 
haben, denn von 85 bis 90 Grad Zenithdistanz hat er später auf empirischem 
Wege die Refractionswerthe bestimmen lassen und diese empirischen Werthe 
an die Stelle der aus der Theorie abgeleiteten gesetzt, wodurch er seiner Theorie 
nur bis 85 Grad Zenithdistanz die üebereinstimmung mit den Beobachtungen 
zuerkannte. Bis dahin stimmen aber seine aus der Theorie abgeleiteten 
Werthe fast vollständig mit den aus andern Theorien folgenden überein. 

Welche Theorie verdient nun aber den Vorzug? Eine solche Frage ist 
leichter aufgestellt, als beantwortet. Die eben gegebenen Tafeln über die Con- 
stitution der Atmosphäre unter Voraussetzung der Hypothesen von Laplace, 
Bessel, Young, Schmidt, Ivory und Lubbock zeigen, mit Ausnahme der 
BesseFschen Hypothese, dass in den X^^^pöraturen sich erst beträchtliche 
Differenzen zeigen in solchen Höhen, die zu erreichen wohl nie möglich 
sein wird. 

Durch Einfachheit im Gesetze der Wänneabnahme zeichnet sich beson- 
ders die Theorie von Schmidt aus, durch besondere Eleganz der Ent- 
wicklung die von Ivory, von welcher die Lubbock'sche als ein Commentar 
zu betrachten ist. Wenn jemand die rasche Abnahme der Temperatur, die 
bei Schmidt in grossen Höhen ebenso stattfindet als in geringen Höhen, nicht 
gelten lassen will, so geben ihm die Theorien von Ivory und Laplace oben 

Digitized by^OOQlC 



Allgemeine üebersicht. 181 

eine viel geringere Wärmeabnahme als unten. Die Theorie von Schmidt 
giebt der Höhe der Atmosphäre nur etwa 6 Meilen, die von Ivory und Laplace 
sehr viel höher, sodass auch diesen die Höhe der Atmosphäre, welche aus 
dem Dämmerungsbogen folgt, entspricht Die Temperatur des Weltraumes 
folgt nach Schmidt, Lubbock etc. 266|^ Grad Celsius unter Null, nach Ivory 
und Laplace findet man sie geringer und würde dadurch den neuesten Resul- 
taten von Pouillet 9 näher kommen, der sie im Mittel etwa 140 Grad unter 
Null findet. 

Noch andere Hypothesen über die Wärmeabnahme aufzustellen, als bis- 
her vorhandcEi sind, scheint mir kaum nöthig. Wollte man z. B., um eine 
Höhe der Atmosphäre von etwa 10 Meilen zu erhalten, anstatt der Schmidt'- 
schen gleichförmigen Temperaturabnahme, wodurch auch bei dem üeber- 
gange von der Atmosphäre in den Weltraum eine Discontinuität entsteht, eine 
ungleichförmige, aber doch einem einfachen Gesetze folgende Temperaturab- 
nahme so annehmen, dass je höher man steigt die Abnahme der Temperatur 
immer geringer und dass an der Grenze der Atmosphäre diese Abnahme Null 
würde, so erhielte man ein Resultat, das fast vollständig mit dem aus der 
Theorie von Ivory übereinstimmen müsste. Wir habön Theorien genug, und 
schwerlich wird sich eine Zone auf der Erde finden, wo nicht die eine oder 
die andere vollständig dem Bedürfniss genügen wird, und dass an verschie- 
denen Oertern der Erde verschiedene Theorien anwendbar sind, ist nicht un- 
möglich. Wenn man aber nach den bisherigen Erfahrungen auch noch so 
genau aus den Beobachtungen die Refraction zu erjnitteln sucht, wird man 
doch nie aus ihr auf die Constitution der Atmosphäre mit Sicherheit schliessen 
können. 

Die gegebenen Theorien und die analytischen Entwicklungen zeigen, 
dass der jetzige Stand der Mathematik ein solcher ist, um das Problem be- 
handeln zu können. Nachdem Eramp die Bahn gebrochen, haben Laplace, 
Bessel, Schmidt, Ivory u. A. die Aufgaben, die sie sich stellten, vollständig 
gelöst, und sobald die Physik ein anderes Gesetz der Wärmeabnahrae in der 
Atmosphäre geben könnte, wäre es leicht in aller Strenge dafür die Re- 
fraction abzuleiten. 



*) Pouillet di^ments de physique. Tom. II. pag. 716. 



Leipaig, Druck vou Uiesecke & Devrient. 



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VERBESSERUNGEN. 



Paff. 8, 


10, 


13, 16 lies Vitellio statt Vitello. 






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Zelle 22 v. ob. 


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16 u. 17 V 


. u. 


lies der Fehler der Tyck 


onischen Parallaxe statt die Parallaxe 


>, 13, 


n 


16 V. n. 


lies 


die obigen Werthe vergr^aseyt hat, s« Diass desMU statt ^ Bf ^ 










fraction vergrössert, so 


muss deren 


„ 18, 


t, 


10 V. u. 


,» 


noch nahe 3' statt 


noch 3* 


„ 20, 


,1 


4 V. u. 


19 


Zembia 


»» 


ftembU 


n 21, 


n 


12 Y. u. 


1* 


Lansberg 


11 


Landsberger 


„ «2, 


»» 


6 V. u. 


11 


idem 


11 


idem 


„ 23, 


„ 


21 V, ob. 


i» 


MfirseBnioft 


fi 


Marseni^ias . 


„ 27, 


»» 


2 V. u. 


V 


y »(y) 


n . 


y.v(y) 


« 28, 


yi 


11 V. u. 


V 


2^/v(y)dy 


11 


2^9(y)dy 


„ 29, 


11 


10 T. ob. 


11 


ggsin^fl^ 


,» 


g^g cos« 


« 31, 


»« 


10 V. ML 


9* 


der liuft 


i% 


der Wärme der Lirft 


„ 33. 


», 


11 V. u. 


,, 


10 Grad 


>j 


19 Grad 


» 42, 


11 


4 V. ob. 


11 


Mayer 


1* 


Meyer 


^ 51, 


rt 


12 V. u. 


»» 


86« 58',5)} 


11 


86»Ä8,5) 


„ 52, 


» 


22 V. u. 


>» 


B=-u 


M 


B3»a 


,, 64, 


»• 


3 V. u. 


»» 


(90 ^ mR)}) 


11 


(90 — mR)} 


„ 63, 


,» 


15 V. H. 


1i 


bedeutend 


n 


um eine volle Minute 


„ 64, 


11 


16 V. u. 


,» 


dt 


,» 


d 


„ 76, 


11 


11 T. ob. 


10 


Lansberg 


n 


Lasidsbetger 


„ 78, 


11 


12 V. ob. 


11 


Mayer 


11 


Meyer 


M 84, 


1» 


5 V. u. 


11 


1827 


11 


1837 


M 85, 


w 


19 V. ob. 


tt 


in eimena apütem Werke 


19 


in einem Anhaag 


„ 87, 


11 


1 V. u. 


J, 


idem 
as' 


11 


siehe Anhang 
as' 


,. a». 


f, 


% Vi. VL. 


17 


e 

a»a* 


11 


«2 a? 


„ 100, 


>i 


a V. ob. 


'♦ 


j 


11 




^ 1.2.12 sin^z 


1.2.1* sin* a 


„ 121, 


», 


1 V. ob. 


'» 


§6 


11 


§» 


„ 121, 


»» 


17 V. ob. 


»» 


Thu 


yi 


■jsW 


„ 135, 


»> 


9 V. u. 


J1 


nach h und t 


^1 


h nach t 


„ 137, 


»» 


21. V. ob. 


V 


für 


11 


wofür 


„ 142, 


n 


14 V. ob. 


11 


""-^ 


11 


d (d0) 
M |/k 


,^ 143, 


>» 


5 V. u. 


1. 


x» 


11 


X» 


,/1-x 


„ 164, 


»» 


8 V. ob. 


ir 


( 10), und 


11 


(10) und 


„ 168, 


» 


17 V. ob. 


11 


Beobachter 


„ 


Besbachter 


„ 169, 


11 


6 V. ob. 


11 


starke Abweichungen davon 


zeige statt sti^k von der berechneten 










Höhe abweiche. 






„ 183, 


11 


1 V. ob. 


11 


selten statt wohl nie. 







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. ^mJuisJtt^haetUm/ 



Thf.l 




.dirHüt.jfTutabid'Zcmdtrlndu.ttrie'Gmyttoiri, Weiinan 



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. ^ruhn».XtflueUon/ 



TiifiJI 




jirtfLst^nstalJtfäjXcmdeilnjäMJLStrit/ Oairnf>tmri, Wamai^ 



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Smüuu.RtftHutio n 



IbfiM. 




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BruhnSfBijhaelierv. 



TafW. 





Fyn 





Artist, ^/nstaib d/ L ajvcL«aIn£bu*tri*/ Comptoinf . Jfmrtar. 



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^i 6-96 5 

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DATE 


DUE 


QP^=frf002 




































































QAYLORD 


PRINTEO IN U.SA 



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3 2044 029 808 284 



JOHN Q. WOLBACH LIBRARY 




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